Skręcanie prętów – projektowanie

5
Skręcanie prętów –
projektowanie
Sposób rozwiązywania prętów skręcanych został omówiony w rozdziale 4. Zadania
projektowe sprowadzają się do określenia wymiarów przekroju poprzecznego pręta
na podstawie warunku nośności i/lub warunku użytkowania.
W przypadku prętów skręcanych warunek nośności możemy zapisać w postaci:
|τ |max ≤ kt
(5.1)
gdzie:
|τ |max — maksymalna wartość naprężeń stycznych w rozpatrywanym elemencie,
kt
— naprężenia dopuszczalne na skręcanie dla przyjętego materiału.
Natomiast warunek użytkowania ma postać:
|φ |max ≤ φ dop
(5.2)
gdzie:
|φ |max — maksymalny kąt skręcenia rozpatrywanego elementu,
φ dop
— dopuszczalny kąt skręcenia.
Przekrój kołowy
Maksymalne naprężenia styczne dla przekroju kołowego o średnicy d wystąpią na
jego obwodzie (rys. 5.1a), a ich wartość określamy na podstawie zależności:
τ max =
Ms
Ws
(5.3)
gdzie:
Ms
— moment skręcający,
Ws
— wskaźnik wytrzymałości na skręcanie, określony następująco:
Ws =
π d3
16
Rys. 5.1
(5.4)
5.2
Wytrzymałość materiałów
Kąt skręcenia φ odcinka pręta wyznaczamy w oparciu o zależność:
φ=
Ms l
G Is
(5.5)
gdzie:
Ms
— moment skręcający,
l
— długość rozpatrywanego odcinka pręta,
G
— moduł Kirchhoffa (moduł sprężystości poprzecznej),
Is
— biegunowy moment bezwładności przekroju poprzecznego, określony
następująco:
Is =
π d4
32
(5.6)
Iloczyn G I s nazywamy sztywnością pręta na skręcanie.
Przekrój pierścieniowy
Maksymalne naprężenia styczne dla przekroju pierścieniowego (rys. 5.1b) wystąpią, podobnie jak w przypadku przekroju kołowego, na jego obwodzie. Ich wartość
określamy na podstawie zależności (5.3), przy czym wskaźnik wytrzymałości na skręcanie, określamy w następujący sposób:
Ws =
4
π (d z4 − dw
)
16 d z
(5.7)
gdzie:
dz
— średnica zewnętrzna,
dw — średnica wewnętrzna.
Kąt skręcenia φ wyznaczamy analogicznie, jak dla pręta o przekroju kołowym,
przyjmując biegunowy moment bezwładności równy:
Is =
4
)
π (d z4 − dw
32
(5.8)
Przekrój pierścieniowy cienkościenny
Za przekrój pierścieniowy cienkościenny (rys. 5.1c) uważać będziemy przekrój pierścieniowy, w którym grubość ścianki δ jest dużo mniejsza od średnicy d , definiowanej jako wartość średnia:
d=
d z + dw
2
(5.9)
gdzie:
dz
— średnica zewnętrzna,
dw — średnica wewnętrzna.
Do wyznaczenia maksymalnych naprężeń stycznych oraz kątów skręcenia wykorzystujemy zależności (5.3) i (5.5), podstawiając następujące wartości wskaźnika wytrzymałości na skręcanie Ws oraz wskaźnika sztywności przekroju na skręcanie I s :
Ws = 2π r 2 δ =
π d2
δ
2
(5.10)
5.3
Skręcanie prętów – projektowanie
I s = 2π r 3 δ =
π d3
δ
4
(5.11)
Przekrój cienkościenny o profilu otwartym
Przykłady przekrojów cienkościennych o profilu otwartym przedstawiono na rys. 5.2.
Naprężenia styczne są rozłożone liniowo na grubości ścianek, a ich zwrot jest zgodny
ze zwrotem momentu skręcającego. Maksymalne naprężenie styczne występuje w najgrubszej ściance profilu otwartego. Przekroje cienkościenne przedstawione na rys. 5.2
można zastąpić wąskimi prostokątami o długości bi i szerokości δ i .
Rys. 5.2
Do wyznaczenia maksymalnych naprężeń stycznych oraz kątów skręcenia wykorzystujemy zależności (5.3) i (5.5), podstawiając następujące wartości wskaźnika wytrzymałości na skręcanie Ws oraz wskaźnika sztywności przekroju na skręcanie I s :
Ws =
Is =
Is
δ max
1 n
bi δ i3
3 i =1
∑
(5.12)
(5.13)
gdzie:
δ max — maksymalna grubość ścianki,
bi
— długość i-tego odcinka,
δi
— grubość i-tego odcinka.
Przekrój cienkościenny o profilu zamkniętym
Przykład przekroju cienkościennego o profilu zamkniętym przedstawiono na
rys. 5.3. Naprężenia styczne są stałe na grubości ścianek, a ich maksymalna wartość
występuje w najcieńszej ściance profilu. Przekrój cienkościenny zamknięty można,
podobnie jak poprzednio, zastąpić wąskimi prostokątami o długości bi i szerokości δ i .
Wprowadza się również pole powierzchni przekroju poprzecznego A0 ograniczone linią
średnią (rys. 5.3).
Rys. 5.3
5.4
Wytrzymałość materiałów
Do wyznaczenia maksymalnych naprężeń stycznych oraz kątów skręcenia wykorzystujemy zależności (5.3) i (5.5), podstawiając następujące wartości wskaźnika wytrzymałości na skręcanie Ws oraz wskaźnika sztywności przekroju na skręcanie I s :
Ws = 2A0 δ min
Is =
4A02
n
bi
δ
i =1 i
∑
gdzie:
A0
— pole powierzchni przekroju poprzecznego ograniczone linią średnią,
δ min — minimalna grubość ścianki,
bi
— długość i-tego odcinka,
δi
— grubość i-tego odcinka.
(5.14)
(5.15)
5.5
Skręcanie prętów – projektowanie
Zadanie 5.1.
Zaprojektować pręt o przekroju kołowym z warunku nośności i/lub warunku
użytkowania. Pręt ma długość l = 0,5 m i jest obciążony momentem skręcającym
M s = 900 N ⋅ m . Dopuszczalne naprężenia na skręcanie są równe kt = 100 MPa ,
natomiast kąt skręcenia pręta nie może być większy niż 1° . Dane: G = 80 000 MPa .
Rozwiązanie
Wskaźnik wytrzymałości na skręcanie jest równy (5.4):
Ws =
π d3
16
Warunek nośności zapiszemy następująco:
τ max =
M s 16 M s
=
≤ kt
Ws
π d3
Wykonując kolejne przekształcenia, wyznaczamy minimalną średnicę wewnętrzną
pręta:
d3 ≥
16 M s
π kt
d≥3
16 M s
π kt
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:
d≥3
16 ⋅ 900 000
= 35,79 mm
π ⋅ 100
Biegunowy moment bezwładności jest równy (5.6):
Is =
π d4
32
Warunek użytkowania zapiszemy następująco:
φ max =
M s l 32 M s l
=
≤ φ dop
G Is
G π d4
Wykonując kolejne przekształcenia, wyznaczamy minimalną średnicę wewnętrzną
pręta:
d4 ≥
32 M s l
G π φ dop
d≥4
32 M s l
G π φ dop
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy ( 1° = 0,0175 rad ):
d≥4
32 ⋅ 900 000 ⋅ 500
= 42,54 mm
80 000 ⋅ π ⋅ 0,0175
Decydujący jest warunek użytkowania. Przyjmujemy średnicę pręta równą 43 mm.
Dla tak zaprojektowanego pręta maksymalne naprężenia styczne są równe:
5.6
Wytrzymałość materiałów
τ max =
M s 16M s 16 ⋅ 900 000
=
=
= 57,65 MPa < kt
Ws
π d3
π ⋅ 433
a całkowity kąt skręcenia wynosi:
φ max =
M s l 32M s l 32 ⋅ 900 000 ⋅ 500
=
=
= 0,0167 rad = 0,96° < φ dop
G Is G π d4
80 000 ⋅ π ⋅ 434
5.7
Skręcanie prętów – projektowanie
Zadanie 5.2.
Zaprojektować pręt o przekroju pierścieniowym z warunku nośności i/lub warunku
użytkowania. Pręt ma długość l = 2 m i jest obciążony momentem skręcającym
M s = 300 N ⋅ m . Dopuszczalne naprężenia na skręcanie są równe kt = 100 MPa ,
natomiast kąt skręcenia pręta nie może być większy niż 1° . Dane: G = 80 000 MPa ,
dz /dw ≤ 1,5 .
Rozwiązanie
Wskaźnik wytrzymałości na skręcanie jest równy (5.7):
Ws =
4
4
) π [(1,5dw )4 − dw
]
π (d z4 − dw
3
=
= 0,5318 dw
16 d z
16 ⋅ 1,5 dw
Warunek nośności zapiszemy następująco:
τ max =
Ms
Ms
=
≤ kt
3
Ws 0,5318 dw
Wykonując kolejne przekształcenia, wyznaczamy minimalną średnicę wewnętrzną
pręta:
3
≥
dw
Ms
0,5318 kt
dw ≥ 3
Ms
0,5318 kt
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:
dw ≥ 3
300 000
= 17,80 mm
0,5318 ⋅ 100
Biegunowy moment bezwładności jest równy (5.8):
Is =
4
4
) π [(1,5dw )4 − dw
]
π (d z4 − dw
4
=
= 0,3988 dw
32
32
Warunek użytkowania zapiszemy następująco:
φ max =
Ms l
Ms l
=
≤ φ dop
4
G I s 0,3988 G dw
Wykonując kolejne przekształcenia, wyznaczamy minimalną średnicę wewnętrzną
pręta:
4
≥
dw
dw ≥ 4
Ms l
0,3988 G φ dop
Ms l
0,3988 G φ dop
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy (1° = 0,0175 rad ):
dw ≥ 4
300 000 ⋅ 2000
= 32,22 mm
0,3988 ⋅ 80 000 ⋅ 0,0175
5.8
Wytrzymałość materiałów
Decydujący jest warunek użytkowania. Przyjmujemy średnicę wewnętrzną równą
33 mm, a zewnętrzną – 49 mm. Dla tak zaprojektowanego pręta maksymalne naprężenia styczne są równe:
τ max =
16M s dz
Ms
16 ⋅ 300 000 ⋅ 49
=
=
= 16,35 MPa < kt
4
4
Ws π (dz − dw )
π (494 − 334 )
a całkowity kąt skręcenia wynosi:
φ max =
Ms l
32M s l
32 ⋅ 300 000 ⋅ 2000
=
=
= 0,0167 rad = 0,96° < φ dop
4
4
G I s π (dz − dw )G π (494 − 334 ) ⋅ 80 000
5.9
Skręcanie prętów – projektowanie
Zadanie 5.3.
Zaprojektować pręt o przekroju pierścieniowym cienkościennym ( δ = 0,01d ) z warunku nośności. Pręt jest obciążony momentem skręcającym M s = 10 kN ⋅ m . Dopuszczalne naprężenia na skręcanie są równe kt = 100 MPa .
Rozwiązanie
Wskaźnik wytrzymałości na skręcanie jest równy (5.10):
Ws =
π d2
π d2
δ=
⋅ 0,01d = 0,005 π d 3
2
2
Warunek nośności zapiszemy następująco:
τ max =
Ms
Ms
=
≤ kt
Ws 0,005 π d 3
Wykonując kolejne przekształcenia, wyznaczamy minimalną średnicę pręta:
d3 ≥
Ms
0,005 π kt
d≥3
Ms
0,005 π kt
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy średnicę pręta:
d≥3
10 ⋅ 106
= 185,34 mm
0,005 ⋅ π ⋅ 100
oraz grubość ścianki:
δ = 0,01d = 0,01 ⋅ 185,34 = 1,8534 mm
Przyjmujemy średnicę pręta d = 186 mm oraz grubość ścianki δ = 2 mm . Dla tak
zaprojektowanego pręta maksymalne naprężenia styczne są równe:
τ max =
2M s
Ms
2 ⋅ 10 ⋅ 10 6
=
=
= 92,01 MPa < kt
Ws π d 2 δ π ⋅ 1862 ⋅ 2
5.10
Wytrzymałość materiałów
Zadanie 5.4.
Zaprojektować pręt o przekroju cienkościennym o profilu zamkniętym (rys. 5.4)
z warunku nośności i/lub warunku użytkowania. Pręt ma długość l = 1 m i jest
obciążony momentem skręcającym M s = 16 kN ⋅ m . Dopuszczalne naprężenia na skręcanie są równe kt = 100 MPa , natomiast kąt skręcenia pręta nie może być większy
niż 1° . Dane: G = 80 000 MPa , δ = 0,02 b .
Rys. 5.4
Rozwiązanie
Wskaźnik wytrzymałości na skręcanie jest równy (5.14):
Ws = 2A0 δ min = 2 b 2 ⋅ 0,02b = 0,04 b 3
Warunek nośności zapiszemy następująco:
τ max =
Ms
Ms
=
≤ kt
Ws 0,04 b 3
Wykonując kolejne przekształcenia, wyznaczamy minimalną szerokość pręta:
b3 ≥
Ms
0,04 kt
b≥3
Ms
0,04 kt
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:
b≥3
16 ⋅ 106
= 158,74 mm
0,04 ⋅ 100
Wskaźnik sztywności przekroju na skręcanie wyznaczamy z zależności (5.15):
Is =
4A02
4
b
∑ δii
i =1
=
4(b 2 )2
= b 3δ = b 3 ⋅ 0,02 b = 0,02 b 4
b
4
δ
Warunek użytkowania zapiszemy następująco:
φ max =
Ms l
Ms l
=
≤ φ dop
G I s 0,02G b 4
Wykonując kolejne przekształcenia, wyznaczamy minimalną szerokość pręta:
b4 ≥
Ms l
0,02G φ dop
b≥4
Ms l
0,02 G φ dop
5.11
Skręcanie prętów – projektowanie
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy (1° = 0,0175 rad ):
b≥4
16 ⋅ 106 ⋅ 1000
= 154,61 mm
0,02 ⋅ 80 000 ⋅ 0,0175
Decydujący jest warunek nośności. Przyjmujemy szerokość przekroju b = 159 mm
oraz grubość ścianki δ = 3,2 mm . Dla tak zaprojektowanego pręta maksymalne naprężenia styczne są równe:
τ max =
Ms
Ms
16 ⋅ 106
=
=
= 98,89 MPa < kt
Ws 2A0δ min 2 ⋅ 1592 ⋅ 3,2
a całkowity kąt skręcenia wynosi:
φ max =
Ms l
=
G Is
Ms l
4(b 2 )2
G
b
4
δ
=
Ms l
G b 3δ
=
16 ⋅ 10 6 ⋅ 1000
80 000 ⋅ 1593 ⋅ 3,2
= 0,0155 rad = 0,89° < φ dop
5.12
Wytrzymałość materiałów
Zadanie 5.5.
Zaprojektować pręt o przekroju cienkościennym o profilu otwartym (rys. 5.5)
z warunku nośności i/lub warunku użytkowania. Pręt ma długość l = 1 m i jest
obciążony momentem skręcającym M s = 200 N ⋅ m . Dopuszczalne naprężenia na skręcanie są równe kt = 100 MPa , natomiast kąt skręcenia pręta nie może być większy
niż 1° . Dane: G = 80 000 MPa , δ = 0,02 b .
Rys. 5.5
Rozwiązanie
Wskaźnik sztywności przekroju na skręcanie jest równy (5.13):
Is =
=
1 5
1 ⎛b
b
⎞ 4
bi δ13 = ⎜ δ 3 + b δ 3 + b δ 3 + b δ 3 + δ 3 ⎟ = b δ 3 =
3 i =1
3⎝2
2 ⎠ 3
∑
4
32 b 4
b4
=
b ⋅ (0,02 b )3 =
3
3 ⋅ 10 6 93750
a wskaźnik wytrzymałości na skręcanie (5.12):
Ws =
Is
δ max
=
b4
b4
b3
=
=
93750 δ 93750 ⋅ 0,02 b 1875
Warunek nośności zapiszemy następująco:
τ max =
M s 1875 M s
=
≤ kt
Ws
b3
Wykonując kolejne przekształcenia, wyznaczamy minimalną wartość parametru b :
b3 ≥
1875 M s
kt
b≥3
1875 M s
kt
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:
b≥3
1875 ⋅ 200 000
= 155,36 mm
100
Warunek użytkowania zapiszemy następująco:
φ max =
M s l 93750 M s l
=
≤ φ dop
G Is
G b4
Wykonując kolejne przekształcenia, wyznaczamy minimalną wartość parametru b :
b4 ≥
93750 M s l
G φ dop
5.13
Skręcanie prętów – projektowanie
b≥4
93750 M s l
G φ dop
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy (1° = 0,0175 rad ):
b≥4
93750 ⋅ 200 000 ⋅ 1000
= 340,19 mm
80 000 ⋅ 0,0175
Decydujący jest warunek użytkowania. Przyjmujemy wartość parametru b =
= 341 mm oraz grubość ścianki δ = 6,9 mm . Dla tak zaprojektowanego pręta maksymalne naprężenia styczne są równe:
τ max =
Ms
Ms
200 000
=
=
= 9,24 MPa < kt
4
4
Ws
2
2
bδ
⋅ 341 ⋅ 6,9
3
3
a całkowity kąt skręcenia wynosi:
φ max =
Ms l
Ms l
200 000 ⋅ 1000
=
=
= 0,0167 rad = 0,96° < φ dop
4
4
G Is
⋅ 80 000 ⋅ 341 ⋅ 6,93
G bδ3
3
3
5.14
Wytrzymałość materiałów
Zadanie 5.6.
Zaprojektować pręt o przekroju cienkościennym o profilu zamkniętym (rys. 5.6)
z warunku nośności i/lub warunku użytkowania. Pręt ma długość l = 2 m i jest
obciążony momentem skręcającym M s = 25 kN ⋅ m . Dopuszczalne naprężenia na skręcanie są równe kt = 100 MPa , natomiast kąt skręcenia pręta nie może być większy
niż 1° . Dane: G = 80 000 MPa , δ = 0,01b .
Rys. 5.6
Rozwiązanie
Wskaźnik wytrzymałości na skręcanie jest równy (5.14):
Ws = 2A0 δ min = 2 (2b ⋅ b ) ⋅ 0,01b = 0,04 b 3
Warunek nośności zapiszemy następująco:
τ max =
Ms
Ms
=
≤ kt
Ws 0,04 b 3
Wykonując kolejne przekształcenia, wyznaczamy minimalną szerokość pręta:
b3 ≥
Ms
0,04 kt
b≥3
Ms
0,04 kt
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:
b≥3
25 ⋅ 10 6
= 184,20 mm
0,04 ⋅ 100
Wskaźnik sztywności przekroju na skręcanie wyznaczamy z zależności (5.15):
Is =
4A02
4
b
∑ δii
i =1
=
4(2b ⋅ b )2
16 3
16 3
=
b δ=
b ⋅ 0,01b = 0,032 b 4
b
b
2
5
5
2
+2
δ
2δ
Warunek użytkowania zapiszemy następująco:
φ max =
Ms l
Ms l
=
≤ φ dop
G I s 0,032G b 4
Wykonując kolejne przekształcenia, wyznaczamy minimalną szerokość pręta:
b4 ≥
Ms l
0,032G φ dop
b≥4
Ms l
0,032 G φ dop
5.15
Skręcanie prętów – projektowanie
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy ( 1° = 0,0175 rad ):
b≥4
25 ⋅ 10 6 ⋅ 2000
= 182,78 mm
0,032 ⋅ 80 000 ⋅ 0,0175
Decydujący jest warunek nośności. Przyjmujemy szerokość przekroju b = 185 mm
oraz grubość ścianki równą:
δ = 0,01b = 0,01 ⋅ 185 = 1,85 mm
Dla tak zaprojektowanego pręta maksymalne naprężenia styczne są równe:
τ max =
Ms
Ms
25 ⋅ 10 6
=
=
= 98,71 MPa < kt
Ws 2A0δ min 2 ⋅ (370 ⋅ 185 ) ⋅ 1,85
a całkowity kąt skręcenia wynosi:
φ max =
Ms l
=
G Is
Ms l
=
5 Ms l
5
25 ⋅ 10 6 ⋅ 2000
=
⋅
=
16 G b 3δ 16 80 000 ⋅ 185 3 ⋅ 1,85
4(2b 2 )2
b
5
δ
= 0,0167 rad = 0,96° < φ dop
G
5.16
Wytrzymałość materiałów
Zadanie 5.7.
Zaprojektować pręt o przekroju cienkościennym o profilu otwartym (rys. 5.7)
z warunku nośności i/lub warunku użytkowania. Pręt ma długość l = 0,8 m i jest
obciążony momentem skręcającym M s = 140 N ⋅ m . Dopuszczalne naprężenia na skręcanie są równe kt = 100 MPa , natomiast kąt skręcenia pręta nie może być większy
niż 1° . Dane: G = 80 000 MPa , δ = 0,02 b .
Rys. 5.7
Rozwiązanie
Wskaźnik sztywności przekroju na skręcanie jest równy (5.13):
Is =
=
1 3
1
56
bi δ13 = [b (3δ )3 + 2b δ 3 + b (3δ )3 ] =
bδ3 =
3 i =1
3
3
∑
56
448 b 4
7b4
b ⋅ (0,02 b )3 =
=
3
46 875
3 ⋅ 10 6
a wskaźnik wytrzymałości na skręcanie (5.12):
Ws =
Is
δ max
=
7b4
7b4
14 b 3
=
=
46 875 ⋅ 3 δ 46 875 ⋅ 3 ⋅ 0,02 b 5625
Warunek nośności zapiszemy następująco:
τ max =
M s 5625 M s
=
≤ kt
Ws
14 b 3
Wykonując kolejne przekształcenia, wyznaczamy minimalną wartość parametru b :
b3 ≥
5625 M s
14 kt
b≥3
5625 M s
14 kt
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:
b≥3
5625 ⋅ 140 000
= 82,55 mm
14 ⋅ 100
Warunek użytkowania zapiszemy następująco:
φ max =
M s l 46 875 M s l
=
≤ φ dop
G Is
7G b 4
5.17
Skręcanie prętów – projektowanie
Wykonując kolejne przekształcenia, wyznaczamy minimalną wartość parametru b :
b4 ≥
46 875 M s l
7 G φ dop
b≥4
46 875 M s l
7 G φ dop
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy ( 1° = 0,0175 rad ):
b≥4
46 875 ⋅ 140 000 ⋅ 800
= 152,14 mm
7 ⋅ 80 000 ⋅ 0,0175
Decydujący jest warunek użytkowania. Przyjmujemy wartość parametru b =
= 153 mm oraz grubość ścianki:
δ = 0,02 b = 0,02 ⋅ 153 = 3,06 mm
Zaokrąglamy grubość ścianki w górę (z dokładnością do 0,1 mm) i przyjmujemy
δ = 3,1 mm . Dla tak zaprojektowanego pręta maksymalne naprężenia styczne są
równe:
τ max =
Ms
Ms
9Ms
9 ⋅ 140 000
= 15,30 MPa < kt
=
=
=
3
2
Ws
56 b δ
56 ⋅ 153 ⋅ (3,1)2
56 b δ
3 3δ
a całkowity kąt skręcenia wynosi:
φ max =
Ms l
Ms l
140 000 ⋅ 800
=
=
= 0,0165 rad = 0,94° < φ dop
56
56
G Is
3
3
G bδ
⋅ 80 000 ⋅ 153 ⋅ 3,1
3
3
5.18
Wytrzymałość materiałów
Zadanie 5.8.
Pręt o długości l = 1 m obciążono momentem skręcającym M s = 120 N ⋅ m . Przekrój
pręta przedstawiono na rys. 5.4. Wyznaczyć maksymalne naprężenia styczne τ max
wywołane momentem skręcającym oraz całkowity kąt skręcenia pręta φ max . Rozważyć dwa warianty przekroju – zamknięty i otwarty. Dane: b = 40 mm , h = 60 mm ,
δ = 2 mm , G = 80 000 MPa .
Rys. 5.8
Rozwiązanie
Wariant I – przekrój zamknięty
Pole powierzchni przekroju poprzecznego ograniczone linią średnią jest równe:
A0 = b h = 40 ⋅ 60 = 2400 mm2
a minimalna grubość ścianki:
δ min = δ = 2 mm
Wskaźnik wytrzymałości na skręcanie jest zatem równy (5.14):
Ws = 2A0 δ min = 2 ⋅ 2400 ⋅ 2 = 9600 mm3
Maksymalne naprężenia styczne obliczamy korzystając ze wzoru (5.3):
τ max =
M s 120 000
=
= 12,5 MPa
Ws
9600
Wskaźnik sztywności przekroju na skręcanie jest równy (5.14):
Is =
4A02
4
b
∑ δii
=
i =1
4A02
8 A02 δ
8 ⋅ 2400 2 ⋅ 2
=
=
= 256 000 mm 4
b h b h 3b + 4h 3 ⋅ 40 + 4 ⋅ 60
+ + +
2δ δ δ δ
Całkowity kąt skręcenia pręta obliczamy korzystając z zależności (5.5):
φ max =
Ms l
120 000 ⋅ 1000
=
= 5,86 ⋅ 10 − 3 rad = 0,34°
G I s 80 000 ⋅ 256 000
Wariant II – przekrój otwarty
Wskaźnik sztywności przekroju na skręcanie jest równy (5.13):
Is =
=
1 4
1
1
bi δ i3 = [b (2δ )3 + h δ 3 + b δ 3 + h δ 3 ] = (9b + 2h )δ 3 =
3 i =1
3
3
∑
1
(9 ⋅ 40 + 2 ⋅ 60) ⋅ 23 = 1280 mm4
3
5.19
Skręcanie prętów – projektowanie
a wskaźnik wytrzymałości na skręcanie (5.12):
Ws =
Is
δ max
=
1280
= 320 mm3
4
Maksymalne naprężenia styczne obliczamy korzystając ze wzoru (5.3):
τ max =
M s 120 000
=
= 375 MPa
320
Ws
natomiast kąt skręcenia pręta – w oparciu o zależność (5.5):
φ max =
M s l 120 000 ⋅ 1000
=
= 1,172 rad = 67,14°
G Is
80 000 ⋅ 1280