Temat 3: Funkcje wielu zmiennych 1 Zadanie 1 Dla danych funkcji
Transkrypt
Temat 3: Funkcje wielu zmiennych 1 Zadanie 1 Dla danych funkcji
Zastosowania matematyki w ekonomii Temat 3: Funkcje wielu zmiennych I rok SSL Zadanie 1 Dla danych funkcji wyznacz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu: 1) f x, y 5x3 y 2 4 xy3 3xy 2) f x, y x y x y 3) f x, y 3e2 4 x 7 y 5) f x, y 4) f x, y 2 x0,3 y 0,7 6) f x, y xesin x y ⌂ x ⌂ x y2 2 2 Zadanie 2 Niech funkcją produkcji pewnego przedsiębiorstwa będzie QK , L 2K 0,6 L0, 4 , gdzie Q - wielkość produkcji (w mln zł), K - wielkość nakładu majątku (w mln zł), L - wielkość nakładu pracy (w osobach). Wyznacz: a) b) c) d) krańcową produktywność majątku, krańcową produktywność pracy, elastyczność produkcji względem nakładu majątku, elastyczność produkcji względem nakładu pracy. Zinterpretuj wyniki z punktów a) - d) dla K 100, L 200. Zadanie 3 ⌂ Niech funkcją płac w pewnym przedsiębiorstwie będzie Ps, w e 20,02s 0,05w , gdzie P - wysokość płacy (w zł), s - staż pracy (w latach), w - wydajność pracownika (w % wykonania normy). Wyznacz: a) b) c) d) parametr krańcowy płacy względem stażu pracy, parametr krańcowy płacy względem wydajności pracownika, elastyczność płacy względem stażu pracy, elastyczność płacy względem wydajności pracownika. Zinterpretuj wyniki z punktów a) - d) dla s 20, w 110. Zadanie 4 Dla funkcji f x, y e xy znajdź wskazane pochodne cząstkowe: 2 1) 2 f x 2 2) 2 f x y 3) 2 f y x 4) 2 f y 2 Zadanie 5 Zbadaj ekstrema funkcji: 1) f x, y x3 xy 2 6 xy 2) f x, y 3x 3 3x 2 y y 3 15x ⌂ 3) f x, y e x y x 2 2 y 2 ⌂ Zadanie 6 Firma produkuje dwa wyroby w warunkach konkurencji doskonałej (tzn. ceny wyrobów są zmiennymi egzogenicznymi). Ceny wyrobów pierwszego i drugiego wynoszą odpowiednio P1 12 oraz P2 18 . Funkcja kosztu ma postać: C Q1, Q2 2Q12 Q1Q2 2Q22 , gdzie Q1 , Q2 oznaczają wielkość produkcji odpowiednio pierwszego i drugiego wyrobu. Zakładamy, że poziom produkcji tożsamy jest z poziomem sprzedaży (tzn. nie uwzględniamy możliwości gromadzenia zapasów). Napisz równanie funkcji zysku Q1 ,Q2 tej firmy. Znajdź poziomy produkcji Q1 i Q2 maksymalizujące zysk. 1 Zastosowania matematyki w ekonomii Temat 3: Funkcje wielu zmiennych I rok SSL Zadanie 7 ⌂ Rozwiąż poprzednie zadanie dla: cen wyrobów: P1 12 oraz P2 16 funkcji kosztu postaci: C Q1 , Q2 2Q12 Q22 Zadanie 8 ⌂ Firma produkuje dwa substytucyjne wyroby w warunkach monopolu (tzn. ceny obu wyrobów P1 i P2 będą się zmieniać w zależności od poziomu sprzedaży). Zakładamy, ze poziom produkcji tożsamy jest z poziomem sprzedaży (tzn. nie uwzględniamy możliwości gromadzenia zapasów). Niech funkcje popytu Q1 i Q2 dane będą równaniami: Q1 40 2P1 P2 , Q2 15 P1 P2 . Funkcja kosztu na postać: C Q1 , Q2 Q12 Q1Q2 Q22 . Sformułuj funkcję zysku Q1 ,Q2 tej firmy. Znajdź poziomy produkcji Q1 i Q2 maksymalizujące zysk. Znajdź ceny P1 i P2 maksymalizujące zysk. Znajdź maksymalny zysk. Zadanie 9 ⌂ Rozwiąż poprzednie zadanie dla: funkcji popytu danych równaniami: Q1 10 P1 P2 , Q2 20 P1 2P2 funkcji kosztu postaci: C Q1 , Q2 Q12 Q1Q2 Q22 2 Zastosowania matematyki w ekonomii Temat 3: Funkcje wielu zmiennych I rok SSL ODPOWIEDZI DO ZADAŃ Zadanie 1 1) f 15x 2 y 2 4 y 3 3 y x 3) f 10x 3 y 12 y 2 3x y 2) f 12 e 2 4 x 7 y x 5) f 21e 2 4 x 7 y y f 2y x x y 2 4) f y 0,6 x x x f 1,4 y y f 2x y x y 2 f y2 x2 2 x x2 y2 f 2 xy y x2 y 2 0, 7 6) 0, 3 2 2 f esin x y 1 2 x 2 y cos x 2 y x 2 f x3esin x y cos x 2 y y Zadanie 2 L MQK K , L 1,2 K 0, 4 K b) MQL K , L 0,8 L c) EQK K , L 0,6 , 0, 6 a) , MQK 100, 200 1,583 , MQL 100, 200 0,528 EQK 100, 200 0,6 EQL 100, 200 0,4 d) EQL K , L 0,4 , Wskazówki: Dla funkcji f x1 , x2 mamy: Mf xi x1 , x2 Parametr krańcowy: Interpretacja: f x1 , x2 dla i 1,2 . xi Jeśli wartość zmiennej xi wzrośnie o jedną jednostkę od poziomu x10 , x20 , to wartość funkcji f zmieni się o Mf xi x10 , x20 ceteris paribus (dla i 1,2 ). Ef xi x1 , x2 Elastyczność: Interpretacja: xi f x1 , x2 xi dla i 1,2 . f x1 , x2 Ef xi x10 , x20 % ceteris paribus (dla i 1,2 ). Zadanie 3 a) MPs s, w 0,02e 20,02s0,05w , b) MPw s, w 0,05e c) Jeśli wartość zmiennej xi wzrośnie o 1% od poziomu x10 , x20 , to wartość funkcji f zmieni się o 20, 02s 0, 05w EPs s, w 0,02 s , d) EPw s, w 0,05 w , , MPs 20, 110 53,95 MPw 20, 110 134,86 EPs 20, 110 0,4 EPw 20, 110 5,5 3 Zastosowania matematyki w ekonomii Temat 3: Funkcje wielu zmiennych I rok SSL Zadanie 4 1) 2 2 f y 4 e xy 2 x 2) i 3) 2 2 f 2 f e xy 2 y 2 xy3 x y y x Zadanie 5 3,3 6 1) f max 3,3 6 3 , f min 2) f max 5 , 5 10 5 , f min 3 5, 5 10 5 4 4) 2 2 f e xy 2 x 4 x 2 y 2 2 y Zastosowania matematyki w ekonomii Temat 3: Funkcje wielu 3) zmiennych I rok SSL f max 4,2 8e 2 Zadanie 6 Q1, Q2 12Q1 18Q2 2Q12 Q1Q2 2Q22 max 2,4 48 Zadanie 7 Q1 , Q2 12Q1 16Q2 2Q12 Q22 max 3,8 82 Zadanie 8 Q1 , Q2 55Q1 70Q2 2Q12 3Q1Q2 3Q22 max 8,7 23 488 13 P1 39 13 , P2 46 23 Zadanie 9 Q1 , Q2 40Q1 30Q2 3Q12 3Q1Q2 2Q22 max 4 23 ,4 153 13 P1 26 23 , P2 21 13 5