docMatematyka bankowa 2 - Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
download 
Reklamacja Transkrypt
Matematyka bankowa 2 - Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
Matematyka bankowa 2 1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Matematyka bankowa 2 Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Dorota Klim www.math.uni.lodz.pl/˜ klimdr [email protected] Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 1 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe [1] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN. Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów [2] S. G. Kellison, The Theory of Interest, McGraw-Hill Int. Ed. [3] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN. [4] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet. [5] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej, Elipsa. Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 2 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wprowadzenie Wkłady oszczędnościowe W kolejnych rozdziałach zajmiemy się ciągami płatności, dokonywanych w równych odstępach czasu, zwanymi rentami (annuity ). Przykładami rent są: comiesięczne wypłaty wynagrodzenia, okresowe spłaty długu, regularne wpłaty na rachunek oszczędnościowy (wkłady). Płatności, które składają się na rentę nazywamy ratami. Okres między dwiema kolejnymi ratami nazywamy okresem bazowym. Momentem początkowym renty jest t = 0, zaś momentem końcowym renty jest koniec okresu, za który płacona jest ostatnia rata. Elementami składowymi renty są następujące wielkości: liczba rat, długośc okresu bazowego, wysokość rat, moment pierwszej płatności, stopa procentowa okresu bazowego. Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 3 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wyróżniamy -) rentę prostą (okres kapitalizacji pokrywa się z okresem bazowym) i rentą uogólnioną (okres kapitalizacji nie pokrywa się z okresem bazowym), -) rentę czasową (o skończonej liczbie rat) i rentę wieczystą (o nieskończonej liczbie rat), -) rentę płatną z dołu, krótko rentę (gdy raty są płacone pod koniec okresu bazowego) i rentę płatną z góry (gdy raty płacone są na początku okresu bazowego). Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 4 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Wkłady oszczędnościowe są to regularne płatności dokonywane w celu zgromadzenia odpowiedniego kapitału w ustalonym czasie. Płatności te mogą być dokonywane zarówno na początku okresu płatności (z góry) jak i na końcu okresu płatności (z dołu) oraz kapitalizowane według różnych modeli kapitalizacji. Najczęściej stosuje się model oprocentowania prostego dla wkładów krótkoterminowych oraz model oprocentowania składanego dla wkładów długoterminowych. W zależności od stosowanego modelu wkłady dzielimy na proste i złożone. Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 5 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Wkłady proste płatne z dołu Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Niech i będzie stopą procentową dostosowaną do okresu bazowego. Rozważmy skończony ciąg wpłat (Cj )nj=1 dokonywanych z dołu. Wartość przyszła ciągu wkładów po n płatnościach wynosi Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach F = C1 1+(n−1)i +C2 1+(n−2)i +. . .+Cn−1 1+i +Cn , (1) Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 6 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim W przypadku, gdy płatności są jednakowej wysokości, tj. Cj = C, j = 1, . . . , n, wówczas wzór (1) przyjmie postać Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów F = C 1 + (n − 1)i + C 1 + (n − 2)i + . . . + C 1 + i + C = C n + (n − 1) + (n − 2) + . . . + 1 i n(n − 1) i , =C n+ 2 Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych czyli F = Cn 1 + n−1 2 i . (2) Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 7 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Aktualizując wartość F na moment wcześniejszy 0 ¬ n0 < n mamy Fn0 = Fn 1 + n0 i n − 1 1 + n0 i = Cn 1 + i . 1 + ni 2 1 + ni Oczywiście aktualizując F na moment n = 0 otrzymujemy wartość początkową wkładów oszczędnościowych Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych P = Fn 1 . 1 + ni Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 8 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Wkłady proste płatne z góry Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Jeżeli wpłaty Cj , j = 1, . . . , n, są dokonywane z góry, wówczas wartość przyszła będzie postaci Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych F (+1) = C1 1+n)i +C2 1+(n−1)i +. . .+Cn−1 1+2i +Cn 1+i . Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 9 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Stąd, przyjmując Cj = C, j = 1, . . . , n, otrzymujemy Wkłady proste Wkłady złożone F (+1) = C 1 + ni + C 1 + (n − 1)i + . . . + C 1 + 2i + C(1 +długów i Spłata n(n + 1) i , = C n + n + (n − 1) + . . . + 1 i = C n + 2 Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego czyli Raty kupieckie n+1 F = Cn 1 + i . 2 Analogicznie otrzymujemy wartość przyszłą wkładów zaktualizowaną na moment wcześniejszy oraz wartość początkową wkładów. (+1) Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 10 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady złożone płatne z dołu zgodnie z okresem kapitalizacji Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Załóżmy, że okres bazowy wkładów pokrywa się z okresem kapitalizacji. Rozważmy skończony ciąg płatności (Cj )nj=1 dokonywanych z dołu. Niech i będzie stopą procentową o okresie pokrywającym się z okresem bazowym. Wartość przyszła wkładów wynosi F = C1 (1 + i)n−1 + C2 (1 + i)n−2 + . . . + Cn−1 (1 + i) + Cn Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek (3) = n X j=1 Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Cj (1 + i) n−j . Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 11 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Jeżeli wkłady Cj , j = 1 . . . , n, są jednakowej wielkości C, to powyższy wzór prowadzi do postaci F =C n X Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów (1 + i)n−j . Zasada równoważności kapitałów (4) j=1 Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Stosując wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego 1 otrzymujemy F =C Wkłady oszczędnościowe (1 + i)n −1 i Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych . (5) Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 1 2 a + aq + aq + . . . + aq n−1 = n a 1−q 1−q 12 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Czynnik Wkłady proste (1 + i)n − 1 sn̄|i = i nazywamy czynnikiem wartości przyszłej dla wkładów. Stosując ten czynnik wzór (5) możemy zapisać Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie F = C · sn̄|i . Czynnik ten definiuje wartość przyszłą wkładów jednostkowych. (6) Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 13 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Aktualizując wartość F na moment wcześniejszy 0 ¬ n0 < n mamy Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Fn0 = F (1 + i)n0 −n . (7) Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego W szczególności, kładąc n0 = 0, dostajemy wzór na wartość początkową n wkładów oszczędnościowych o stałych płatnościach C 1 − (1 + i)−n . P =C i Zasada równoważności kapitałów Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych (8) Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 14 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Czynnik Wkłady proste 1 − (1 + i)−n an̄|i = i nazywamy czynnikiem wartości początkowej dla wkładów. Stosując ten czynnik wzór (8) przyjmie postać Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych P = C · an̄|i . Czynnik ten definiuje wartość początkową wkładów jednostkowych. (9) Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 15 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone płatne z góry zgodnie z okresem kapitalizacji (Cj )nj=1 Niech teraz ciąg będzie ciągiem płatności dokonywanych z góry, tzn. na początku każdego okresu płatności. Wówczas po n płatnościach wartość przyszła wkładów wyrazi się wzorem Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych F (+1) n n−1 = C1 (1+i) +C2 (1+i) 2 Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek +. . .+Cn−1 (1+i) +Cn (1+i). Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 16 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Jeżeli płatności Cj , j = 1 . . . , n, są jednakowej wielkości C, to, w myśl powyższego, otrzymujemy F (+1) n n−1 =C (1 + i) + (1 + i) n−1 2 Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów + . . . + (1 + i) + (1 + i) =C(1 + i) (1 + i) + (1 + i) n (1 + i) − 1 . =C(1 + i) i n−2 + . . . + (1 + i) + 1 Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z dyskonta uwzględnieniem handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 17 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Zauważmy, że wartość przyszła wkładów wnoszonych z góry różni się od wartości przyszłej wkładów wnoszonych z dołu jedynie współczynnikem 1 + i. Zatem, stosując wzór (6), dostajemy F (+1) = C · (1 + i)sn̄|i . Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Czynnik Spłata długów średnio- i długoterminowych s̈n̄|i = (1 + i)sn̄|i (1 + i)n − 1 = (1 + i) i definiuje wartość końcową wkładów jednostkowych płatnych z góry. Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 18 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe W myśl wzorów (7) i (9), Wkłady proste Fn(+1) = Fn0 (1 + i) 0 Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów i Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego P (+1) = C · (1 + i)an̄|i . Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Czynnik Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych än̄|i = (1 + i)an̄|i = (1 + i) 1 − (1 + i i)−n definiuje wartość początkową wkładów jednostkowych płatnych z góry Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 19 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady złożone płatne w nadokresach okresu kapitalizacji Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone W przypadku, gdy okres bazowy jest całkowitą wielokrotnością okresu kapitalizacji, aby wyznaczyć wartość przyszłą wkładów należy najpierw skorzystać z zasady równoważności warunków oprocentowania i rozważaną kapitalizację zastąpić kapitalizacją, której okres pokrywałby się z okresem bazowym a następnie, mając zgodność okresu kapitalizacji i okresu bazowego, zastosować analogiczne rozumowanie jak wcześniej. Zastąpienie jednego modelu kapitalizacji innym jest równoznaczne z wyznaczeniem równoważnej stopy procentowej o okresie dostosowanym do modelu nowej kapitalizacji tzn. o okresie dostosowanym do okresu wkładów. Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 20 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Niech k, k 0 ∈ Q będą takie, że k będzie ilością okresów kapitalizacji w ciągu roku, k 0 będzie ilością okresów bazowych w ciągu roku. Niech i będzie stopą okresu bazowego równoważną stopie ik , tj. stopie okresu kapitalizacji. Z zasady równoważności stóp procentowych i = (1 + ik ) k k0 Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych − 1. Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 21 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady złożone płatne w podokresach okresu kapitalizacji Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów W przypadku, gdy okres bazowy jest w podokresach okresu kapitalizacji, tzn. wpłaty są dokonywane częściej niż są generowane odsetki, istnieją dwie metody wyznaczania wartości przyszłej wkładów. Pierwsza metoda oparta jest na zasadzie równoważności warunków oprocentowania i zasadzie równoważności stóp procentowych. Wyznaczenie wartości przyszłej, aktualnej i początkowej przebiega analogicznie jak wcześniej. Druga metoda łączy ze sobą model oprocentowania prostego i składanego. Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 22 / 98 Matematyka bankowa 2 Niech (Cj )ni=j będzie skończonym ciągiem płatności, przy czym zakładamy, że jest to ciąg stały, tzn. Cj = C dla j = 1, . . . , n. Przyjmimy, że w jednym okresie kapitalizacji mamy m płatności z dołu, czyli, że okres kapitalizacji jest podzielony na m równych okresów bazowych, oraz lm = n, gdzie l jest ilością okresów kapitalizacji w czasie inwestycji. Wyznaczenie wartości przyszłej składa się z dwóch etapów. W pierwszym etapie 0 m wkładów, należy wyznaczyć wartość przyszłą Fm płatnych w jednym okresie kapitalizacji, stosując model oprocentowania prostego. Niech k, k 0 ∈ Q będą takie, że k będzie ilością okresów kapitalizacji w ciągu roku, k 0 będzie ilością okresów bazowych w ciągu roku. Niech i będzie stopą okresu bazowego, zaś ik będzie stopą procentową okresu kapitalizacji. Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 23 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Dla wkładów płatnych z dołu, w myśl wzoru (2), mamy 0 Fm = Cm 1 + m−1 2 i , Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego (10) Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie gdzie i = r k0 , k0 ∈ Q. Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 24 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim 0 dla j = 1, . . . , l, otrzymaliśmy nowy Przyjmując Cj0 = Fm ciąg (Cj0 )lj=1 płatności o stałych wyrazach i okresach pokrywających się z okresem kapitalizacji. W drugim etapie, mając ciąg wkładów (Cj0 )lj=1 , wyznaczamy wartość przyszłą F tego ciągu. Ponieważ okres wkładów 0 dla jest taki sam jak okres kapitalizacji oraz Cj0 = Fm j = 1, . . . , l, to stosując wzór (6), Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach F = gdzie ik = kr . 0 Fm sl̄|ik , (11) Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 25 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Dla wkładów płatnych z góry wzór (11) przyjmie postać Spłata długów Zasada równoważności kapitałów F (+1) = (+1) F 0 m sl̄|ik , gdzie Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie (+1) F 0m m+1 = Cm 1 + i . 2 Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 26 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Chcąc wyznaczyć wartość aktualną na dowolny moment wcześniejszy l0 , w szczególności na moment l0 = 0, wystarczy zastosować wzory (7), odpowiednio (8). Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 27 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Pokażemy, że zasada równoważności kapitałów zachodzi w modelu oprocentowania składanego. Niech K1 (t1 ) i K2 (t1 ) będą dwoma kapitałami danymi w czasie odpowiednio t1 i t2 równoważnymi w momencie t0 , czyli K1 (t0 ) = K2 (t0 ). W myśl aktualizacji otrzymujemy: Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach K1 (t0 ) = K1 (t1 )(1 + ref )t0 −t1 , t0 −t2 K2 (t0 ) = K2 (t2 )(1 + ref ) . Stąd Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji K1 (t1 )(1 + ref )t0 −t1 = K2 (t2 )(1 + ref )t0 −t2 , Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 28 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste czyli Wkłady złożone Spłata długów K1 (t1 )(1 + ref )−t1 = K2 (t2 )(1 + ref )−t2 Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego a to implikuje Raty kupieckie K1 (t1 )(1 + ref ) t−t1 = K2 (t2 )(1 + ref ) dla dowolnego t 0, co należało pokazać. t−t2 Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 29 / 98 Pokażemy, że w modelu oprocentowania prostego zasada ta nie zachodzi. Niech podobnie jak poprzednio będą dane dwa kapitały K1 (t1 ) i K2 (t1 ) w czasie odpowiednio t1 i t2 równoważne w momencie t0 . Wówczas mamy do rozważenia następujące przypadki: t2 < t0 < t1 , t2 < t1 < t0 , t0 < t1 < t2 . W pierwszym przypadku otrzymujemy K1 (t0 ) = K1 (t1 ) 1 , t1 > t0 1 + (t1 − t0 )r oraz Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach K2 (t0 ) = K2 (t2 )(1 + (t0 − t2 )r), t0 > t2 . Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Zatem K1 (t1 ) Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek 1 = K2 (t2 )(1 + (t0 − t2 )r). 1 + (t1 − t0 )r Ponieważ przyrównujemy do siebie wyrażenia liniowe i hiperboliczne dla pewnego t0 , to powyższa równość nie zajdzie dla dowolnego t 0. Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 30 / 98 Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Rozważmy dług S, który powstał w momencie t = 0. Załóżmy, że ciąg (Rn )N n=1 jest ciągiem N , N ∈ N, rat płatnych z dołu umarzających dług S. Podstawa analizy ratalnej spłaty długu mówi, że dług został spłacony, gdy w ustalonym momencie czasu aktualna wartość długu jest równa sumie aktualnych wartości wszystkich rat umarzających ten dług. Niech j ∈ {0, 1, . . . , N } będzie momentem względem którego dokonujemy aktualizacji rat i długu w celu umorzenia tego długu. Wówczas, stosując dyskonto matematyczne, otrzymujemy równanie S(1 + ji) = j X Rn (1 + (j − n)i) + n=1 N X n=j+1 Rn 1 1 + (n − j)i (12) r k, gdzie i = bazowego. k∈ Q+ , jest stopą procentową okresu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 31 / 98 Matematyka bankowa 2 Powyższe równanie możemy zapisać równoważnie j X N (1 + (j − n)i) X 1 S= Rn + Rn . 1 + ji (1 + ji)(1 + (n − j)i) n=1 n=j+1 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Po spłaceniu n rat wartość aktualna długu zaktualizowana na moment t = 0 jest postaci: Sn0 n X Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie 1 + (j − l)i =S− Rl , 1 + ji l=1 Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego dla 1 ¬ n ¬ j, Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek oraz Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek j X Sn0 = S− l=1 Rl n X 1 + (j − l)i 1 , dla n > j. − Rl 1 + ji (1 + ji) 1 + (l − j)i l=j+1 Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 32 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Dług bieżący Sn po spłaceniu n rat definiujemy Sn = Sn0 (1 + ni). Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów (13) Oczywiście SN = 0. Zauważmy, że ponieważ w modelu oprocentowania prostego nie zachodzi zasada równoważności kapitału, to ciąg rat, umarzających dług przy aktualizacji na moment j, nie umorzy tego długu przy aktualizacji na dowolny różny od j moment czasu. Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 33 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Dla rat stałych Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego (Rn )N n=1 W przypadku, gdy ciąg jest stały, tj Rn = R, n = 1, . . . , N , wzór (12) przyjmie postać Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie S(1 + ji) = R X j n=1 N X 1 1 + (j − n)i + . 1 + (n − j)i n=j+1 (14) Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 34 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Stąd, po przekształceniach, wysokość raty R wyraża się wzorem R = S Pj n=1 1 + ji 1 + (j − n)i + PN 1 n=j+1 1+(n−j)i . (15) Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 35 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Dług bieżący Sn po spłaceniu n rat dany jest wzorem Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Pn 1+(j−l)i l=1 PN S(1 + ni) 1 − Pj 1+(j−l)i + l=j+1 l=1 P Pn Sn = j 1+(j−l)i + l=j+1 l=1 PN S(1 + ni) 1 − Pj l=1 1+(j−l)i + 1 1+(l−j)i 1 1+(l−j)i 1 l=j+1 1+(l−j)i Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego dla 1 ¬ n ¬ j, Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie dla n > j. Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 36 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Rozkład raty R na ratę kapitałową B i odsetkową C przedstawiamy następująco Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów ( R=B+C PN PN n=1 B 1 + (N − n)i + n=1 C = S(1 + N i) Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie ( C =R−B PN n=1 (B + B(N − n)i) + N C = S(1 + N i) Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 37 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone ( C =R−B PN PN n=1 B + n=1 B(N − n)i + N C = S(1 + N i) ( C =R−B BN + Bi (N −1)N + N C = S(1 + N i) 2 Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach ( C =R−B BN + Bi (N −1)N + N (R − B) = S(1 + N i) 2 Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 38 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone W konsekwencji Spłata długów Zasada równoważności kapitałów B= 2 S(1+N i)−RN (N −1)N i C =R−B Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych gdzie rata R dana jest wzorem (15). Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 39 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Plan spłaty długu definiuje tutaj układ (Sn , R, B, C). Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 40 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów S(1 + ji) = R1 1 + (j − 1)i + R2 1 + (j − 2)i + . . . + Rj + Rj+1 1 − i + . . . + RN 1 − (N − j)i = j X Rn 1 + (j − n)i + n=1 = j X n=1 N X Rn 1 + (j − n)i + N X n=j+1 Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Rn 1 − (n − j)i n=j+1 Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rn 1 + (j − n)i Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 41 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Dług S i ciąg spłat spełniają (Rn )N n=1 S(1 + ji) = umarzających ten dług Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego N X Rl 1 + (j − n)i n=1 (16) Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach przy aktualizacji względem t = j. Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 42 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Przeprowadzając analogiczne rozumowanie jak dla długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego otrzymujemy, że dług bieżący Sn po spłaceniu n rat jest postaci Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Sn = Sn0 (1 + ni), gdzie Wkłady oszczędnościowe Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach n X 1 + (j − l)i . Sn0 = S − Rl 1 + ji l=1 (17) Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 43 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Przyjmując Rn = R, n = 1, . . . , N otrzymujemy Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste S(1 + ji) = N X Wkłady złożone Rn 1 + (j − n)i Spłata długów Zasada równoważności kapitałów n=1 = R N + N ji − i N X Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego n n=1 Raty kupieckie 1+N N = R N + N ji − i 2 N +1 = RN 1 + j − i . 2 Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 44 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Stąd R= S(1 + ji) h N 1+ j− N +1 2 i i (18) Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 45 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Wartość długu bieżącego po spłaceniu n rat wynosi Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Sn = (1 + ni) S − R n X 1 + (j − l)i l=1 = (1 + ni) S − Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego 1 + ji Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego 1 n + 1 Rn 1 + j − i 1 + ji 2 Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 46 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Rozkład raty na ratę kapitałową i odsetkową przebiega analogicznie jak dla rat z uwzględnieniem dyskonta matematycznego. W konsekwencji B= 2 S(1+N i)−RN (N −1)N i C =R−B przy czym rata R dana jest tutaj wzorem (18). Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 47 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Raty kupieckie Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Szczególnym przypadkiem rat umarzających dług krótkoterminowy są raty kupieckie, które zdefiniowane są przy aktualizacji na moment t = N . Wyrażają się one wzorem S(1 + N i) R= (19) . N 1 + N 2−1 i Rozkład raty R na ratę kapitałową i odsetkową wygląda następująco ( B=R C=0 Odsetki są umarzane za pomocą odsetek od rat kapitałowych. Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 48 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Spłata długów średnio- i długoterminowych Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów j S(1 + i) = R1 (1 + i) j−1 j−2 + R2 (1 + i) + . . . + Rj + Rj+1 (1 + i)−1 + . . . + RN (1 + i)−(N −j) , Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych czyli Spłata długu w równych ratach j S(1 + i) = N X n=1 Rn (1 + i) j−n Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych (20) Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 49 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim W mysl zasady równoważności kapitałów zależność (20) jest równoważna następującej Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów N X S(1 + i)N = Zasada równoważności kapitałów Rn (1 + i)N −n , (21) n=1 Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego gdy za moment aktualizacji przyjmiemy t = N , oraz następującej S= N X Rn (1 + i)−n , n=1 gdy za moment aktualizacji przyjmiemy t = 0. Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach (22) Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 50 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Po spłaceniu n rat wartość długu bieżacego możemy wyrazić ratami spłaconymi jak i niespłaconymi. W pierwszym przypadku mówimy o zależności retrospektywnej Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Sn = S(1 + i)n − n X Rl (1 + i)n−l , Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego (23) l=1 Raty kupieckie w drugim przypadku mówimy o zależności prospektywnej Sn = N X l=n+1 Oczywiście SN = 0. Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Rl (1 + i)n−l . (24) Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 51 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Przekształcając (23) Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Sn = Sn−1 (1 + i) − Rn (25) otrzymujemy związek długu bieżącego z końca okresu bazowego z długiem bieżącym z początku okresu bazowego. Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 52 / 98 Przejdziemy do razkładu raty na ratę kapitałową i odsetkową. Na początek zauważmy, że (25) implikuje Sn−1 − Sn = Rn − Sn−1 i, Matematyka bankowa 2 Dorota Klim (26) gdzie Sn−1 i jest wartością odsetek należnych za n-ty okres, tzn. In = Sn−1 i. (27) Zatem rata Rn jest postaci Rn = Tn + In , n=1 Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego (28) Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek (29) Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Ponadto łatwo widać , że N X Wkłady proste Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego gdzie Tn jest ratą kapitałową a In ratą odsetkową. Zauważmy, że wzory (26)-(28) implikują Tn = Sn−1 − Sn . Wkłady oszczędnościowe Renta kapitałowa Renta stała Rn = S Renta arytmetyczna Renta geometryczna 53 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów N N N Układ (Sn )N n=0 , (Rn )n=1 , (Tn )n=1 , (In )n=1 tworzy plan spłaty długu, który najczęściej przedstawia sie w postaci tabeli. Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 54 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Spłata długu w równych ratach Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Zajmiemy się teraz wyznaczaniem wielkości raty i planu spłaty długu w sytuacji, gdy spłaty są jednakowej wielkości. Mówimy wtedy o ratach annuitetowych. Są one standardowo stosowane przy udzielaniu bankowych pożyczek i kredytów konsumpcyjnych, a spłata długu w takich ratach jest wygodna zarówno dla wierzyciela, jak i dla dłużnika. Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 55 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Niech dany będzie ciąg N stałych płatności wysokości R dokonywanych z dołu w równych odstępach czasu umarzających dług S jaki powstał w momencie t = 0 przy ustalonej stopie okresu bazowego i. Ze wzoru (21) mamy S(1 + i)N = R (1 + i)N − 1 = RsN |i i Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych lub równoważnie Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych S= i)N (1 + −1 1 R = RaN |i . (1 + i)N i Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 56 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Zatem rata R wynosi Wkłady proste Wkłady złożone R= i)N S(1 + sN |i Spłata długów (30) Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego lub równoważnie R= S aN |i Raty kupieckie . (31) Ratę R dana powyższym wzorem nazywa się ratą stała lub annuitetową. Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 57 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Z(23) oraz powyższych Sn = S(1 + i)n − R n X Wkłady oszczędnościowe (1 + i)n−l Wkłady proste Wkłady złożone l=1 Spłata długów = S(1 + i)n − Rsn|i S = S(1 + i)n − a (1 + i)n aN |i n|i Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie po przekształceniach otrzymujemy, że dla raty annuitetowej retrospektywna zależność długu bieżącego po spłaceniu n rat ma postać Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Sn = S(1 + i)n 1 − an|i . aN |i (32) Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 58 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Przeprowadzając analogiczne rozumowanie (do zrobienia na ćwiczeniach) otrzymujemy prospektywną zależność długu bieżącego od rat Sn = S aN −n|i aN |i Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego . (33) Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 59 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Rozkład raty na ratę kapitałową i odsetkową przebiega analogicznie jak dla rat dowolnej wielkości. Zatem spełniają one zależności (26)-(29). Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 60 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Na uwagę zasługuje postać raty kapitałowej. Otóż w myśl wzorów (29) i (32) Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Tn = S i (1 + i)n−1 (1 + i)N − 1 Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego stąd Tn = S sN |i Raty kupieckie (1 + i) n−1 , (34) Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych (Tn )N n=1 co dowodzi, że ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie 1 + i i pierwszym wyrazie T1 = s S . N |i Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 61 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Oczywiście T1 określone tym wzorem spełnia T1 = R − I1 . Istotnie na początek zauważmy, że Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów 1 aN |i −i= i i(1 + i)−N − i = 1 − (1 + i)−N 1 − (1 + i)−N i 1 = = . N (1 + i) − 1 sN |i Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Zatem T1 = S sN |i = S aN |i − Si = R − I1 . Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 62 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Zajmiemy się teraz wyznaczaniem ciągu rat (Rn )N n=1 dokonywanych z dołu o okresie bazowym zgodnym z okresem kapitalizacji, umarzających dług S jaki powstał w momencie t = 0, znając ich części kapitałowe, tj. ciąg (Tn )N n=1 . Rozważymy tutaj dwie sytuacje: 1. ciąg (Tn )N n=1 jest ciągiem arytmetyczny rosnącym, 2. ciąg (Tn )N n=1 jest ciągiem stałym. Niech i będzie stopą okresu bazowego. Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 63 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Ad.1. Załóżmy, że Tn = nT . Korzystając z faktu, że suma rat kapitałowych daje dług S otrzymujemy Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste N X Wkłady złożone N (N + 1) = S. nT = T · 2 n=1 Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Stąd możemy wyznaczyć wysokość raty T 2 T =S N (N + 1) Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie (35) Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych oraz postać ogólną ciągu (Tn )N n=1 , Tn = S 2n . N (N + 1) Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek (36) Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 64 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Ze wzoru (29) dla n = 1, 2, . . . , N Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste T1 + T2 + . . . + Tn = S0 − S1 + S1 − S2 + . . . + Sn−1 − Sn Wkłady złożone Spłata długów co, w myśl (35) implikuje, że dług bieżący po spłaceniu n rat spełnia Sn = S − n X Tl = S − S l=1 2 n(n + 1) · , N (N + 1) 2 Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych czyli Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Sn = S 1 − n(n + 1) . N (N + 1) Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 65 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Z (27) rata odsetkowa jest postaci Wkłady złożone Spłata długów In = S 1 − zaś postać ogólna ciągu (n − 1)n) i, N (N + 1) (Rn )N n=1 dana jest wzorem Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych S Rn = 2n + N (N + 1)i − (n − 1)ni . N (N + 1) Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 66 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Ad.2. Raty o stałej części kapitałowej są podobnie jak raty annuitetowe najczęściej stosowanym modelem w praktyce bankowych kredytów i pożyczek konsumpcyjnych. Niech Tn = T dla n = 1, 2, . . . , N . Ponieważ Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów S= N X Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego T = N T, Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego n=1 Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych to raty o stałej części kapitałowej spełniają Spłata długu w równych ratach S Tn = T = N Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych (37) Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą i oczywiście Rn = T + In . (38) Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 67 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Widzimy, że powyższe i wzór (29) implikują Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Sn = Sn−1 − T, n = 1, 2, . . . , N, tj. że po spłaceniu kolejnych rat dług bieżący pomniejsza się o stałą kwotę, czyli (Sn )N n=0 tworzy ciąg arytmetyczny (malejący) o pierwszym wyrazie S i różnicy −T . To dowodzi, że po spłaceniu n rat dług bieżący dany jest wzorem Sn = S − nT. (39) Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 68 / 98 Matematyka bankowa 2 Ponadto Dorota Klim Sn i = Sn−1 i − T i, n = 1, 2, . . . , N, Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone co implikuje w myśl (27) Spłata długów Zasada równoważności kapitałów In = In−1 − T i, n = 1, 2, . . . , N, że ciąg rat odsetkowych (In )N n=1 tworzy ciąg arytmetyczny (malejący) o pierwszym wyrazie Si i różnicy −T i. Stąd i z faktu, że raty kapitałowe są stałe otrzymujemy, że ciąg rat (Rn )N n=1 również tworzy ciąg arytmetyczny (malejący) o pierwszym wyrazie Si + T i różnicy −T i. Ponieważ ciąg rat jest malejący, to w praktyce przyjęło się mówić o spłacie długu ”ratami malejącymi” częściej niż ”ratami o stałych częściach kapitałowych”. Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 69 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Powyższe wzory mają charakter rekurencyjny zależny od wielkości T . Innymi równoważnymi postaciami są Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów S Sn = (N − n), N In = S (N − n + 1)i, N S Rn = 1 + (N − n + 1)i . N Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 70 / 98 Matematyka bankowa 2 Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Zakładamy, że w każdej z N rat umarzającej dług S, dłużnik zwraca wierzycielowi odpowiednią część kapitału a odsetki od długu są spłącone jednorazowo w j-tej racie. W myśl zasady równoważności długu i ciągu rat N S(1 + i) N −1 = T1 (1 + i) = N X Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego + . . . + (Tj + I˜j )(1 + i)N −j + . . . + TN Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Tn (1 + i)N −n + I˜j (1 + i)N −j . n=1 Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Stąd I˜j = S(1 + i)j − N X Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Tn (1 + i)j−n . n=1 Gdy raty kapitałowe są stałe, to po przekształceniach mamy S I˜j = S − aN |i (1 + i)j . N Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 71 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Zakładamy, że długa S jest spłacony jednorazowo w ostatniej racie, zaś odsetki ratalnie, czyli R1 = I1 , R2 = I2 , . . . RN −1 = IN −1 , RN = S + IN . Widzimy, że Sn = S dla n = 1, 2, . . . , N − 1. Stąd raty są postaci Rn = Si, n = 1, 2, . . . , N − 1, RN = S(1 + i). Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 72 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste W dotychczasowych rozważaniach dotyczących spłaty zakładaliśmy, że jedynymi kosztami są odsetki. Tymczasem bardzo często przy pożyczkach czy kredytach banki pobierają tzw. prowizje i marże. Prowizją nazywamy opłatę za usługę i czynności finansowe wierzyciela. Jest ona naliczana od wysokości długu i potrącana z góry. Zdarza się jednak, że prowizja pobierana jest ratalnie od raty długu. Marżą nazywamy zysk na usługach podany w procentach i przeliczony na skalę roczną. Marża mówi o opłacalności usługi. Wysokość marży ustala się najczęściej w zależności od długu bieżącego. Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 73 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Plan spłaty długu z opłatą naliczoną od wysokości długu S Niech P będzie dodatkowa opłatą naliczoną według stopy p od długu S, zaś (Pn )N płatności pobieranych n=1 ciągiem P łącznie z ratą Rn takim, że P = N n=1 Pn . Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 74 / 98 Matematyka bankowa 2 -) Dla długu S spłacanego stałymi ratami R połóżmy Pn = Tn p, n = 1, 2, . . . , N. Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Wówczas z (34) Spłata długów Zasada równoważności kapitałów N X N X i P = (1 + i)n−1 p Pn = S N −1 (1 + i) n=1 n=1 Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie N X i p (1 + i)n−1 =S (1 + i)N − 1 n=1 i (1 + i)N − 1 p N (1 + i) − 1 i = Sp, =S co dowodzi, że ciąg (Pn )N n=1 jest dobrze zdefiniowany. Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 75 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Plan spłaty długu jest to układ N N N (Sn )N n=0 , (R̃n )n=1 , (Tn )n=1 , (In )n=1 , gdzie Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego R̃n = Rn + Pn , Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie zaś elementy Rn , Sn , Tn , In są takie jak w podrozdziale ”Spłata długu w równych ratach” (patrz m.in. wzory (30)-(34)). Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 76 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe -) Dla długu S spłacanego ratami malejącymi tzn. ratami o stałych częściach kapitałowych, kładąc Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Pn = Tn p, n = 1, 2, . . . , N, Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego otrzymujemy, w myśl (37) P = N X n=1 Pn = N X n=1 Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Raty kupieckie Tn p = N X S N n=1 Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach p = Sp. Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 77 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Plan spłaty długu jest tutaj układem N N N (Sn )N n=0 , (R̃n )n=1 , (Tn )n=1 , (In )n=1 , gdzie Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego R̃n = Rn + Pn , Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie zaś elementy Rn , Sn , Tn , In są takie jak w podrozdziale ”Spłata długu w równych ratach” (patrz m.in. wzory(37)-(39)). Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 78 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Plan spłaty długu z opłatą naliczoną od wysokości długu bieżacego Sn Ponieważ opłata dodatkowa jest naliczana od długu bieżacego, to ciąg (Pn )N n=1 zdefiniowany jest tutaj wzorem Pn = Sn−1 p, n = 1, 2, . . . , N. Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 79 / 98 -) Dla długu S spłacanego stałymi ratami R otrzymujemy, że łączną opłata dodatkowa w myśl (32) spełnia P = N X Pn = n=1 N X N X Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Sn−1 p Spłata długów n=1 Zasada równoważności kapitałów (1 + i)N − (1 + i)n−1 p = S (1 + i)N − 1 n=1 Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego N X Sp N = N (1 + i) − (1 + i)n−1 (1 + i)N − 1 n=1 i)N Raty kupieckie Sp (1 + −1 N (1 + i)N − , (1 + i)N − 1 i = Matematyka bankowa 2 Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą w konsekwencji Spłata długu z uwzględnieniem inflacji N (1 + i)N 1 P = Sp − . N (1 + i) − 1 i Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 80 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Ponieważ z (27) R = Sn−1 (1 + i) − Sn , to n-ta płatność wynosi R̃n = Pn + R = Sn−1 (1 + i + p) − Sn , n = 1, 2, . . . , N. (40) N N N N Układ (Sn )n=0 , (R̃n )n=1 , (Tn )n=1 , (In )n=1 stanowi plan spłaty długu, gdzie Rn dane jest wzorem (40). Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 81 / 98 -) Dla długu S spłacanego ratami malejącymi, ponieważ S Sn−1 = N (N − (n − 1)), to łączna opłata wynosi P = N X Pn = n=1 = N X Sn−1 p = n=1 N X S n=1 N (N − (n − 1))p Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów N S X N +1 p n=S p. N n=1 2 Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Zauważmy, że n-ta płatność wynosi Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych R̃n = Rn +Pn = Tn +In +Pn = Tn +Sn−1 i+Sn−1 p = Tn +Sn−1 (i+p) Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych co daje, że dodatkowa opłata zwiększa stopę i do stopy i + p, czyli Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą R̃n = S N 1 + (N − n + 1)(i + p) . Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała N N N (Sn )N n=0 , (R̃n )n=1 , (Tn )n=1 , (In )n=1 Układ spłaty długu. stanowi plan Renta arytmetyczna Renta geometryczna 82 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Rzeczywisty koszt długu. Rzeczywista okresowa stopa procentowa Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Inom = I1 + I2 + . . . + IN czyli Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Inom = R1 + R2 + . . . + RN − S Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 83 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Irz = R1 (1 + i)N −1 + R2 (1 + i)N −2 + . . . + RN − S Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 84 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste i - okresowa rzeczywista stopa kosztu spłaty długu Wkłady złożone Spłata długów S= R1 RN + ... + 1+i (1 + i)N ref - roczna rzeczywista stopa kosztu spłaty długu N ref = (1 + i) − 1 Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 85 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Renta stała Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Fn = n X R(1 + i)N −l l=1 Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych czyli Spłata długu w równych ratach Fn = Rsn|i P = Ran|i Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 86 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Fn(+1) = Rs̈n|i (+1) = Rän|i P Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 87 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów P0 , n wypłatach Pn = P0 (1 + i)n − Fn , n = 1, 2, . . . Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 88 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów R ¬ P0 i R = P0 i Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 89 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów R i 1 − (1 + i)−n . P0 = lim R n→∞ i P0 = Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 90 / 98 Matematyka bankowa 2 Renta arytmetyczna Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Fn =R(1 + i)n−1 + (R + d)(1 + i)n−2 + (R + 2d)(1 + i)n−3 + . . . + (R + (n − 2)d)(1 + i) + (R + (n − 1)d) = n X n−l R(1 + i) n X + l=1 + n X Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego n−l d(1 + i) Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego l=2 Raty kupieckie d(1 + i) n−l Spłata długów średnio- i długoterminowych + ... + d Spłata długu w równych ratach l=3 =R Wkłady proste (1 + i)n i −1 +d (1 + i)n−1 i −1 + (1 + (1 + i)1 − 1 (1 + i)2 − 1 +d i i n−1 n l X (1 + i) − 1 (1 + i) − 1 =R +d i i l=1 + ... + d i)n−2 i Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych −1 Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 91 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim =R (1 + i)n −1 i + d i n−1 X (1 + i)l − 1 Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone l=1 Spłata długów n−1 X (1 + i)n − 1 d + 1−n+ =R (1 + i)l i i l=1 (1 + i)n − 1 d + −n+ i i =R i)n n−1 X (1 + i)l Zasada równoważności kapitałów −1 Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach l=0 i)n d (1 + −1 + −n+ =R i i i n d (1 + i) − 1 d = R+ − n i i i (1 + Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 92 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim zatem Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste d d sn|i − n. Fn = R + i i Wkłady złożone (41) Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Ponieważ P (1 + i)n = Fn , Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie to z powyższego otrzymujemy Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach d d n P = R+ an|i − · . i i (1 + i)n (42) Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 93 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Jeżeli renta arytmetyczna jest wypłacana z góry, to wzory (41), (42) przyjmą odpowiednio postać Fn(+1) = Fn (1 + i), Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Pn(+1) = Pn (1 + i). Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 94 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Jeżeli renta wypłacana jest z kapitału rentowego o wartości początkowej P0 , to po n wypłatach stan konta wynosi Pn = P0 (1 + i)n − Fn , n = 1, 2, . . . . Spłata długów Zasada równoważności kapitałów Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 95 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Renta geometryczna Wkłady oszczędnościowe W przypadku, gdy q 6= 1 + i Wkłady proste Wkłady złożone Fn =R(1 + i)n−1 + Rq(1 + i)n−2 Spłata długów Zasada równoważności kapitałów + . . . + Rq n−2 (1 + i) + Rq n−1 q + 1+i =R(1 + i)n−1 1 + + ... + q 1+i n−2 n + q n−1 1+i =R(1 + i) q 1+i (1 + i)n − q n =R 1+i−q −1 −1 q 1+i q 1+i Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego 2 n−1 Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 96 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone Spłata długów Zasada równoważności kapitałów oraz 1− P =R q 1+i Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego n 1+i−q . Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 97 / 98 Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Wkłady oszczędnościowe Wkłady proste Wkłady złożone W przypadku, gdy q = 1 + i Spłata długów Zasada równoważności kapitałów n−1 Fn = nR(1 + i) oraz Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta matematycznego prostego Spłata długów krótkoterminowych z uwzględnieniem dyskonta handlowego nR . P = 1+i Raty kupieckie Spłata długów średnio- i długoterminowych Spłata długu w równych ratach Spłata długu w ratach o zadanych częściach kapitałowych Spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek Jednorazowa spłata długu i ratalna spłata odsetek Rozliczenie długów z dodatkową opłatą Spłata długu z uwzględnieniem inflacji Renta kapitałowa Renta stała Renta arytmetyczna Renta geometryczna 98 / 98
