Definicja odchylenie standardowe odchylenie
Transkrypt
Definicja odchylenie standardowe odchylenie
Kurs Prawdopodobieństwo Wzory Elementy kombinatoryki „Klasyczna” definicja prawdopodobieństwa P A gdzie: A - liczba zdarzeń sprzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274 Prawdopodobieństwo – definicja Kołmogorowa - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych S – „sigma-ciało” na zbiorze , czyli zbiór jego podzbiorów spełniający warunki: 1) S 2) S S 3) 1 , 2 , 3 ,... S 1 2 3 ... U n S n 1 P – funkcja o argumentach ze zbioru S i wartościach będących liczbami rzeczywistymi, spełniająca warunki („aksjomaty”): 1. P 0 S 2. P 1 3. P 1 2 3 ... P 1 P 2 P 3 ... - dla zdarzeń parami rozłącznych, tzn. i j dla i j Wartości funkcji P A możemy nazywać „prawdopodobieństwem” Własności prawdopodobieństwa 1. P 0,1 2. P 0 3. P P 4. P 1 P 5. P \ P P 6. P P P P Niezależność zdarzeń Zdarzenia A i B są niezależne, gdy: P P P Prawdopodobieństwo warunkowe Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B oznaczamy jako P | i liczymy ze wzoru: eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274 P | P P Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa Zakładając, że i j dla i j i P 1 P 2 ... P n 1 : Prawdopodobieństwo całkowite P P 1 P 1 P 2 P 2 ... P n P n Wzór Bayesa P i P i P i P Schemat Bernoulliego Prawdopodobieństwo zajścia k „sukcesów” w n niezależnych i identycznych doświadczeniach, z których każde może zakończyć się tylko na dwa sposoby (z prawdopodobieństwami p dla „sukcesu” i q dla „porażki”) wynosi: n P S k p k q nk k eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274 Zmienne losowe Dyskretne zmienne losowe Rozkład p i 1 Dystrybuanta F x P X x Wartość oczekiwana EX xi pi Mediana x0,5 , Me Wartość zmiennej losowej, dla której skumulowane prawdopodobieństwa „przekraczają” 1 2 Dominanta, moda D Wartość zmiennej losowej osiągana z największym prawdopodobieństwem Kwantyl rzędu p x p Wartość zmiennej losowej, dla której skumulowane prawdopodobieństwa „przekraczają” p Wariancja D 2 X , 2 D2 X xi EX pi , D2 X EX n EX 2 n Odchylenie standardowe D X , D X D2 X Współczynnik zmienności V V D X EX eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274 Moment zwykły n-tego rzędu EX n , n EX n xin pi Moment centralny n-tego rzędu n n xi EX pi n Współczynnik asymetrii 1 3 D X 3 Współczynnik koncentracji K 4 D X 4 Przykłady rozkładów dyskretnych zmiennych losowych Rozkład Bernoulliego W rozkładzie Bernoulliego prawdopodobieństwa określane są ze wzoru: n P X k p k q nk k EX np D2 X npq Rozkład Poissona W rozkładzie Poissona prawdopodobieństwa określane są ze wzoru: P X k k k! e EX D2 X Dla dużych n i małych p rozkład Bernoulliego można zastępować rozkładem Poissona eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274 Rozkład hipergeometryczny W rozkładzie hipergeometrycznym prawdopodobieństwa określane są ze wzoru: M N M k n k P X k N n Gdzie N to ilość wszystkich elementów w populacji, M to ilość wszystkich elementów w populacji o określonej cesze, n to ilość elementów w próbce, k to ilość elementów w próbce o określonej cesze EX M n N D2 X n M M N n 1 N N N 1 Dla dużych N i M, oraz M p rozkład Bernoulliego można zastępować rozkładem N hipergeometrycznym. eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274 Ciągłe zmienne losowe Funkcja gęstości f x b P a X b f x dx a f x dx 1 Dystrybuanta F x P X x x f t dt Wartość oczekiwana EX xf x dx Mediana x0,5 , Me Wartość x0,5 , dla której F x0,5 0,5 Dominanta, moda D Maksimum globalne funkcji gęstości f x Kwantyl rzędu p x p Wartość x p , dla której F x p p Wariancja D 2 X , 2 D2 X x EX f x dx , D X EX EX 2 2 n Odchylenie standardowe D X , D X D2 X eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274 n Współczynnik zmienności V V D X EX Moment zwykły n-tego rzędu EX n , n x f x dx EX n EX n Moment centralny n-tego rzędu n n x EX f x dx n Współczynnik asymetrii 1 3 D X 3 Współczynnik koncentracji K 4 D X 4 Przykłady rozkładów ciągłych zmiennych losowych Rozkład normalny W rozkładzie normalnym prawdopodobieństwa określane są z funkcji gęstości o wzorze: 1 f x e 2 x m 2 2 2 EX m D2 X 2 Standaryzacja rozkładu normalnego: Z X m eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274 Rozkład jednostajny W rozkładzie jednostajnym prawdopodobieństwa określane są z funkcji gęstości o wzorze: 1 w przedziale x a, b f x b a dla pozostalych x 0 Rozkład wykładniczy W rozkładzie wykładniczym prawdopodobieństwa określane są z funkcji gęstości o wzorze: 1 x e dla x 0 f x 0 dla x 0 EX D2 X eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274 Zmienne losowe dwuwymiarowe Dyskretne zmienne losowe dwuwymiarowe Rozkład Rozkłady brzegowe p , p i. i .j j Prawdopodobieństwo warunkowe P X xi Y y j pij p. j , P Y y j X xi pij pi. Niezależność zmiennych losowych Dwie zmienne losowe X i Y nazywamy niezależnymi, gdy: P X xi , Y y j P X xi P Y y j i, j Dystrybuanta F x, y P X x, Y y pij xi x y j y Wartości oczekiwane Wartości oczekiwane EX , EY liczymy z rozkładów brzegowych Wariancje Wariancje D 2 X D 2 Y , liczymy z rozkładów brzegowych. eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274 Kowariancja C X , Y xi E X y j E Y pij i j Współczynnik korelacji C X ,Y D X D Y Jeśli 0 zmienne losowe nazywamy „nieskorelowanymi”. Nie oznacza to jednak, że są niezależne. Jeśli jednak zmienne losowe są niezależne, to na pewno 0 . eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274 Ciągłe zmienne losowe dwuwymiarowe Funkcja gęstości f x, y b d P a X b, c Y d f x, y dydx a c f x, y dydx 1 Rozkłady brzegowe f1 x f x, y dy , f 2 y f x, y dx Rozkłady warunkowe f X Y f x, y f2 y , f Y X f x, y f1 x Niezależność zmiennych losowych Dwie zmienne losowe X i Y nazywamy niezależnymi, gdy dla dowolnych x i y: f x, y f1 x f 2 y Dystrybuanta F x, y P X x, Y y x y f u, v dudv Wartości oczekiwane EX xf x dx 1 E Y yf y dy 2 eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274 Wariancje D2 X x EX f x dx 2 1 D 2 Y y EY 2 f 2 y dx Kowariancja C X ,Y x E X y E Y f x, y dxdy Współczynnik korelacji C X ,Y D X D Y Jeśli 0 zmienne losowe nazywamy „nieskorelowanymi”. Nie oznacza to jednak, że są niezależne. Jeśli jednak zmienne losowe są niezależne, to na pewno 0 . eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyński www.etrapez.pl Tel. 603 088 274