Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Wydział Matematyki i Informatyki
http://www.mat.umk.pl/rkm/
Problematyka zajęć w dniu 8 maja 2010 r.
Metoda analogii w geometrii
Na tych zajęciach omówimy metodę analogii, często stosowaną przy omawianiu nowych struktur matematycznych, szczególnie wtedy, gdy te nowe struktury
są „podobne” do fragmentów szkolnej matematyki, którą już poznaliśmy. Metodę
będziemy przedstawiać na przykładzie geometrii.
Metodę analogii stosujemy w szkolnym nauczaniu niemal od samego początku. Omawiając coraz bardziej skomplikowane figury przenosimy, o ile to możliwe,
wcześniej poznane pojęcia, sprawdzamy, czy własności zachowują się w nowych
sytuacjach. Takimi pojęciami są: pole figury, brzeg, obwód figury.
Istotnym przełomem jest przejście od geometrii płaskiej do geometrii przestrzennej. Naturalnymi pytaniami są – ustalić, jeśli to pożyteczne, przestrzenne odpowiedniki dla punktu, prostej, okręgu, koła, wielokąta itd. Metoda analogii pozwala
stawiać w naturalny sposób hipotezy. Sprawdzanie takich hipotez pozwala w naturalny sposób odkrywać przestrzenne twierdzenia lub różnice między odpowiednikami
płaskimi i przestrzennymi.
Uczestnikowi zajęć RKM proponujemy powrót do zajęć poświęconych podobieństwom i różnicom między trójkątem i czworościanem. Problematyka ta była tematem specjalnych zajęć RKM. Przy okazji czworościanu można postawić pytanie o
odpowiedniki pojęć i twierdzeń dobrze znanych dla trójkąta.
–
–
–
–
Problemikami takimi mogą być:
wersja twierdzenia Pitagorasa dla czworościanu,
czy czworościan, którego wszystkie ściany są przystające, jest foremny,
odpowiednik twierdzenia Menelaosa dla czworościanu,
odpowiednik okręgu dziewięciu punktów dla czworościanu.
Innymi zagadnieniami, które na płaszczyźnie są rozwiązane dość prosto, są wielokąty, wielokąty foremne. W przestrzeni sama definicja wielościanu jest bardzo
skomplikowana. Natomiast niezwykle prosty wzór Eulera dla wielościanów wypukłych i niespodzianka w postaci pięciu wielościanów foremnych pokazują, jakie
1
niespodziewane rozstrzygnięcia mogą nas czekać przy omawianiu dość prostych
analogii przestrzennych.
Oczywiście, metoda analogii niesie ze sobą nie tylko odkrywanie hipotez, twierdzeń i różnic w geometrii płaszczyzny i przestrzeni. Bardzo często sprawdzamy,
czy metody dowodów twierdzeń, rozwiązań zadań, przenoszą się z płaszczyzny w
przestrzeń. Na zajęciach RKM poświęconych trójkątowi i czworościanowi pokazywaliśmy różne dowody, które niemal dosłownie przenosiły się w analogiach przestrzennych.
O jeszcze jednej analogii warto wspomnieć. Analogi związana jest z przekształceniami, głównie z izometriami. Odpowiednikiem symetrii osiowej na płaszczyźnie
jest symetria płaszczyznowa w przestrzeni. Zainteresowanych opisem izometrii w
przestrzeni, twierdzeniem strukturalnym o izometriach, odsyłamy do literatury.
Czytelnikowi proponujemy przeniesienie innych problemów płaskich (np. sfera,
płaszczyzna styczna itd.) i poszukiwanie ich analogii przestrzennych. Wydaje się, iż
proste analogie mamy w geometrii analitycznej przy okazji równań prostych na
płaszczyźnie oraz prostych i płaszczyzn w przestrzeni.
Na zakończenie proponujemy czytelnikowi sięgnięcie do literatury w wolnych
chwilach.
1) Zofia Krygowska, Geometria dla kl. I, PZWS, W-wa 1971.
2) Zofia Krygowska, Gustaw Treliński, Geometria dla kl. IV, PZWS, W-wa 1971.
3) Anna Echrenfeucht, Ciekawy czworościan, PZWS, W-wa 1966.
4) I. F. Szarygin, Zadaczi po geometrii. Stereometria, Biblioteczka „Kwant”, Nauka,
Moskwa 1986.
5) Franciszek Leja, Geometria analtyczna, różne wydania.
2