WIELOKĄTY KRATOWE I TWIERDZENIE PICK`A

Daria Olszewska
WIELOKĄTY KRATOWE
I
TWIERDZENIE PICK’A
Podstawowe pojęcia
punkt kratowy odcinek kratowy wielokąt kratowy
TWIERDZENIE PICK'A
Podstawowe oznaczenia
liczba brzegowych punktów kratowych
b = 10
liczba wewnętrznych punktów kratowych
g=8
TWIERDZENIE PICK'A
Twierdzenie Pick’a
Jeśli prosty wielokąt kratowy zawiera
b brzegowych punktów kratowych i
g wewnętrznych punktów kratowych,
to jego pole wyraża się wzorem:
1
P = b + g − 1.
2
TWIERDZENIE PICK'A
Przykład 1
b=6
g=1
1
P = b + g −1
2
P=3
TWIERDZENIE PICK'A
Przykład 2
b = 12
g=7
1
P = b + g −1
2
P = 12
TWIERDZENIE PICK'A
Przykładowe wyniki
Twierdzenie 1 (2003). Jeśli K jest wypukłym wielokątem kratowym z
jednym wewnętrznym punktem kratowym, to K jest równoważny z
jednym z następujących szesnastu wielokątów:
(Uzupełnienie charakterystyki z roku 1989 o brakujący szesnasty wielokąt.)
TWIERDZENIE PICK'A
Przykładowe wyniki
Twierdzenie 2 (2006). Dla każdego wypukłego wielokąta
kratowego zawierającego g wewnętrznych punktów kratowych
i v wierzchołków prawdziwa jest następująca nierówność
b ≤ 2 g − v + 10.
(Wynik potwierdzający hipotezę Coleman’a postawioną w 1978 roku.)
TWIERDZENIE PICK'A
Otwarte problemy
Otwarte problemy dotyczą lepszych oszacowań liczby
brzegowych punktów kratowych w wypukłych wielokątach
kratowych oraz innych zależności pomiędzy parametrami
opisującymi wypukłe wielokąty kratowe.
Prowadzone są również badania nad zależnościami pomiędzy
parametrami wypukłych wielokątów na kracie trójkątnej oraz
heksagonalnej.
TWIERDZENIE PICK'A