Pobierz

ZMIERZYĆ SIĘ Z KALKULATOREM
Agnieszka Cieślak
Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie
Streszczenie
Referat w prosty sposób przedstawia niekonwencjonalne sposoby mnożenia liczb. Tematyka została
przedstawiona w bardzo prosty sposób, dzięki czemu mnożenie można wykonać w znacznie krótszym
czasie niż standardowe wykonanie tej operacji na kalkulatorze.
1. Standardowa tabliczka mnożenia
Na początek warto przypomnieć sobie standardowy sposób mnożenia liczb. Każdy uczył się tabliczki
mnożenia w szkole podstawowej. Na pytanie, ile jest 7∙2, każdy w myślach szuka odpowiedzi i po
kilku sekundach wykrzykuje 14. Patrząc z perspektywy czasu nauka owej tabliczki zajęła nam dość
sporo cennego czasu. Jednym ze sposobów przyswojenia tabliczki mnożenia jest „wykucie” jej na
pamięć. Metoda ta jest najczęściej stosowana, niemniej jednak posiada jedną, poważną wadę. Im
rzadziej wracamy i odświeżamy to co się nauczyliśmy tym szybciej to zapominamy. Istnieje zatem
prostszy sposób od owego „wkuwania”. Standardowe mnożenie mieści się w zakresie od 1 do 10.
Dziesięć jest taką liczbą, która łatwo kojarzy się z dłońmi (suma palców obu dłoni wynosi 10) –
podstawowy kalkulator każdego ludzkiego ciała. Jak zatem wykorzystać 10 palców do mnożenia ?
Metoda ta jest skuteczna tylko w przypadku mnożenie liczb większych od 5.
Każda z dłoni przedstawia liczbę w zakresie od 5 – 10. Ilość palców wyprostowanych mówi o wartości
danej liczby. Jeśli wszystkie palce są zagięte reprezentuje to liczbę 5, jeden wyprostowany – liczbę 6
itp. W pierwszym kroku dodajemy ilość wyprostowanych palców na obu dłoniach do siebie. Liczbę tą
mnożymy przez 10. Następnie mnożymy ilość zgiętych palców przez siebie i dodajemy te liczby do
siebie.
www.think.wsiz.rzeszow.pl, ISSN 2082-1107, Nr 1 (2) 2010, s. 6-14
Zmierzyć się z kalkulatorem
Rysunek 1. Mnożenie za pomocą dłoni.
5∙7=(0+2) ∙10+5∙3=20+15=35
6∙7=(1+2) ∙10+4∙3=30+12=42
8∙9=(3+4)∙10+2∙1=70+2=72
Źródło: http://eduseek.interklasa.pl/artykuly/artykul/ida/2411
Tę samą metodę można przedstawić w inny sposób:
Naszym palcom na obu rękach, rozpoczynając od najmniejszego palca idąc w stronę kciuka,
przyporządkowujemy liczby od 6 do 10 w następujący sposób: najmniejszy palec – 6, palce serdeczne
-7, palce środkowe – 8, palce wskazujące - 9, kciuki - 10.
Rysunek 2. Numeracja palców
Źródło: Opracowanie własne.
Obliczamy 7∙7. W pierwszym kroku łączymy palce odpowiadające liczbie siedem, czyli palce
serdeczne. Trzymając dłonie wewnętrzną stroną do siebie sumujemy palce złączone oraz te które
mają mniejszą wartość od nich (w naszym przypadku będą to palce małe). Będą one oznaczały ilość
dziesiątek. Razem otrzymujemy 4 palce oznaczające dziesiątki, czyli liczbę 40. Następnie mnożymy
7
Zmierzyć się z kalkulatorem
ilość pozostałych palców, czyli tych, które są powyżej złączonych palców serdecznych. Trzy na jednej
ręce i trzy na drugiej, czyli 3∙3 = 9. Wyniki sumujemy 40+9=49.
Numeracja palców u dłoni w przeciwnym kierunku powoduje odwrócenie działań – dodajemy palce
złączone i te powyżej nich oraz mnożymy ilość znajdującą się poniżej złączonych palców.
Mnożenie przez 9 w inny sposób.
Rysunek 3. Układ dłoni
Źródło: Opracowanie własne.
W pierwszym kroku należy rozłożyć dłonie tak, aby kciuki znajdowały się po zewnętrznych stronach.
Następnie numerujemy je tak jak na Rysunku 3. W kolejnym kroku postępujemy zgodnie z zasadą
przedstawioną na przykładzie zilustrowanym Rysunkiem 4.
Rysunek 4. Mnożenie 9∙2
Źródło: Opracowanie własne.
Przypuśćmy, że mnożymy 9∙2. Należy najpierw „zamalować” palec o numerze 2. Następnie obliczymy
ile palców od „zamalowanego” znajduje się po lewej stronie. Liczba ta stanowi liczbę dziesiątek
iloczynu. Ilość palców znajdująca się po prawej stronie odpowiada za liczbę jedności.
Metoda ta jest prawdziwa gdy jednym z czynników iloczynu jest 9. Drugim czynnikiem jest liczba
odpowiadająca za „zamalowanego” palca.
8
Zmierzyć się z kalkulatorem
Trudność tego typu mnożenia polega jedynie na tym, aby zapamiętać który palec odpowiada za jaką
liczbę.
2. Mnożenie liczb dwucyfrowych
Można spróbować mnożenia pisemnego – szybkość obliczeń jest niekiedy długa i przeznaczona dla
cierpliwych. Na kalkulatorze zajęłoby to kilka sekund. Czas zależy głównie od szybkości wciskania
klawiszy. Nie zawsze mamy jednak dostęp do kalkulatora. Co zrobić zatem gdy go nie mamy? Czy
ostatecznie skazani jesteśmy na żmudne liczenie pisemne? Otóż okazuje się, że mnożenia tego typu
można dokonać bez korzystania z mnożenia pisemnego.
Zakres 10 – 20.
Pomnóżmy teraz np. 13∙12.
Rysunek 5. Mnożenie 13∙12
Źródło: Opracowanie własne.
Zadany iloczyn można rozpisać w ten sposób, że drugą liczbę zapiszemy w postaci sumy 10
i pozostałej wartości, tzn. 13∙12=13∙(10+2). Następnie dodajemy do pierwszej liczby drugi składnik
naszej sumy (interesuje nas tylko liczba 2), otrzymujemy zatem 13+2=15. Liczba 10 w zapisie ma
jedno zero zatem musimy dopisać do liczby z prawej strony jeszcze jedną liczbę będącą iloczynem
cyfr jedności, w przedstawionym przykładzie jest to 3∙2=6. Otrzymujemy zatem 13∙12 = 156.
9
Zmierzyć się z kalkulatorem
Kolejny przykład to 16∙19.
Rysunek 6. Mnożenie 16∙19
Źródło: Opracowanie własne.
Działania wykonujemy w ten sam sposób co poprzednio. Do 16 dodajemy 9, otrzymując 25 – jest to
pierwsza część wyniku. Następnie mnożymy 6 x 9 i otrzymujemy 54, a ponieważ 19 można rozpisać
jako 10 + 9, wiemy że powinniśmy dopisać tylko jedną cyfrę (10 ma jedno zero). Pojawia się kłopot co
zrobić z liczbą 5? Otóż zapisujemy liczbę w ten sposób, że jedności idą na miejsce cyfry, którą
powinniśmy dopisać, a 5 dodajemy do liczby dziesiątek.
Zakres 90 -100.
Rysunek 7. Mnożenie 95∙97
Źródło: Opracowanie własne.
Pomnóżmy 95∙97. W pierwszym kroku znajdujemy liczby będące uzupełnieniem obu czynników do
liczby 100. Dla liczby 95 jest to 5, zaś dla 97 jest to 3. Następnie odejmujemy „na krzyż”, tzn. od liczby
95 odejmujemy 3, a od 97 odejmujemy 5. W obu przypadkach otrzymujemy to samo, czyli 92 i są to
pierwsze dwie liczby wyniku. Kolejne dwie stanowi iloczyn dopełnień, czyli 5∙3, co daje 15. Wynik
mnożenia to 9215.
Pozostałe liczby.
Mnożąc dwie dowolne liczby dwucyfrowe przez siebie można skorzystać z następującej reguły.
10
Zmierzyć się z kalkulatorem
Rysunek 8. Mnożenie 42∙57
Źródło: Opracowanie własne.
W pierwszym kroku mnożymy przez siebie liczby dziesiątek (5∙4=20). Otrzymujemy w ten sposób
dwie pierwsze liczby wyniku. Musimy dopisać jeszcze dwie cyfry do wyniku. W następnym kroku
mnożymy liczby jedności (2∙7=14). Wynik zapisujemy na ostatniej pozycji. W przypadku otrzymania
liczby dwucyfrowej zapisujemy ją na dwóch ostatnich pozycjach. Kolejnym krokiem jest mnożenie
skrajnych cyfr, tzn. czyli cyfra dziesiętna jednej liczby jest mnożona przez cyfrę jedności drugiej liczby
i odwrotnie (4∙7,2∙5). Następnie wyniki te należy zsumować (10+14=24) i umieścić na pozycjach
środkowych w wyniku, lub na pozycji przedostatniej w przypadku jednocyfrowego wyniku. Na końcu
sumujemy wszystkie otrzymane liczby w sposób opisany wyżej i przedstawiony na powyższym
rysunku.1
Mnożenie liczb o tej samej liczbie setek i dziesiątek oraz gdy suma jedności obu liczb daje 10.
Takie liczby to np. 34 i 36, 112 i 118 itp. W przypadku mnożenia np. 42∙48 postępujemy następująco:
obie cyfry mają tą samą cyfrę dziesiątek: jest nią 4. Ponadto suma 2+8 daje 10. Warunki zatem są
spełnione. W kolejnym kroku do liczby dziesiątek dodajemy jeden: 4+1 = 5 i liczbę tę mnożymy przez
ilość dziesiątek 4∙5 = 20. Jest to pierwsza część wyniku. Następnie musimy dopisać jeszcze dwie cyfry.
Jest to wynik iloczynu cyfr jedności 2∙8 = 16. Do liczby 20 zatem dopisujemy 16 i otrzymujemy 2016.
Rysunek 9. Mnożenie 42∙48
Źródło: Opracowanie własne.
1
http://www.youtube.com/watch?v=9qQAYEYLCoU, z dn. 10-02-2008
11
Zmierzyć się z kalkulatorem
W przypadku mnożenia liczb trzycyfrowych postępujemy podobnie. Np. mnożąc 112∙118
w pierwszym kroku otrzymujemy 12∙11 = 132 (korzystamy z metody przedstawionej wcześniej:12+1
oraz 2∙1) a następnie mnożymy 2∙8 = 16. Wynik końcowy to 13216.
3. Mnożenie za pomocą rysowania linii
Metoda pozwala na mnożenie dowolnych liczb przez siebie. Pomnóżmy przykładowo 23∙14.
Rysunek 10. Układ linii
Źródło: Opracowanie własne.
W pierwszym kroku rysujemy w odpowiedni sposób pewną ilość linii. Zostało to przedstawione na
Rysunku 11. Bierzemy liczbę 23. Składa się ona z 2 i 3, zatem rysujemy 2 linie i po większym odstępie
równolegle 3 linie. Linie reprezentujące kolejną cyfrę rysujemy tak, aby linie przecinały się
prostopadle z poprzednimi.
Rysunek 11. Mnożenie za pomocą linii.
Źródło: Opracowanie własne
W kolejnym kroku zaznaczamy łukami miejsca przecięć oraz liczymy ilość linii przecinających się w
każdym łuku. Liczby te oznaczone są kolorem czarnym. Liczby znajdujące się na dole i na górze
dodajemy do siebie (8+3=11).
12
Zmierzyć się z kalkulatorem
Rysunek 12. Sposób zapisu liczb.
Źródło: Opracowanie własne
Jeśli otrzymana liczba jest dwucyfrowa należy ją przesunąć w zapisie w lewo. Sposób zapisu
pozostałych liczb jest przedstawiony na Rysunku 12 (liczba 2 jest liczbą z lewej strony Rysunku 11, zaś
liczba 12 jest liczbą z prawej strony Rysunku 11).
Wynikiem mnożenia jest więc 322.2
4. Podnoszenie do kwadratu w zakresie 10 - 20
Potęgowanie bazuje na mnożeniu. Na zakończenie zostanie przedstawiona szybka metoda
potęgowania. Przypuśćmy, że chcemy podnieść do kwadratu liczbę 12. Cyfra 2 oznacza liczbę
jedności. Cyfrę jedności dodajemy do liczby 12. W wyniku otrzymujemy cyfrę 14. Dodatkowo do
wyniku dopisujemy liczbę jedności podniesioną do kwadratu 2∙2 =4. Złożenie obu cyfr (14, 4) jest
wynikiem potęgowania cyfry 12.
12 2 = 144
12 + 2 = 14 2∙2 =4 zatem otrzymujemy 144
13 2 - > 13+3= 16 3∙3 =9 132 = 169
14 2 -> 14+4 = 18 4∙4 =16
18_
14
+ 196
142 = 196
Potęgowanie w drugiej potędze w pozostałym zakresie sprowadza się do mnożenia liczb
dwucyfrowych np. 83 2 -> 83∙83 = 6889 (8∙8 = 64_ _, 8∙3 +8∙3 =_48_, 3∙3 =_ _ _9)
2
http://www.youtube.com/watch?v=6n8hKpLaWMI&feature=related, z dn. 09-02-2009
13
Zmierzyć się z kalkulatorem
5. Bibliografia
1. http://matmaks.republika.pl/tytulowa/na%20palcach.html, z dn. 10-02-2009
2. eduseek.interklasa.pl/artykuly/artykul/ida/2411/, z dn. 10-02-2009
3. youtube.com, z dn. 10-02-2009
14