Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych

Łagodne wprowadzenie
do
Metody Elementów Skończonych
dr inż. Grzegorz DZIERŻANOWSKI
dr hab. inż. Wojciech GILEWSKI
Katedra Mechaniki Budowli i Zastosowań Informatyki
10 XII 2009 - część I
17 XII 2009 - część II
Program wykładu
I
Część I
–
–
–
–
I
wybrane podstawy matematyczne klasycznej MES,
przykładowe elementy skończone,
algorytm i uogólnienia klasycznej MES,
implementacja algorytmu w programie MAPLE.
Część II
– zbieżność rozwiązań MES,
– generowanie siatek węzłów - techniki adaptacyjne,
– przykłady realizacji obliczeń.
I
Wybrane pozycje literatury przedmiotu (indywidualnie).
I
Propozycje tematów do samodzielnego opracowania
(zaliczenie przedmiotu).
Czym jest Metoda Elementów Skończonych ?
Zanim odpowiemy na to pytanie, przypomnijmy sobie kilka równań
liniowej mechaniki poznanych na przedmiotach Wytrzymałość
Materiałów i Mechanika Konstrukcji:
I
równanie równowagi pręta ściskanego:
(EA u0 )0 = p,
I
równanie równowagi pręta zginanego:
(EJ w00 )00 = q,
I
równanie równowagi tarczy PSN (i, j, k, l = 1, 2):
(Cijkl εkl ),j + Fi = 0, εkl = 12 (uk,l + ul,k ),
I
równanie równowagi płyty cienkiej:
(Dijkl w,kl ),ij = q,
i zastanówmy się, czy umiemy je rozwiązać w sposób ścisły
(przy zadanych warunkach brzegowych)?
Czym jest Metoda Elementów Skończonych ?
Odpowiedź:
Metoda Elementów Skończonych jest to matematyczny formalizm,
będący podstawą numerycznego algorytmu rozwiązywania układów
równań różniczkowych cząstkowych w sposób przybliżony.
Uwagi:
I
zbieżność ciągu rozwiązań MES do rozwiązania ścisłego
uzyskuje się dzięki odpowiedniemu doborowi przestrzeni
funkcji aproksymujących,
I
analiza zbieżności tego ciągu może być przeprowadzona bez
znajomości rozwiązania ścisłego,
I
MES można “w prosty sposób” zaimplementować w postaci
kodu komputerowego.
Wybrane podstawy matematyczne MES
Silna (klasyczna, różniczkowa) postać równania równowagi
Niech Ω ⊂ R2 będzie obszarem tarczy PSN, z brzegiem Γ,
na którym zadane są warunki brzegowe na poszukiwane funkcje
Cijkl εkl nj (s) − Ti (s) = 0,
s ∈ Γτ
bi (s) = 0,
ui (s) − u
s ∈ Γu
W dalszych rozważaniach przyjmiemy dla uproszczenia:
I
Fi = 0, i = 1, 2, tj. pominiemy
siły masowe,
I
ubi = 0, i = 1, 2, tj. założymy,
że Γu nie przemieszcza się.
Wybrane podstawy matematyczne MES
Silna (klasyczna, różniczkowa) postać równania równowagi
W teorii PSN, klasycznym rozwiązaniem zagadnienia brzegowego
są funkcje
ui ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω ∪ Γτ ) ∩ C(Ω ∪ Γu ), i = 1, 2
spełniające, dla każdego (x1 , x2 ) ∈ Ω, równanie równowagi
1 ∂
Cijkl
2 ∂xj
∂uk
∂ul
+
∂xl
∂xk
!
+ Fi = 0,
uk = uk (x1 , x2 ),
oraz warunki brzegowe na Γ. Do opisu tych funkcji wprowadźmy
oznaczenie
ozn.
(u1 , u2 )> = u ∈ V0 .
Wybrane podstawy matematyczne MES
Słaba (wariacyjna, całkowa) postać równania równowagi
Znalezienie u ∈ V0 (klasycznego rozwiązania równania równowagi)
jest możliwe jedynie w szczególnych sytuacjach, konieczne jest
więc sformułowanie ogólnego algorytmu analizy zagadnień
brzegowych, zapewniającego istnienie i jednoznaczność rozwiązań.
W tym celu wprowadza się dość silne założenia dotyczące
przestrzeni, w której poszukuje się funkcji rozwiązujących.
W szczególności:
I
przestrzeń V0 należy ”uzupełnić” do przestrzeni Hilberta
(oznaczmy ją symbolem V),
I
zagadnienie brzegowe musi być przepisane w słabej
(wariacyjnej, całkowej) postaci.
Dzięki temu, na mocy twierdzenia Laxa-Milgrama, rozwiązanie
zagadnienia brzegowego istnieje i jest jednoznaczne.
Wybrane podstawy matematyczne MES
Słaba (wariacyjna, całkowa) postać równania równowagi
V0 nie jest przestrzenią Hilberta.
Ciąg funkcji ciągłych nie jest jednostajnie zbieżny do funkcji ciągłej.
Wybrane podstawy matematyczne MES
Słaba (wariacyjna, całkowa) postać równania równowagi
Sformułujmy zagadnienie brzegowe w słabej postaci:
Znaleźć takie u ∈ V, że dla każdego v ∈ V spełnione jest
Z
Ω
Z
Cijkl εij (u)εkl (v)dx =
Γτ
Ti vi ds.
Uwagi:
I
Widzimy, że V jest przestrzenią funkcji, wobec których
nie wymaga się różniczkowalności w “klasycznym” sensie,
I
Przestrzeń V jest zupełna, a więc wszystkie ciągi {un } ∈ V
są zbieżne do pewnego u ∈ V, dzięki czemu można wprowadzić pojęcie zbieżności ciągu rozwiązań MES i, co najistotniejsze, oszacować błąd aproksymacji.
Wybrane podstawy matematyczne MES
Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Aproksymacja rozwiązania.
Przestrzeń V jest ∞-wymiarowa, co praktycznie uniemożliwia
rozwiązanie zadania. W związku z tym, ograniczamy poszukiwania
funkcji rozwiązującej zagadnienie wariacyjne do dowolnej podprzestrzeni Vh ⊂ V o skończonym wymiarze, formułując
tym samym zadanie dyskretne:
Znaleźć takie uh ∈ Vh , że dla każdego v h ∈ Vh spełnione jest
Z
Ω
Z
Cijkl εij (uh )εkl (v h )dx =
Γτ
Ti vih ds.
Uwagi:
I
Zadanie dyskretne ma jednoznaczne rozwiązanie,
ponieważ Vh ⊂ V,
I
Przestrzenie Vh nazywa się przestrzeniami elementów
skończonych.
Wybrane podstawy matematyczne MES
Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Pojęcie elementu skończonego
1. aksjomat MES
Podzielmy Ω na skończoną liczbę podzbiorów Ωe , e = 1, . . . , le
(elementów skończonych), takich że
S
I Ω=
Ωe ,
e=1,...,le
I
I
Ωi ∩ Ωj = ∅, i 6= j,
każdy bok dowolnego elementu jest częścią brzegu Γ
lub bokiem innego elementu.
Wybrane podstawy matematyczne MES
Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Pojęcie elementu skończonego
2. aksjomat MES n
o
Przyjmijmy Pe = uh|Ωe : uh ∈ Vh , e = 1, . . . , le i załóżmy, że
funkcje ze zbiorów Pe są wielomianami stopnia pe .
Uwagi:
I
Dodatkowo można przyjąć, że funkcje uh są klasy C k (Ω)
(elementy dostosowane),
I
Klasa ciągłości jest zależna od rozpatrywanego zagadnienia
brzegowego (PSN: k = 0, teoria płyt cienkich: k = 1),
I
Założenie ciągłości jest automatycznie spełnione wewnątrz
elementu skończonego, więc w praktyce dotyczy ono ciągłości
uh na granicach elementów i na brzegu Γu .
Wybrane podstawy matematyczne MES
Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Pojęcie elementu skończonego
3. aksjomat MES
Zakładamy, że w przestrzeni Vh można zdefiniować co najmniej
jedną bazę skończeniewymiarową, czyli zbiór funkcji v s , takich że
P
uh =
qs vs.
s=1,...,ls
Uwagi:
I
Widać, że funkcje v s są “kawałkami” (na każdym elemencie
skończonym) wielomianowe,
I
Obcięcie N e = (v s|Ωe ) określa tzw. wektor funkcji kształtu
na elemencie Ωe ,
I
Wektor q = (q s ) określa reprezentację uh w bazie {v s }.
Wyznaczenie składowych wektora q jest głównym zadaniem
Metody Elementów Skończonych.
Wybrane podstawy matematyczne MES
Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Pojęcie elementu skończonego
Co to jest element skończony?
Element skończony jest to dowolny podobszar Ωe obszaru Ω
z przypisanym do niego wektorem funkcji kształtu N e = (v s|Ωe ),
oraz wektorem stopni swobody q e = (q s|Ωe ).
Macierzowa postać zadania dyskretnego:
Zastąpmy uh , v h w wariacyjnym równaniu równowagi
ich skończeniewymiarowymi reprezentacjami. Wykorzystując
własność liniowości operacji całkowania otrzymamy
Z
|Ω
Z
Cijkl εij (q s v s )εkl (v s )dx =
{z
Kq
}
|
Γτ
Ti (v s )i ds .
{z
Q
gdzie: K = (KIJ )s×s , q = (qJ )s×1 , Q = (QI )s×1
}
Wybrane podstawy matematyczne MES
Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Zbieżność MES
Załóżmy, że siatka elementów jest:
I
afiniczna (elementy są afinicznymi odwzorowaniami elementu wzorcowego)
I
regularna (określa się pewną
stałą C, taką że
∀e = 1, . . . , ne : hree < C,
tj. elementy nie są zbyt wydłużone w jednym kierunku)
Wprowadźmy oznaczenia:
I
he - najdłuższy bok Ωe ,
I
h = max he ,
I
p - rząd wielomianu aproksymującego w definicji v h .
e=1,...,ne
Wybrane podstawy matematyczne MES
Dyskretna postać wariacyjnego równania równowagi. Zbieżność MES
Na mocy lematu Céa, i w odniesieniu do zagadnień, których
rozwiązania nie zawierają osobliwości, można dowieść, że:
I
Rozwiązanie uh ∈ Vh jest “najlepszym” przybliżeniem słabego
rozwiązania u ∈ V,
I
Dla dwu dowolnych h1 , h2 zachodzi
ku − uh2 k ¬
gdzie
h2
h1
p
ku − uh1 k,
Z
kvk =
1/2
Ω
Cijkl εij (v)εkl (v)dx
Przykłady elementów skończonych
Konstrukcję przestrzeni Vh zaczynamy “od końca”,
tzn. od zdefiniowania:
I
wektora funkcji kształtu N e = (v s|Ωe ),
I
wektora stopni swobody q e = (q s|Ωe ),
dla pojedynczego elementu Ωe .
Pamiętamy przy tym, że:
I
funkcje kształtu są “obciętymi” do jednego elementu
funkcjami bazowymi w Vh ,
I
rodzina elementów jest afiniczna.
Przykłady elementów skończonych
Trójkątny element tarczy PSN
Wprowadźmy współrzędne punktu
P (L1 , L2 , L3 ), takie że
L1 =
L3 =
F (4P 23 )
F (4123 ) ,
F (4P 12 )
F (4123 ) ,
L2 =
F (4P 13 )
F (4123 ) ,
Li =
ai +bi x+ci y
2 F (4123 ) ,
gdzie
F (4123 ) =
Element trójkątny.
u=
nu
P
i=1
Ni ui ;
v=
nv
P
i=1
Ni vi
1
2
det
1 x1 y 1
1 x2 y 2
1 x3 y 3
,
a1 =x2 y3 −x3 y2 ,
b1 =y2 −y3 ,
c1 =x3 −x2 ,
a2 =x3 y1 −x1 y3 ,
b2 =y3 −y1 ,
c2 =x1 −x3 ,
a3 =x1 y2 −x2 y1 ,
b3 =y1 −y2 ,
c3 =x2 −x1 .
Przykłady elementów skończonych
Trójkątny element tarczy PSN
Element trójkątny rzędu 1.
Funkcja kształtu
N1 = L1 .
Element trójkątny rzędu 2.
Funkcja kształtu
N1 = (2 L1 − 1) L1 .
Przykłady elementów skończonych
Trójkąt Pascala
Funkcje kształtu stowarzyszone z rozmaitymi elementami
skończonymi konstruuje się w oparciu o trójkąt Pascala:
1
rząd 0
rząd 1
2
2
x
xy
y
rząd 2
x3
x2 y
xy 2
y3
rząd 3
4
3
2
2
3
4
x
x y
x y
xy
y rząd 4
...................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . i.t.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
y
Przykłady elementów skończonych
Inne typy elementów tarczowych
Element prostokątny rzędu 2.
Element trójkątny rzędu 3.
Element prostokątny rzędu 1.
(typ Lagrange’a)
Element prostokątny rzędu 2.
(typ “serendipowski” - ang. serendipity)
Algorytm MES
1. Podziel obszar Ω na elementy skończone Ωe , e = 1, . . . , ne ,
przyjmij wektory funkcji kształtu N e i stopni swobody q e ,
2. Oblicz macierze sztywności K e i wektory obciążeń węzłowych
Qe każdego elementu,
3. Znajdź macierz sztywności K i wektor obciążeń Q całej
konstrukcji,
4. Zdefiniuj wektor niewiadomych q,
5. Uwzględnij warunki brzegowe,
6. Rozwiąż równanie K q = Q,
7. Oblicz odkształcenia i naprężenia w każdym elemencie.
Uogólnienia klasycznej MES
Przykłady możliwych uogólnień klasycznej wersji MES:
I
bardziej skomplikowane zadania wariacyjne,
I
zagadnienia nieliniowe (np. Cijkl = Cijkl (q s )),
I
zadania z Γ krzywoliniowym,
I
wykorzystanie elementów niedostosowanych,
I
wykorzystanie rodzin elementów nieafinicznych,
I
przybliżone
obliczanie całek K = Ω Cijkl εij (v s )εkl (v s ) dx,
R
Q = Γτ Ti (v s )i ds (np. w zadaniach teorii powłok
lub przez wykorzystanie tzw. całkowania numerycznego).
R
Przykłady zadań z zakresu części 1. do samodzielnego rozwiązania
(zaliczenie przedmiotu)
1. Omówić rodzinę elementów trójkątnych
z zadanymi stopniami swobody,
2. Omówić rodzinę elementów czworokątnych
typu Lagrange’a,
3. Omówić rodzinę elementów czworokątnych
typu serendipowskiego,
4. Omówić własności wybranego elementu skończonego
(na podstawie literatury),
5. Porównać rozwiązania wybranego zadania PSN
z użyciem różnych elementów skończonych.
Ponadto istnieje możliwość wykonania łączonych prac dyplomowych inżynierskich i magisterskich (KBI) oraz samodzielnych
prac dyplomowych magisterskich (TKAK).