dr аб вд гжеизй еи

Literatura
• Krysicki W., Bartos 67 8,99 :":"9 7 8,;=<>'?"@":A'BCD <'E)F"G"CG"F"GH9 A I J E<K9
I J <'J LI J LB<KMN<'J A'MN<'J L>'O:<=>'O P=Q 8,RSLF<'ET:9 >'J EG)U<'@"BGEAKVRWU8
Warszawa 1997.
• Ostasiewicz S., Rusnak Z., Siedlecka U., Statystyka. Elementy teorii i
zadania. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego
EAKRXD G">'Y <'E)9 @8[Z \"\"\
• Sobczyk ]^9 A>'O'LI Y <'E_"`J <'J LI J LB<,8,RSLF"<'E):"9 > J EG)U<'@"BG"E)AKVRXUa8
Warszawa, 1996
• Vb @>'9 I B< A. , Vb @>'9 I B9cK7 _,d4<F"<':"9 <KO=D <>'?"@":"B@C"D <'EF"GCG"FGH"9 A I J E<K9
statystyki matematycznej dla studentów politechnik, PWN
• Vb @>'9 I B< A. , Vb @>'9 I B9 E.: Probabilistyka, Wydawnictwo NaukowoTechniczne, Warszawa 2000
• Koronacki J, Mielniczuk J., Statystyka dla studentów kierunków
technicznych i przyrodniczych, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Warszawa 2001
Modele probabilistyczne i statystyka
dr
"! #$ %'& () * "+,
-%. * / 0 1,#, +324 %5 * %,0 +,
e-mail: [email protected]
strona www: http://aragorn.pb.bialystok.pl/~gkret
pokój: 127 (206)
Metody probabilistyczne i statystyka (studia zaoczne)
1
Metody probabilistyczne i statystyka (studia zaoczne)
3RGVWDZRZHSRM FLD
2
3RGVWDZRZHSRM FLD
e
- zdarzenie elementarne (wynik pojedynczego
eksperymentu)
A, B, C - zdarzenia losowe - podzbiory przestrzeni ƒ
f
„
w
={ e } - g4h'i[j3k'l h'i[j
j[o jpqjrsl nh'rst=uv - zbiór
w
kit=k'l xKy uvXi3m4nh'i[j
j o jpqjrsl nhr3t=uvWi
[
y i3nr3t=uvWiSmsnrstzp
w
w
ms{
y nm4ui[jrKy jp|o {Kk,{
tzp~}

i[m4nh'i[j
{zm3i[n €jgsh'i[j3k'l h'ijrKy4i3msnh'i[j
•
kxz{
h'i[j3k l h'i[j
kx4{
‡ xzn
„
jo jpqjrsl nh'rst=uv)‚
h'i[j3k l h'i[j
‡
ui[{srKn
’
• przeliczalna
tzh‰
ui[{srzn^o …4†Wg4h'ij[o y ui[no rKn
m[tˆgz{4m3i†Ky ‰sh3€j[k'l=i3m4nh'i[jrKy jpŠo {Kk,{
w
tzp
rKy jg4h'i[jo y ui3no rKn
w
m[tŒgz{zm3i†zy s
‰ h€"j3k'lŽi3m4nh'ijrKy j po K
{ k,{
t p‘
z
w
w
w
rKy npWt“gzj
r
xKo n[k
g {zm3i†Ky {sh‰
z
i
n r
” - uy n• jp
rKy j‹xKn
– — ) i tylko elementy tej klasy nazywamy
zdarzeniami losowymi.
i3m4nh'i[j
• nieprzeliczalna
Metody probabilistyczne i statystyka (studia zaoczne)
3
Metody probabilistyczne i statystyka (studia zaoczne)
3RGVWDZRZHSRM FLD
4
']LDáDQLDQD]GDU]HQLDFK
› œ[ sž
„
‡
rKno j
g4h,n
w
ms{3gz{zms{s†Ky j
k'l
w
{˜{sx4hj
u"t=uvms{Xi†Ky {sh'…Wi3msnh'i[j
o {Kk,{
w
W urnie mamy kule zielone (z), niebieskie (n) i czerwone (c).
o {srzj™rKnši[m4nh'i[jrzy nuv
t=uvˆ– —
Ÿ ¡ ¢'£ ,¤ œ¥" ¦¢'£ § ", ž
)
« «¢ ¬ "
©4« ¢'£ ,¤ œ¥¢ « § N
« ¢ ¬ " « ­
3U]HVWU]H SUREDELOLVW\F]QDGR ZLDGF]HQLD'
®  "¡ N¯" ¦¢'£ § ", ž
(W , j, P)
f
°
Metody probabilistyczne i statystyka (studia zaoczne)
, ¬ ¨ª©4« '¢ £ , ¤ œ¥¢ « 5
- zdarzenie pewne
-
", ¤ « Metody probabilistyczne i statystyka (studia zaoczne)
6
1
$NVMRPDW\SUDZGRSRGRELH VWZD
:áDVQR FLSUDZGRSRGRELH VWZD1
¦  « ,¤ , œ[§±
§, Ÿ²
f
— Niech
¬ ³4", « œ3§,±3 › N
¦

¬ ,¤
nazywamy
« §, ¬
¡ ¢§ £ › ¦ œ[¦

N¢'£ §  ,¤ ¢", ¢ ¨S´
—
›sµ ¨¶ "
 a" ¦¢'£ §'œ ¤ N ¢ ¤ ž
²  « 1. P(A) ·¸
 N", ¨S´
°
1. P( ) = 0
¼ "º —
¹ "º B to P(A) ¾ P(B)
« ¨¿ 
« ", "² ›sµ ¨¶
À "º « ¨½
6. P(A)+ P(A’)=1
7. P(A » B)=P(A)+P(B)-P(AB)
7
Metody probabilistyczne i statystyka (studia zaoczne)
:áDVQR FLSUDZGRSRGRELH VWZD2
Ú
§,
« ¢ ¬ ¦ « §" « pi=P({e i}), pi · 0,
fŽ© §,"
p1+ ... + pn = 1 , gdy
f
p¦1 +
... + p + ... = 1, gdy - przeliczalna, to
N
¦
n
¬ N", ¨ ² ³ ,¤ ¢¥ ¦ œ,£ £  e
e ² £ 3, ³
§
 N
« œ ¤ ", ¤ › N
¦

¬ ,§ ± ¨ "
² ­q¬  ", ¨ ¬ « §,
¦ œ¥
¢ ² " , N", ­
¦ ,
 ¦

¬ ,¤ , ¢
aœ ¤
nazywamy
zdarzenia A pod
warunkiem zdarzenia B i oznaczamy symbolem P(A/B):
Þ ß Ý
Þ ß Ý Ü
( ) Þ Ý
( / ) Þ Ý
,
( )Û 0
( )
elementarne i1,..., ik
P(A) = pi1 + ...+ pik
 " « " œ3§,"a ¡ § £¦ N
¦

¬ 8
3UDZGRSRGRELH VWZRZDUXQNRZH
£ 4 « f
² 5. Gdy A1, ..., An
P(A1 » ... » An)=P(A1) + ... + P(An)
¹ "º « ¨
² £ 3
N
« œ ¤ § ,¤ ¦, ¤ , §,""œ3§,±
, ..., A
", 1 ¬ ¢ n
— , to
P(A1 » ... » An» ...)=P(A1) + ... + P(An)+...
Metody probabilistyczne i statystyka (studia zaoczne)
¾ 1
B to P(B\A)=P(B)-P(A)
§, ¦, ¤
f
2. P( )=1
Á "º « ¨½
NN"³4)¦ ,N
¦

¬ N
« §,,œ¢³§±", ž
àâá ãä4åæqàâá ãKå^àâá ãNç ä4å^èKé"êˆàâá ä4åqëíì
×
Ô
Ô
( )Ø Ù
Ø
Æ,Ç ÆÈÆ,ÉÊ ËÌ É Ã3ÄÅ Ð ÕTÌ Í Ã Ö"Ë Ö"ËÄ Ã3ÄÅ Í,Î Ô
.
Ç Ò Ä Í Ó Ë ÏKÐ Í ÃÐ,Ê ÑÒ ÄÅ Í,Î ËÌ Í Æ Æ,Ç ÆÈÆ,ÉÊ ËÌ É Ã3ÄÅ
Ç Ò Ä ÍÓ Ë Í,Î ËÌ Í Æ
®  ¨ ²­
" « "² œ
îaï ð)ñò^ó^îaï ð[òaîï ñò
Metody probabilistyczne i statystyka (studia zaoczne)
9
Metody probabilistyczne i statystyka (studia zaoczne)
3UDZGRSRGRELH VWZR]XSHáQHFDáNRZLWH
º « ­ £ 3
N
« œ ¤
", ,¤^²  "
warunki:
1.
¨
1,
..., An
Twierdzenie Bayesa
¦ £
µ " ² , £,‘¦ ,
¦

¬ §" œ ¤ ¶
ðô ð3õTóWö¥÷"øsù úSû[ü[ý
zÿ^ð ó
îaï ðô ò"÷3ûsó
,÷ ÷ ÷ 3.
2.
10
ðþ)ÿ
N¦ N
¦

¬ 3 ( $ / % ) =
N
N" ­
aœ[ a
³N
âîï ð ò"îaï ñ ð ò
3 ( $ ) 3 ( % / $ )
Ç
3( $ ) 3 ( % / $ )
=
3 ( $ ) 3 ( % / $ )
3( %)
1
§ ž
îaï ñòó^îï ðNþ òaîï ñ ðþ ò
Metody probabilistyczne i statystyka (studia zaoczne)
11
Metody probabilistyczne i statystyka (studia zaoczne)
12
2