Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby – 8√2 , | 1

Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby – 8 √2, , | 1|, 6 √11 6 √11 , tworzą ciąg
య
arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu.
Rozwiązanie:
Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania:
– 8 √2
య
,
– 2 ∙
2 – 2 – 2 2 ∙ 2
6 √11 6 √11 6 √11 26 √11 ∙ 6 √11 6 √11
6 √11 26 √116 √11 6 √11 12 26 √11
12 2√36 11 12 2 ∙ 5 22
Czyli mamy ciąg liczb: 2, |– 1|, 22.
Jeżeli liczby , , są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to:
2
[Co rozumiemy: drugi (środkowy) wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów pierwszego i trzeciego]
Czyli w naszym przypadku:
|– 1| 2 22
2
Czyli:
|– 1| 10
1 10 ! 1 10
11 ! 9
Różnicę ciągu liczymy np.:
# 10 2 12
Odpowiedź: 11lub 9, a różnica ciągu wynosi 12.
Zadanie 4 Dla jakich liczby: 3, 3 9, 3 6 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.
Wyznacz różnicę tego ciągu.
Rozwiązanie:
Jeżeli liczby , , są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to:
2
Czyli w naszym przypadku:
3 9 3 3 6
2
2 ∙ 3 9 3 3 6
2 ∙ 3 18 3 9
2 ∙ 3 3 9 0
2 ∙ 3 3 ∙ 3 9 0
3 9 0
3 9
3 3
12
1
Zatem nasz ciąg wygląda następująco:
3,3 9, 3 6
Czyli:
3,18,33
Zatem różnica to:
# 18 3 15
Odpowiedź: 1, a różnica ciągu wynosi 15.
Zadanie 5 Dla jakich liczby: 1, log భ 2 1, 25 w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.
మ
Wyznacz iloraz tego ciągu.
Rozwiązanie:
Jeżeli liczby , , są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to:
∙ Czyli w naszym przypadku:
log 2 1 1 ∙ 25
log 2 1 25
log 2 1 5 !log 2 1 5
1 1 2 1 !2 1 2
2
2 1 2 1
!2 1 32
32
33
!2 33
32
33
33
! 64
2
Czyli nasz ciąg geometryczny jest następujący: 1, 5, 25 lub 1, 5, 25.
W pierwszym przypadku iloraz * 5.
W drugim przypadku iloraz * 5.
Odpowiedź: Są dwa możliwe rozwiązania:
, a iloraz ciągu jest równy 5
I.
lub
II.
, a iloraz ciągu jest równy 5.
Zadanie 6 Liczby: √2మ , 2 , 128, w podanej kolejności, są wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz i
wyznacz iloraz ciągu.
య
భ
Rozwiązanie:
Jeżeli liczby , , są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to:
∙ Czyli w naszym przypadku:
2 √2 ∙ 128
య
2 2 ∙ 2
2 2 ∙ 2
2 2
2 4 2 7
6
11
6
12 66
11 66
6
Czyli nasz ciąg geometryczny jest następujący: 2, 2 , 2 .
Zatem iloraz * ర
2 8
Odpowiedź: 6, a iloraz ciągu wynosi 8.
Zadanie 7 Liczby: 4, 3 ∙ √2 ,
i wyznacz różnicę tego ciągu.
షೣశమ
w podanej kolejności, są wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz
Rozwiązanie:
Jeżeli liczby , , są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to:
2
Czyli w naszym przypadku:
3 ∙ √2 4
6 ∙ √2 4 6 ∙ 2 5
2
2
5
2
4 5 ∙ 2
6 ∙ 2 4 5 ∙ 2
6 ∙ 2 5 ∙ 2 4
2 4
2 2
22
4
Czyli nasz ciąg arytmetyczny jest następujący: 4,3 ∙ √2 , షమ .
Czyli: 4,12,20.
Zatem różnica: # 12 4 8.
Odpowiedź: 4, a różnica ciągu wynosi 8.
Zadanie 8 Udowodnij, że wykresy funkcji , 3 ∙ wspólnych.
oraz - భ
య
nie mają punktów
Rozwiązanie:
Wykresy dwóch funkcji mają punkty wspólne dla tych -ów dla których: , -.
Żeby znaleźć wszystkie punkty wspólne wykresów funkcji , i - trzeba rozwiązać równanie:
, -
My musimy udowodnić, że wykresy nie mają punktów wspólnych, zatem musimy pokazać że powyższe
równanie nie ma rozwiązania (nie istniej , który je spełnia). No to sprawdzamy:
, -
1 2 8 3 ∙ 2 7
343
7 2 2 ∙ 2 7
7
2 2 7
7
2 2 7
7
3
3
03
Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, zatem wykresy nie mają punktów wspólnych.∎
Zadanie 9 Napisz wzór funkcji wykładniczej , , gdzie / 0, wiedząc, że do jej wykresu należy
punkt 0 3, .
a) Naszkicuj wykres funkcji - , 2 1
b) Oblicz miejsce zerowe funkcji -.
c) Dla jakich argumentów funkcja - przyjmuje wartości ujemne?
Rozwiązanie:
Żeby wyznaczyć współczynnik – podstawiamy do wzoru funkcji , współrzędne punktu 0:
, 1
8
1
2
Zatem:
1 , 2
a) - , 2 1
Zatem wykres funkcji - jest taki sam jak wykres funkcji ,, tylko przesunięty o 2 jednostki w
lewo i o 1 jednostkę w dół. Zatem:
-
,
b) - , 2 1 1
Mając wzór funkcji - możemy obliczyć miejsce zerowe rozwiązując równanie - 0:
- 0
1 10
2
1 1
2
1 1 2
2
20
2
Odpowiedź: Czyli miejscem zerowym funkcji - jest 2.
c) Musimy rozwiązać równanie:
- 1 0
1 110
2
1 11
2
1 1 1 2
2
Teraz przechodzimy do nierówności na wykładnikach, ale ponieważ podstawa funkcji wykładniczej
jest mniejsza od 1 1 1, to zmieniamy znak nierówności:
2/0
/ 2
Odpowiedź: Funkcja - przyjmuje wartości ujemne dla / 2.
Zadanie 10 Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji , ,
a) Oblicz wartość funkcji dla argumentu .
b) Oblicz argument dla którego wartość funkcji wynosi c) Dla jakich argumentów wartości funkcji , są większe od 2 ?
d) Napisz wzór i naszkicuj wykres funkcji - , 3.
Rozwiązanie:
a) , మ
భ
మ
భ
భ
మ
√
√
√
b) Trzeba rozwiązać równanie:
16
2 81
3
2
2 3
3
41
5
Odpowiedź: Funkcja przyjmuje wartość dla argumentu 5.
c) Trzeba rozwiązać nierówność:
1
4
2
1
/2
3
4
2
9
/
3
4
2
3 / 3
2
, / 2
, ∈ 3.
2 2 / 3
3
Teraz przechodzimy do nierówności na wykładnikach, ale ponieważ podstawa funkcji wykładniczej
jest mniejsza od 1 1 1, to zmieniamy znak nierówności:
1 1 2
1 1
Odpowiedź: Funkcja przyjmuje wartości większe od 2 dla argumentów 1 1.
d) Funkcję - , 3 otrzymujemy w wyniku dwóch przekształceń funkcji ,.
Pierwszym jest symetria względem osi OY, a drugim przesunięcie o 3 jednostki w dół.
2 2 , 5666667 , , 3
3
,
2
2 , 56666666667 - , 3 3
3
3
,
A wzór funkcji - to oczywiście:
2 - 3
3
, 3
Zadanie 11 Dla jakich argumentów funkcja , - przyjmuje wartości większe niż funkcja
?
Rozwiązanie:
Musimy stwierdzić kiedy:
, / -
Czyli kiedy:
2 9 / 3
4
2 3 ∙
/ 3
2
2 2 / 3
3
Teraz przechodzimy do nierówności na wykładnikach, ale ponieważ podstawa funkcji wykładniczej
jest mniejsza od 1 1 1, to zmieniamy znak nierówności:
3 5 1 10 2
13 1 3
3
1
13
Odpowiedź: Funkcja , przyjmuje wartości większe od funkcji - dla argumentów 1 .
Zadanie 12 Wyznacz wartość parametru 8, jeżeli wiadomo, że dla argumentu 1 funkcje , - 2 przyjmują tą samą wartość.
Rozwiązanie:
Dla argumentu 1 funkcje , oraz -przyjmują tą samą wartość, zatem:
,1 -1
2 1 ∙
2
5
4
2 1 2
5
4
1 5
2 4
2
1
1 2
2
1 1 2
2
1 6 28
28 5
8
Odpowiedź: 8 .
5
2
oraz
3 dla 1 0 =
. Na podstawie wykresu funkcji
2 5dla < 0
, ustal liczbę rozwiązań równania , 8, gdzie 8 ∈ 3, w zależności od wartości parametru 8.
Zadanie 13 Naszkicuj wykres funkcji , 9
Rozwiązanie:
I.
II.
Dla 1 0 rysujemy funkcję , 3 .
Dla < 0 rysujemy funkcję , 2 5, która powstaje przez przesunięcie paraboli
> o 2 jednostki w prawo i 5 jednostek w górę.
W rezultacie otrzymujemy wykres:
Aby ustalić liczbę rozwiązań równania , 8, w ilu punktach przecina się wykres funkcji , z
wykresem funkcji liniowej > 8.
Np. dla 8 1, równanie , 1 ma dwa rozwiązania ( 0 oraz 4).
Ogólnie mamy:
1. Dla 8 ∈ ∞, 1 ∪ 5, ∞ równanie , 8 ma 1 rozwiązanie.
2. Dla 8 ∈ A1, 5B równanie , 8 ma 2 rozwiązania.
3. Dla 8 ∈ 1,5 równanie , 8 ma 3 rozwiązanie.
Zadanie 14 Dana jest funkcja logarytmiczna o wzorze , log 8 3, gdzie 8 jest parametrem.
Dziedziną funkcji jest przedział 2, ∞. Podaj wartość parametru 8, a następnie:
a) Oblicz wartość funkcji , dla argumentu 18.
b) Oblicz argument, dla którego wartość funkcji , wynosi 3,5.
c) Określ, dla jakich argumentów funkcja , przyjmuje wartości dodatnie.
Rozwiązanie:
Jeżeli mamy dany logarytm log !, to musimy założyć, że / 0 i C 1 oraz ! / 0. W ten sposób określa
się dziedzinę logarytmu.
Określmy zatem dziedzinę naszej funkcji, w której występuje logarytm:
8 /0
Czyli dziedziną funkcji jest przedział: 8, ∞.
/8
Z treści zadania wiemy, że dziedziną funkcji jest przedział 2, ∞, zatem wynika z tego, że 8 2.
Czyli:
, log 2 3
a) ,18 log 18 2 3 log 16 3 2 3 5
b) Musimy rozwiązać równanie:
log 2 3 3,5
1
log 2 2
4!"#ర 4
2 4
22
4
c) Musimy rozwiązać nierówność:
log 2 3 / 0
log 2 / 3
4!"#ర / 4
2 / 4
1
/
2
64
1
/2
64
Zadanie 15 Dana jest funkcja logarytmiczna o wzorze , log మ 1 D, gdzie D jest parametrem.
య
Wartość funkcji , dla argumentu 3 wynosi 3. Oblicz wartość parametru D, a następnie:
a) Wyznacz argument, dla którego wartość funkcji wynosi 6.
b) Wyznacz zbiór argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od 1.
Rozwiązanie:
Wartość funkcji , dla argumentu
wynosi 3, zatem:
log 13
1 D 3
4
9
log 3 D
4
2 3 D
D5
Zatem:
, log 1 5
a) Musimy rozwiązać równanie:
log 1 5 6
log 1 1
1
b) Musimy rozwiązać nierówność:
5
3
2
3
log 1 5 1 1
log 1 1 4
Podstawa logarytmu jest mniejsza od 1 1 1, więc zmieniamy znak nierówności:
2 !"#మయ 2 / 3
3
2 1/ 3
81
/
1
16
/
97
16
Zadanie 16 Wyznacz wartości parametrów i ! we wzorze funkcji , log !, jeśli wiadomo,
że punkty 01, 3 oraz E5, 4 należą do wykresu funkcji ,. Wyznacz dziedzinę funkcji ,.
Rozwiązanie:
Najpierw trzeba ustalić wzór funkcji , (czyli wyznaczyć współczynniki i !). W tym celu podstawimy
współrzędne punktów 0 i Edo wzoru funkcji ,, w konsekwencji czego otrzymamy układ dwóch równań z
dwiema niewiadomymi:
9
3 log ∙ 1 !=
5 log ∙ 4 !
9 ! 2 =
4 ! 2
F
! 8 =
4 ! 32
Rozwiązujemy układ równań, np. odejmując równania stronami:
3 24
Zatem: ! 0
8
Czyli otrzymujemy wzór funkcji:
, log 8
Jeżeli mamy dany logarytm log !, to musimy założyć, że / 0 i C 1 oraz ! / 0. W ten sposób określa
się dziedzinę logarytmu.
Zatem dziedzina funkcji , jest następująca:
8 / 0
/0
Odpowiedź: Dziedziną funkcji , jest zbiór 0, ∞.
Zadanie 17 Ustal wartość parametru G, jeżeli wiadomo, że funkcja , log $మ jest malejąca.
Rozwiązanie:
Funkcja logarytmiczna , log jest rosnąca jeżeli / 1, a malejąca jeżeli ∈ 0,1.
Zatem funkcja , log $మ jest malejąca, jeżeli:
G 3 / 0 ∧ G 3 1 1
G / 3 ∧ G 1 4
G ∈ ∞, √3 ∪ √3, ∞ ∧ G ∈ 2,2
Zatem ostatecznie: G ∈ 2, √3 ∪ √3, 2.
Zadanie 18 Wykresy funkcji , 2 3 oraz - log 3 8 mają z osią IJten sam punkt
wspólny 0. Oblicz 8 i podaj współrzędne punktu 0.
Rozwiązanie:
Jeżeli wykresy dwóch funkcji mają z osią IJten sam punkt wspólny, to znaczy że dla argumentu 0
przyjmują taką samą wartość. Zatem:
,0 -0
2 3 log 0 3 8
2 3 log 3 8
1
318
2
8
Natomiast punkt 0 0, ,0
,0 Zatem 0 0, .
7
2
1
5
3
2
2
Zadanie 19 Funkcje , 1 oraz - log భ 19 D mają to samo miejsce zerowe.
Oblicz wspólne miejsce zerowe obu funkcji oraz wartość parametru D.
మ
Rozwiązanie:
O funkcji , wiemy wszystko (tzn. znamy jej wzór), więc możemy obliczyć jej miejsce zerowe:
1 10
3
1 1
3
30
3
Zatem szukanym miejscem zerowym obu funkcji jest 3.
Wyliczymy teraz parametr D. Skoro 3 jest również miejscem zerowym funkcji -, zatem:
-3 0
log 19 3 D 0
log 16 D
1 %
16
2
2% 16
D4
Zadanie 20 Wiadomo, że liczby D i * są dodatnie i * 1 6 oraz D 2* 4. Wykaż, że log √
%
&
2.
Rozwiązanie:
Jeżeli mamy dany logarytm log !, to musimy założyć, że / 0 i C 1 oraz ! / 0. Zatem w naszym
zadaniu musimy założyć, że:
8D
/0
6*
Ponieważ liczby D i * są dodatnie, zatem żeby zachodziła powyższa nierówność wystarczy, że:
6* /0
*16
Czyli dziedzina zgadza się z tą podaną w treści zadania.
Pozostaje teraz rozwiązać daną równość:
log √
8D
2
6*
8D
√2
6*
8D
2
6*
8 D 26 *
8 D 12 2*
D 2* 4
Czyli doszliśmy do równości danej w treści zadania, co kończy dowód.∎