Wyświetl jako plik PDF

Geometria
Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem
jest badanie figur geometrycznych i zależności między
nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę
figur płaskich, w przestrzeni trójwymiarowej brył
geometrycznych.
Termin geometria pochodzi z języka greckiego i oznacza
mierzenie ziemi. Z rozwojem geometrii związane jest
nazwisko greckiego matematyka Euklidesa. Dzięki
Euklidesowi geometria przedstawiana jest jako nauka
uporządkowana, wzorowy przykład teorii dedukcyjnej
zaczynającej się od kilku pojęć pierwotnych, z których za
pomocą aksjomatów i definicji wyprowadza się
twierdzenia.
Figura geometryczna to dowolny zbiór punktów z
przestrzeni euklidesowej. Do podstawowych figur
geometrycznych zaliczamy: punkt, prosta, płaszczyzna,
przestrzeń, które są pojęciami pierwotnymi geometrii.
Każdy wyobraża sobie jakoś te obiekty i bez trudu potrafi
wskazać ich modele. Każda figura geometryczna płaska
posiada pewne własności przedstawione poniżej.
Rodzaje i własności figur
geometrycznych:
Figura wypukła i wklęsła
Figurę geometryczną nazywamy wypukłą, jeśli każdy
odcinek, którego końce należą do figury, zawiera się w
tej figurze. Figurę geometryczną, która nie jest wypukła,
nazywamy wklęsłą.
Figura ograniczona
Figurę płaską nazywamy ograniczoną, jeżeli zawiera się
w pewnym kole. Figurę płaską, która nie zawiera się w
żadnym kole nazywamy nieograniczoną.
Brzeg i wnętrze figury
Punkt B nazywamy punktem brzegowym figury, jeżeli w
każdym kole o środku w punkcie B znajdują się zarówno
punkty danej figury, jak i punkty do niej nie należące.
Punkt W nazywamy punktem wewnętrznym figury, jeżeli
istnieje koło o środku w punkcie W zawarte w tej figurze.
Brzegiem figury nazywamy zbiór wszystkich punktów
brzegowych tej figury. Wnętrzem figury nazywamy zbiór
wszystkich punktów wewnętrznych tej figury.
Figury przystające
Dwie figury są przystające, jeśli jedną z tych figur można
nałożyć na drugą.
Figury na płaszczyźnie
Figury przestrzenne:
Najważniejsze wzory i informacje
o figurach geometrycznych
płaskich:
Kwadrat
Suma wszystkich kątów wynosi 360º.
Kwadrat rysujemy łącząc 4 linie tej samej długości każdą
pod kątem 90º
Pole można wyliczyć ze wzoru: P = a*a
Obwód można obliczyć mnożąc jedną długość boku razy
4: Ob = 4*a
Prostokąt
Suma miar kątów wynosi 360º.
Obwód można wyliczyć ze wzoru: Ob= a*b
Pole liczymy ze wzoru: P = a*b
Trapez
Pole można wyliczyć ze wzoru:
Obwód liczymy dodając długości jego boków.
Trójkąt
Suma miar kątów wynosi 180º.
Obwód można wyliczyć dodając długości wszystkich
boków.
Pole można wyliczyć ze wzoru :
Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą od sumy
długości dwóch pozostałych boków.
a<b+c
b<a+c
c<a+b
Trójkąt równoboczny
Każdy z jego kątów ma miarę 60º.
Aby obliczyć pole tego trójkąta korzystamy ze wzoru:
Wzór na wysokość trójkąta równobocznego:
Zależności w trójkątach prostokątnych
Długości boków w trójkącie prostokątnym o kątach
ostrych 45º i 45º:
Długości boków w trójkącie prostokątnym o kątach
ostrych 30º i 60º:
Twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej c
równa się sumie kwadratów przyprostokątnych a, b.
c2=a2+b2
Deltoid
Pole można wyliczyć ze wzoru:
Obwód liczymy dodając długości jego wszystkich boków.
e, f - przekątne
Romb
Pole można wyliczyć ze wzoru:
Obwód liczymy dodając długości jego wszystkich boków.
e, f - przekątne
Równoległobok
Suma kątów wewnętrznych wynosi 360º
Pole można wyliczyć ze wzoru: a*h
Obwód liczymy dodając długości jego wszystkich boków.
Koło
Obwód koła wyliczyć można ze wzoru: 2Лr
Pole liczymy ze wzoru: Лr2
Л ≈ 3,14
Długość łuku liczymy ze wzoru:
Wzór na pole wycinka koła:
r – promień
Sześciokąt
Składa się z sześciu trójkątów równobocznych.
Pole liczymy, korzystając ze wzoru:
Każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę 120º.
Kąt środkowy okręgu opisanego, oparty na boku, ma
miarę 60º.
Promień okręgu opisanego: R=a
Promień okręgu wpisanego:
Obwód ma długość: 6a
,
Najważniejsze wzory i informacje
o figurach geometrycznych
przestrzennych:
Graniastosłup
Wielościan, którego wszystkie wierzchołki są położone
na dwóch równoległych płaszczyznach, zwanych
podstawami graniastosłupa i którego wszystkie
krawędzie leżące poza tymi podstawami są do siebie
równoległe.
Pole można wyliczyć ze wzoru: Pc = 2Pp + Pb
Objętość: V = Pp * H
Jeżeli krawędzie są prostopadłe do podstawy, to
graniastosłup zwany jest prostym.
Prostopadłościan
Graniastosłup o ścianach prostopadłych do podstaw.
Pole można wyliczyć ze wzoru: Pc = 2(ab + ac +bc)
Objętość: V = abc
Sześcian
Składa się z sześciu kwadratów.
Chcąc wyliczyć jego pole, korzystamy ze wzoru: Pc =
6a2
Objętość: V = a3
Posiada 12 krawędzi i 8 wierzchołków.
Ostrosłup
Podstawą jest wielokąt, a bokami trójkąty o wspólnym
wierzchołku.
Pole można wyliczyć ze wzoru: Pc = Pp + Pb
gdzie: Pc – pole całkowite, Pp – pole podstawy, Pb –
pole boczne
Objętość: V = 1/3 Pp * H
Stożek
Pole powierzchni podstawy (koła): Pp = Лr2
Pole powierzchni bocznej:Pb = Лrl
Pole powierzchni całkowitej: Pc = Pp + Pb = Лr2 + Лrl
=Лr(r+l)
Objętość: V =1/3Лr2 * H
Walec
Pole powierzchni podstawy (koła): Pp = Лr2
Pole powierzchni całkowitej: Pc = 2Pp + Pb = 2Лr2 +
2ЛrH =2Лr(r+H)
Pole powierzchni bocznej: Pb = 2ЛrH
Objętość: V = Лr2 * H
Kula
Objętość: V = 4/3*Лr3
Kula o promieniu r ma objętość 4 razy większa niż
stożek o promieniu podstawy r i wysokości r.
Pole powierzchni: P = 4*Лr2