Wykład4 - Politechnika Białostocka

Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład 4: Funkcje zmiennych losowych.
Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych.
Funkcje zmiennych losowych
Małgorzata Kr towska
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
e-mail: [email protected]
strona www: http://aragorn.pb.bialystok.pl/~gkret
Metody probabilistyczne i statystyka, studia zaoczne
1
Metody probabilistyczne i statystyka, studia zaoczne
Zmienna losowa dyskretna
2
Zmienna losowa ci gła
X - zmienna losowa dyskretna o warto ciach x1, x2, ..., xn
Gdy
X - fx(x)
Y = g(X) - Y funkcja zmiennej losowej X o warto ciach yj,
funkcja g sto ci zmiennej X
Y=g(X)
g(x) - funkcja monotoniczna i ró niczkowalna,
g’(x) ≠ 0
wówczas funkcja g sto ci zmiennej Y dana jest wzorem
gdzie yj=g(xi).
(
f y ( y ) = f x g −1 ( y )
) dg
−1
( y)
dy
Gdy g(x) jest funkcj monotoniczn przedziałami, wówczas
rozpatrujemy kolejne przedziały „i”
f y ( y) =
f y (i ) ( y)
i
Metody probabilistyczne i statystyka, studia zaoczne
3
Metody probabilistyczne i statystyka, studia zaoczne
4
Warto
E(X); EX - warto
Charakterystyki liczbowe zmiennych
losowych
oczekiwana (przeci tna)
rednia zmiennej losowej
• zmienna dyskretna:
EX =
• zmienna ci gła:
EX =
n
i =1
+∞
xi pi
x f ( x) dx
−∞
Zało enia:
szereg
n
i =1
całka
xi pi
+∞
x f ( x) dx
−∞
s bezwzgl dnie zbie ne
Metody probabilistyczne i statystyka, studia zaoczne
5
Metody probabilistyczne i statystyka, studia zaoczne
EX - własno ci
6
Wariancja
Własno ci:
• E(a)=a
• E(aX)=aE(X)
• E(X+b)=EX+b
• E(X-EX)=0
• E(X+Y)=E(X)+E(Y)
• E(XY)=E(X) E(Y) - gdy X i Y s niezale ne
V(X);VX; D2(X), σ2 - miara zró nicowania zmiennej losowej wi ksza wariancja wskazuje na wi ksze zró nicowanie warto ci
zmiennej losowej
VX =E(X-EX)2 = E(X2-2XEX+E2X) = E(X2)-2E2(X)+E2(X)=
E(X2) - E2(X)
• zmienna dyskretna:
VX =
n
i =1
• zmienna ci gła:
VX =
+∞
pi ( xi − EX ) 2
( x − EX )2 f ( x) dx
−∞
Uwagi: V(X) ≥0
Metody probabilistyczne i statystyka, studia zaoczne
7
Metody probabilistyczne i statystyka, studia zaoczne
8
Wariancja i odchylenie standardowe
Mediana
Własno ci wariancji:
• V(a)=0
• V(aX)=a2V(X)
• V(X+b)=V(X)
Me, me - warto
rodkowa zmiennej losowej
P(X≤ Me) ≥ 0.5 i P(X ≥ Me) ≥ 0.5
• V(X ± Y)=V(X)+V(Y) - gdy X i Y s niezale ne
Zmienna ci gła: F(Me)=0.5
Odchylenie standardowe: DX; D(X); σ
DX = VX
Metody probabilistyczne i statystyka, studia zaoczne
9
Kwartyle
Metody probabilistyczne i statystyka, studia zaoczne
Dominanta (moda, warto
10
modalna)
• zmienna losowa dyskretna - warto zmiennej losowej, której
odpowiada najwi ksze prawdopodobie stwo
• zmienna losowa ci gł - warto , dla której g sto przyjmuje
maksimum absolutne
• Kwartyl dolny (pierwszy) - Q1
P(X≤ Q1) ≥ 0.25 i P(X ≥ Q1) ≥ 0.75
Zmienna ci gła: F(Q1)=0.25
ró ne od warto ci minimalnej i maksymalnej.
• Kwartyl górny (trzeci) - Q3
P(X≤ Q3) ≥ 0.75 i P(X ≥ Q3) ≥ 0.25
Zmienna ci gła: F(Q3)=0.75
Uogólniaj c:
P(X≤ Q) ≥ p i P(X ≥ Q) ≥ 1-p
Percentyle: p = 0.1, 0.2 ,..., 0.9
Kwantyle: p - dowolne
Metody probabilistyczne i statystyka, studia zaoczne
11
Metody probabilistyczne i statystyka, studia zaoczne
12
Momenty
Współczynnik asymetrii i skupienia
• moment zwykły rz du r: αr = EXr
αr =
r
i
x pi
Interpretacja:
i
+∞
zmienna ci gła:
α r = x r f ( x) dx
−∞
• moment centralny rz du r: µr = E(X- α1)
zmienna ci gła:
µr =
i
+∞
γ1=0
0.3
0.2
0.1
γ1 <0 asymetria lewostronna
0.0
0
2
4
6
8
10
x
Współczynnik skupienia (kurtoza)
µ
K = 44
σ
(xi − α1 )r pi
µr =
γ1>0
0.4
γ1 >0 asymetria prawostronna
r
•
zmienna dyskretna:
µ
γ 1 = 33
σ
f(x)
zmienna dyskretna:
0.5
• Współczynnik asymetrii (sko no ci)
(x − α 1 )r f ( x) dx
K(1) < K(2)
K(2)
K(1)
−∞
Zało enia: Szereg i całka powinny by bezwzgl dnie zbie ne.
Metody probabilistyczne i statystyka, studia zaoczne
13
Charakterystyki liczbowe rozkładów
• Rozkład dwumianowy:
• Rozkład zero-jedynkowy:
• Rozkład Poissona
• Rozkład równomierny:
• Rozkład wykładniczy:
• Rozkład normalny:
Metody probabilistyczne i statystyka, studia zaoczne
EX
VX
np
p
npq
pq
λ
λ
(a+b)/2
(b-a)2/12
λ
λ2
µ
σ2
15
Metody probabilistyczne i statystyka, studia zaoczne
14