Rzut środkowy a rzut cechowany.

Anna KULIG
Samodzielna
PracowniaGeometriiWykreślnej
i G'afiki InzvnierskiejP olitechniki Kra kowskiej
RZUT SRODKOW}' A RZUT CECHO}VAIYY
Metodę rzufu Środkowego i prostokątnegona tę samąrzufirięuąrto w celu pokazanra
związkow geometryczrych zach,odzących pomiędzy obydwoma odwzorowaniami tego
samego obiektu przesftzennego.
a' ze środkarzufu o na
Wemy pod uwagę prostą a (rys. nr l ), jej rzut środkou,,y
:
rzunrię T 1Toraz rzut prostokątnya'prostej a.
Rys. w f przedstawiaobydwa rz|Jtyprosteja na pł'aszcrynę rySunku.
Q7nrc,7myprzez..
o, _ punl..tgtowny (rant prostokątny środka
rzufu o na rzunrię r)
głębokośc
6
tłową (odległośćśrodkao
odr) 6:OO,
fl, - promien zbiegu (prosta rzucającapunkt
niewtaści*yT prostejo..h,= oZ,)
Z, . śladzbiegu prostej a ( punkt wspolny
rzuuri i promienia zbiegu prostej a)
To - śladtłowy prostej a (puolc wspolny
rzutri i prostej a)
d - rztfi środkowyprostej a z punlttu o na
Rys. 1.
a, -
fl,,-
r (a,=Tp,)
rant prostokąfiry prostej a na rzutnię
7r=T
,ł,=
32:,*ąb1y
promieniazbiegu
Rzut środkowyprostej a to prosta d
punktamj Zo, ą. Rzut prostokątny
ola.eślona
.'-proste; a możemy unać, za rzut cechowany'
Mozra bowiem wskazać cechy dwoch
punktow prostej a w jej rzucle prostokątnym.
Punk1 Ę jest jednocześnieślademHo prostej
a, zatem ma cechę zero.
ZauważmY,ze punkt zriknienia prostej
a tj jej pun}ftprzebicia płaszcątznv aniknie.
Rys. 2.
nia (płaszcz7ny przechodzącej przez o i rownoległejdo r ) on,aczony Ą' k.toregorzut
prostokątnyozlaczollo N,, , ma taką Samąodległość
od rzufiri jak środekrzutu o. Zatem
punktĄ ma cechęrowną głębokości
tłowejd.
Rzutem środkowympunktu Ą j.'t punkt niewłaściwy
M- prosteja. Zauważmy,iż punĘ O,
, Z,, To, N,otworząrÓwnoległobok.
-44-
' r ' l l o ' e O,Z,II N,' T,
a , l l n ' n e zoT, ll o, N'n
Jeślidany jest rzut środkowyprostejxs Z,T, oraz O, i d to konstrukcja rzutu
Wystarczy (rys. ru.2) poprowadnc prostąa'
cechowanegotej prostejjest natvchmiastowa.
rownoległądo n., ptzez punk1Ę. Prosta il,,,
rowlloległado t poprowadzona przez punk
O, v,tyanaczana prostej a' punkt N'o o cesze
rownej d
odwr.otnie:jeślidanyjest rzut cechowany
a' prostej a na ft oraz O, , 6 to konstrukcja
rzufu środkowegod tej prostej ( z punktu o
(o)=Ho(01
(rys.ff 3)
na T _ r)jest następująca:
l) nalezy na prosteja'wsk^zacpunkt N'(a) o
cesze rownej d i połączyc z o, - jest to
prosta fl'.r.
z) z punlttu o, poprowadzić prostą n,.
do a'.
rownoległą
3 ) p|zez punkt H ,(o) - T, poprowadżc
prostą d rownoległądo fl,,, .
Proste n '' t t wynacząpunk1 Z,. obiernly
Rys.3.
punĘ A,B,,.. na prostej a. Skonstruujemy
perspektywęA, , B' ,... f.Vchpunktow. Proste oA, oB,... , SĄ promieniami twdzen)an,,,
ll'g , ...
fr'.r=OrA'
, fl'u=OrB
Punktamiwspolnymiprosteja, otazprosĘch n,u, n,u,... sąpunkryA,, B,, ...
Szeregi a,(A,, B,, ...) t d(A', B', ...) Są perspekrywiczle.IdenĘazrlyzwiązek perspektywrczrości zachodn pomiędzy rzutem cechowanym a rzutem środkowym kazdej prostej
jest zawsze o,.
przestzeni. Srodkiem perspektywrczrości
Szczeg lne polożenieprostej względemrzutni t = n
Rys. 4a
-45-
l . Jeśtiprosta jest prostopadłado tła (rys' nr 4a)
to oczywiściejej rnlt cechowany jest
punktemTo= a, zaśrzut środkowy
jesi prostą t: ZoT,,
2 . Jeśliprosta przechodz- przez środekrzufu (rys. nr ł61.to
odwrotrie: rzut środkorvyjest
punktemTo= Zo= d zasrTLItcechorvanyjestprostąprzechodzącąprzezpunkt
o,=N,,
o ceszed i punkt To: Zo= H, o cesze zero.
o
---4
AS=BĘZaTo.Ho
o'/
arN,(y
__
o l =N ' o
o
/
t
Rys. 4b
3. Jeśliprostajest rownoległado tła to rzut
środkowyi.cechowany prostej mają wspolny
punkt niewłaścino}'
i podana konstruk cja zawod,zibezbodatkowych
o*y.l,.
Rzut środkorvya rzut cechowan1,plasz czyzny
Wemy pod uwagę płaszc4,nę a w połozeniu
ogÓlnym względem rzubri, (rys' nr 5a
i 5b) jej rnt środkowyd i jejrzut cechowany
a, natę samą rzutnię T : 7T.
Pomiędzy rzutem środkowym d a rzutem cechowanym
a, pł.aszczyny a zachodż płaskie
przekształcenie
kolineacyjneo środkuo,, osikolineacjit,,prostej granican
ej z,w układae d
z_
Rys. 5.
-46-
Plaszczyznaw polożeniachszczegÓlnych
do tłato rzuĘ: środkowyi cechorr,anyhlorząobrazy
a). Jezell płaszcryma ajest ror,vnoległa
podobneosrodkrlO,.
jest prostą tu=4u
b). Jeżelipłaszcąvmlaa. przeclrodzlprzez środekrzutu o to rzut środkorł1,
w,arstwicao cesze purrktu o (o,,=zu:t, ) i rvarstrvicao cesze
a rz.Itceclrorvanyolu.eśla
rownej d przechodzącaprzez o,.
c). Jezeli płaszczymaa jest prostopadłado tłatzn. jest w połozeniurzufującym, a, =t,
Rzut środkorvyto perspeĘrwa pionorva występującanajczęściej
i stosowana lV pracy
architekta.
lstotnewnioski z konstrukcji:
l. Dow,olnieobranemupunktov"lA, układua, odpowiadajeden i tylko jeden punkt l'
układud i odrvronrie.
jednaprostad układud ,
2. Dowo|nieobranejprosteja'układu a'odpowiada dokładnie
3. Zbiorowi punkÓw A, , B, ,... ,|eiących na prosteja'odpowiadazbior punk1olvA' , B' ,...
lezącychna ct i odwronrie.
1. Pary odpor,viadających
sobiepunl'towA,A', B,E, lezą na prostr'ch fr,.,. il,, przechodzącyclr przez staĘ punkt o, ' Proste fr,', , fr,u SąprosĘ'miłączącyfi:ll
przyporządkowane
punk:ryw obydwu rzutach.
5. Pary odpowiadających
sobieprostych o,, d, b,, b' przecinająSięw punk-tachT,, Th |eząjednej
prostej/, .
cych na
Dla płaszc,rya)ya w połozeniu ogolnym (' n,,ykluczeniempołozen szczegÓlnych)
jest prosta niewłaściwa
zbiorem punktow nielvłaściwych
Zu-. Jej rzutem środkowymjest
prostawłaściwa
z,(śLadzbiegu).
Natomiast rzutem prostokąnrym tej prostej jest prosta niewłaściwa
z,, rztlnlu t cryLt ślad
zbiegujest prostągraniczrą układuperspektywy.
Płaszcrynla a przecina płaszczynę nriknienia wzdłuźz
prostej n , ktorej perspektywąJeSt
prosta , } -, natomiastrzutem prostokąbrymjest prostawłaściwa
n' rownoległado t, (cecha
tej prostejjest rowna głębokości
tłowej).
Prostej łl' odpowiada prosta niervłaściwa
czyli r' jest prostą graniczrą rzufu prostokątrego.
Prosta graniczra n, najduje się w taklej odległości
od o, jaka jest pomięd.y prostągraniczną
e' i osią kolineacjil'
Kolejne rysunki 6, 7, 8 ,9 przedstawiająprzykłady konstruowanrarzufu cechowanego na
podstawie rzufu środkowegodla figur i brył np: kwadrafu, sześcianu,sześcianuprzy Z,,
wielościanu.
niewłaściwym,
CENTRAL
AND TOPOGRAPHIC
PROJECTIONS
The problem of the reciprocal, geometrical relations betrveen the central and
topographicprojectionsis considered.
A simple constructionallorvrngto find the topoglahic projectionof an arbitraryobject
havinggiven its centralprojectionand vice versa is presented.Collineationis applied.
-47 -
Rys.6.
'b\ull
I
Lys.
48-
Rys. 8.