Półgrupy regularne i inwersyjne

Uniwersytet Warszawski
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Michał Masny
Nr albumu: 262788
Półgrupy regularne i inwersyjne
Praca licencjacka
na kierunku MATEMATYKA
Praca wykonana pod kierunkiem
prof. Jana Oknińskiego
Instytut Matematyki
Czerwiec 2011
Oświadczenie kierującego pracą
Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego.
Data
Podpis kierującego pracą
Oświadczenie autora (autorów) pracy
Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa
została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób
niezgodny z obowiązującymi przepisami.
Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni.
Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją
elektroniczną.
Data
Podpis autora (autorów) pracy
Streszczenie
W pracy przedstawiono dwie klasy półgrup: półgrupy regularne i półgrupy inwersyjne. Podano podstawowe twierdzenia charakteryzacyjne i reprezentacyjne oraz przykłady.
Słowa kluczowe
półgrupa regularna, półgrupa inwersyjna, półgrupa transformacji, półgrupa bijekcji częściowych
Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus)
11.1 Matematyka
Klasyfikacja tematyczna
20 Group theory and generalizations
20M Semigroups
20M17 Regular semigroups
20M18 Inverse semigroups
Tytuł pracy w języku angielskim
Regular and inverse semigroups
Spis treści
Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1. Podstawowe pojęcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Kongruencje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Półgrupy regularne i inwersyjne, elementy odwrotne
1.3. Ideały i relacje Greena . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
8
9
2. Półgrupy regularne . . . . . . . . . . .
2.1. D-klasy i półgrupy regularne . . . .
2.2. Pełna półgrupa transformacji zbioru
2.3. Półgrupa transformacji liniowych . .
2.4. Lemat Lallementa . . . . . . . . . .
2.5. Półgrupy całkowicie 0-proste . . . .
2.6. Inne przykłady . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
14
17
19
20
23
3. Półgrupy inwersyjne . . . . . . .
3.1. Podstawowe fakty . . . . . . . .
3.2. Twierdzenie Wagnera–Prestona
3.3. Półgrupa bicykliczna . . . . . .
3.4. Półgrupy Brandta . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
25
27
30
33
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
Wprowadzenie
Pojęcie regularności elementu pierścienia zostało zdefiniowane przez J. von Neumanna w
roku 1936, [7]. Element r pierścienia R nazywamy regularnym w sensie von Neumanna, jeżeli
istnieje element s ∈ R, taki że rsr = r. Ponieważ definicja ta nie wykorzystuje operacji
dodawania w pierścieniu, można pojęcie regularności uogólnić na elementy półgrup. W pracy
z 1951 roku, J. A. Green, [4], podał definicję elementu regularnego półgrupy, stwierdzając w
przypisie, że ideę zawdzięcza D. Reesowi. Praca ta zawierała również definicję relacji zwanych
dziś relacjami Greena.
Pojęcie półgrupy regularnej, czyli takiej której wszystkie elementy są regularne, jest niezwykle ważne w teorii półgrup w ogóle, a w teorii półgrup skończonych w szczególności.
Podstawowym przykładem półgrupy regularnej jest pełna półgrupa transformacji zbioru.
Okazuje się, że każdą półgrupę (skończoną lub nie) można zanurzyć w pełnej półgrupie transformacji pewnego zbioru, o czym mówi analogon twierdzenia Cayleya o reprezentacji grup
przedstawiony w sekcji 2.2. Innym przykładem półgrupy regularnej jest półgrupa transformacji liniowych (endomorfizmów) przestrzeni liniowej. Jest ona przedstawiona w sekcji 2.3. W
sekcji 2.6 przedstawiamy natomiast twierdzenie mówiące o regularności skończonych półgrup
(0-)prostych, które wyprowadzamy z jednego z najważniejszych twierdzeń w teorii półgrup,
mianowicie twierdzenia Reesa.
Szczególną klasą półgrup regularnych jest klasa półgrup inwersyjnych (albo uogólnionych
grup). Są to półgrupy, w których każdy element ma jednoznacznie wyznaczony element odwrotny, który jednak zdefiniowany jest bez użycia pojęcia elementu neutralnego. Okazauje się,
że rolę elementu neutralnego pełnią w pewnym sensie idempotenty półgrupy inwersyjnej. Najważniejszymi półgrupami inwersyjnymi są półgrupy bijekcji częściowych zbioru. Twierdzenie
Wagnera-Prestona mówi, że każda półgrupa inwersyjna zanurza się w półgrupie bijekcji częściowych pewnego zbioru. Półgrupy bijekcji częściowych i twierdzenie Wagnera-Prestona są
przedstawione w sekcji 3.2. Innymi ważnymi przykładami półgrup inwersyjnych są półgrupa
bicykliczna i półgrupy Brandta.
Celem niniejszej pracy jest przedstawienie podstawowych definicji i twierdzeń w teorii
półgrup regularnych i inwersyjnych, jak również podanie i omówienie ważnych przykładów.
Od czytelnika nie jest wymagana znajomość teorii półgrup. Niezbędne pojęcia są wprowadzone w rozdziale 1. Część dowodów z tego rozdziału została z konieczności pominięta – podane
są tylko odpowiednie odnośniki do literatury.
Większość materiału wykorzystanego w tej pracy pochodzi z dwóch prac: The Algebraic
Theory of Semigroups A. H. Clifforda i G. B. Prestona, [2] oraz An Introduction to Semigroup
Theory J. M. Howiego, [6].
5
Rozdział 1
Podstawowe pojęcia
Półgrupą nazywamy niepusty zbiór z działaniem łącznym. Podstawowymi w tej pracy klasami
półgrup są półgrupy regularne i inwersyjne, które są uogólnieniami klasy grup. Będziemy
stosować zapis mutyplikatywny dla działania półgrupy.
Podpółgrupą półgrupy S nazywamy zbiór A ⊆ S zamknięty na działanie półgrupy S.
Oczywiste jest, że podłpógrupa dowolnej półgrupy S jest półgrupą. Podgrupą półgrupy S
nazywamy dowolny zbiór G ⊆ S, który jest grupą ze względu na działanie półgrupy S.
Jedynką nazywamy taki element 1 półgrupy S, że dla każdego x ∈ S zachodzi 1x = x1 = x.
Zerem nazywamy taki element półgrupy S, że dla każdego x ∈ S zachodzi 0x = x0 = 0.
Dowodzi się, że w dowolnej półgrupie może istnieć maksymalnie jedna jedynka i maksymalnie
jedno zero.
Będziemy przez resztę pracy stosować następującą notację. Wartość dowolnej funkcji φ dla
argumentu x będziemy oznaczać przez xφ. Obraz zbioru X przy przekształceniu φ oznaczymy
przez Xφ, a przeciwobraz zbioru Y przez Y φ−1 . Złożenie dwóch funkcji będzie zapisywane
multyplikatywnie: x(φψ) :≡ (xφ)ψ.
Standardowo definiuje się pojęcia homomorfizmu, endomorfizmu, monomorfizmu i izomorfizmu. Przekształcenie φ : S −→ T , gdzie S i T są półgrupami nazywamy homomorfizmem,
gdy dla każdych a, b ∈ S zachodzi (aφ)(bφ) = (ab)φ.
Symbolem idX oznaczać będziemy relację identyczności na zbiorze X. Symbol N będzie
oznaczał zbiór {0, 1, 2, ...}.
1.1. Kongruencje
Dowody z tej sekcji zostaną pominięte. Można je znaleźć np. w [6].
Definicja 1.1. Relację R na półgrupie S nazywamy lewostronnie zgodną (z działaniem półgrupy S), gdy
(∀x, y, a ∈ S) xRy ⇒ axRay.
Analogicznie definiuje się relację prawostronnie zgodną.
Definicja 1.2. Relację R na półgrupie S nazywamy zgodną (z działaniem półgrupy S), gdy
(
0 0
∀x, y, x y ∈ S
xRx0
yRy 0
=⇒ xyRx0 y 0 .
Definicja 1.3. Lewostronnie zgodną relację równoważności na półgrupie S nazywamy kongruencją lewostronną. Analogicznie definiuje się kongruencję prawostronną. Zgodną relację
równoważności na S nazywamy kongruencją.
7
Następujący fakt wiąże te pojęcia.
Fakt 1.4. Relacja ρ na półgrupie S jest kongruencją wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie
lewo- i prawostronną kongruencją.
Jeżeli dana jest relacja równoważności R na S, to przez [a]R oznaczamy klasę abstrakcji
elementu a ∈ S zadaną przez relację R. Definiuje się pojęcie półgrupy ilorazowej S/ρ z działaniem [a]ρ [b]ρ = [ab]ρ i pokazuje się, że ta definicja jest poprawna. Naturalne przekształcenie
πφ : a 7→ [a]ρ jest homomorfizmem. Zachodzi
Twierdzenie 1.5. Jeżeli φ : S → T jest homomorfizmem półgrup, to relacja
ker φ = {(x, y) ∈ S × S| xφ = yφ}
(1.1)
nazywana jądrem homomorfizmu φ jest kongurencją i istnieje monomorfizm α : S/ ker φ → T ,
taki że obrazy φ i α są równe i diagram
φ
S
πφ
x
x
x
xα
x
/
x< T
S/ ker φ
jest przemienny.
1.2. Półgrupy regularne i inwersyjne, elementy odwrotne
Definicja 1.6. Element x ∈ S nazywamy regularnym, gdy
∃y∈S xyx = x.
Definicja 1.7. Zbiór A ⊆ S nazywamy podzbiorem regularnym S, gdy każdy element A jest
regularny. S nazywamy półgrupą regularną, gdy S jest swoim własnym pozbiorem regularnym.
Pojęcie regularności elementu półgrupy pozwala na uogólnienie pojęcia elementu odwrotnego z teorii grup. Pokazuje to następująca definicja.
Definicja 1.8. Element y ∈ S nazywamy odwrotnym do elementu x ∈ S, gdy zachodzą
zależności
xyx = x
oraz
yxy = y.
Oczywiście x jest wtedy również elementem odwrotnym do y.
Widać natychmiast, że dla dowolnego elementu x dowolnej grupy G element x−1 jest
odwrotny do x w powyższym sensie.
Następujący fakt pokazuje, że element x ∈ S jest regularny wtedy i tylko wtedy, gdy
posiada element odwrotny.
Fakt 1.9. Niech x ∈ S. Jeżeli istnieje y ∈ S, taki że xyx = x, to element yxy jest elementem
odwrotnym do x.
8
Dowód. Zachodzi
x(yxy)x = (xyx)yx = xyx = x
oraz
(yxy)x(yxy) = y(xyx)yxy = y(xyx)y = yxy.
Widać więc, że w półgrupie regularnej każdy element ma element odwrotny.
Regularność półgrupy nie zapewnia jedyności elementów odwrotnych, co uzasadnia zdefiniowanie klasy półgrup mających tę własność.
Definicja 1.10. Półgrupę S nazywamy inwersyjną, gdy każdy element x ∈ S posiada dokładnie jeden element odwrotny. Element ten oznaczamy przez x−1 .
1.3. Ideały i relacje Greena
W 1951 roku James A. Green podał definicje pięciu ważnych relacji równoważności (zwanych
od tej pory relacjami Greena) zadanych na dowolnej półgrupie, które związane są z pojęciem
ideału głównego półgrupy.
Definicja 1.11. Podzbiór A półgrupy S nazywamy ideałem lewostronnym S, gdy
SA ⊆ A.
Analogicznie, A jest ideałem prawostronnym, gdy
AS ⊆ A
oraz ideałem obustronnym lub po prostu ideałem, gdy jest jednocześnie ideałem lewo- i prawostronnym.
W naturalny sposób definiuje się ideały generowane przez podzbiory i ideały główne.
Definicja 1.12. Dla dowolnego podzbioru B półgrupy S ideałem lewostronnym generowanym
przez B nazywamy zbiór
\
{A ⊆ S | B ⊆ A ∧ SA ⊆ A} .
Defnicje ideału prawo- i lewostronnego generowanego przez B są analogiczne. Jeżeli zbiór
B = {x} jest jednoelementowy, to ideał generowany przez B nazywamy ideałem głównym
generowanym przez element x.
Nietrudno się przekonać, że ideały generowane przez podzbiory są ideałami. Istnieje wygodna charakteryzacja ideałów głównych. Potrzebna nam będzie następująca definicja.
Definicja 1.13.
(
1
S :=
S,
S ∪ {1}, gdzie 1 6∈ S,
gdy S zawiera element neutralny,
w przeciwnym wypadku
Dla a, b ∈ S 1 oznaczymy
ab :=



ab,
a,


b,
gdy a, b ∈ S,
gdy b = 1,
gdy a = 1.
S 1 z tak zdefiniowanym działaniem jest półgrupą i nazywamy ją półgrupą S z jedynką dołączoną w razie potrzeby.
9
Uwaga 1.14. Dla x ∈ S lewostronnym ideałem głównym generowanym przez x jest S 1 x.
Analogicznie prawo- i obustronnymi ideałami głównymi generowanymi przez x są odpowiednio
xS 1 i S 1 xS 1 .
Przydatna okaże się też następująca oczywista uwaga.
Uwaga 1.15. Dla dowolnych elementów x, y półgrupy S zachodzą równoważności:
• S 1 x ⊆ S 1 y ⇐⇒ x ∈ S 1 y,
• xS 1 ⊆ yS 1 ⇐⇒ x ∈ yS 1 ,
• S 1 xS 1 ⊆ S 1 yS 1 ⇐⇒ x ∈ S 1 yS 1 .
Jeżeli x jest elementem regularnym, możemy się pozbyć jedynek z górnych indeksów w
uwadze 1.14, ponieważ natychmiast z definicji regularności wynikają zawierania:
x ∈ Sx ⊆ SxS,
x ∈ xS ⊆ SxS.
Tak więc w półgrupie regularnej
• Sx jest lewostronnym ideałem głównym generowanym przez x,
• xS jest prawostronnym ideałem głównym generowanym przez x,
• SxS jest obustronnym ideałem głównym generowanym przez x.
Dla dowolnej półgrupy S definiuje się trzy relacje równoważności oznaczane symbolami
L, R i J.
Definicja 1.16. Dla dowolnych x, y ∈ S powiemy, że
• xL y, gdy x i y generują ten sam lewostronny ideał główny,
• xRy, gdy x i y generują ten sam prawostronny ideał główny,
• xJ y, gdy x i y generują ten sam obustronny ideał główny.
Sprawdzanie czy powyższe relacje zachodzą przy użyciu powyższej definicji jest niewygodne, dlatego przydaje się następująca uwaga wynikająca wprost z uwagi 1.15.
Uwaga 1.17. Dla x, y ∈ S zachodzą następujące równoważności:
• xL y ⇐⇒ x ∈ S 1 y ∧ y ∈ S 1 x ,
• xRy ⇐⇒ x ∈ yS 1 ∧ y ∈ xS 1 ,
• xJ y ⇐⇒ x ∈ S 1 yS 1 ∧ y ∈ S 1 xS 1 .
Czwartą relacją Greena jest relacja H = L ∩ L . Mamy więc
• xH y, gdy x i y generują ten sam lewostronny ideał główny i ten sam prawostronny
ideał główny.
10
Jest jasne, że relacja H jest największą relacją równoważności zawartą jednocześnie w L
i w R. Naturalne jest teraz pytanie o najmniejszą relację równoważności zawierającą L i R.
Taka relacja zawsze istnieje i oznacza się ją symbolem D. Aby ją scharakteryzować, trzeba
najpierw wprowadzić pojęcie składania relacji binarnych na zbiorze.
Definicja 1.18. Niech X będzie zbiorem i niech ρ, σ ⊆ X × X. Złożeniem relacji ρ i σ
nazywamy relację
ρ ◦ σ = {(x, y) ∈ X × X | ∃z∈X xρz ∧ zσy} .
Działanie składania relacji binarnych na zbiorze X jest łączne (np. [6], str. 14), w związku
z czym zbiór B(X) wszystkich relacji binarnych na zbiorze X jest półgrupą ze względu na
to działanie.
Teraz możemy podać następujący
Fakt 1.19. D = L ◦ R = R ◦ L .
Dowód pominiemy (można go znaleźć np. w [6] na str. 39). Zauważmy, że przemienność
relacji L i R jest okolicznością szczególną. Przekonuje o tym następujący przykład.
Przykład 1.20. Niech A = {1, 2, 3}. Niech R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} oraz S =
{(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}. Łatwo jest sprawdzić, że R i S są relacjami równoważności
i R ◦ S 6= S ◦ R.
Wykorzystując fakt 1.19, pokażemy
Fakt 1.21. D ⊆ J .
Dowód. Niech xL z i zRy. Mamy więc S 1 x = S 1 z oraz zS 1 = yS 1 , czyli
(S 1 x)S 1 = (S 1 z)S 1 = S 1 (zS 1 ) = S 1 (yS 1 ),
czyli xJ y.
Oznaczenie. Klasy abstrakcji elementu x ∈ S w relacjach H , L , R, D i J oznaczamy
odpowiednio przez Hx , Lx , Rx , Dx i Jx .
Zanim zobaczymy, jak relacje Greena pozwalają opisać strukturę półgrup regularnych i
inwersyjnych, obejrzyjmy najpierw przykłady półgrup, w których relacje Greena nie dają
ciekawych informacji.
Łatwo się przekonać, że w dowolnej półgrupie przemiennej S wszystkie relacje Greena są
równe:
H = L = R = D = J.
Kompletnie trywializują się natomiast relacje Greena w dowolnej grupie G:
H = L = R = D = J = G × G.
Na drugim biegunie znajdują się półgrupa (N, +) i półgrupa (N, ·), w nich bowiem wszystkie
relacje Greena to po prostu identyczności.
Ciekawszy przykład podany został przez Andersena. Choć w wielu „porządnych” półgrupach zachodzi równość D = J , to w ogólności nie ma powodów, by tak było, co dobrze
pokazuje
11
(
!
)
a 0
Przykład 1.22. Niech S =
| a, b ∈ (0, ∞) będzie półgrupą macierzy rzeczywistych
b 1
rozmiaru 2 × 2 ze zwykłym działaniem mnożenia macierzy. Sprawdzenie, że jest to półgrupa
jest natychmiastowe. Weźmy dwa elementy
!
a 0
,
b 1
!
c 0
d 1
∈ S.
Załóżmy, że
!
a 0
b 1
c 0
d 1
!
!
a 0
.
b 1
=
Wtedy
(
ac = a
bc + d = b
,
czyli musiałoby być c = 1, a więc d = 0, co jest niemożliwe. Podobnie, gdyby
a 0
b 1
!
!
c 0
d 1
!
c 0
,
d 1
=
to mielibyśmy
(
ac = c
bc + d = d
,
czyli musiałoby być b = 0, co jest niemożliwe. Widać stąd, że dla x ∈ S mamy x 6∈ xS oraz
x 6∈ Sx.
Załóżmy teraz, że dla x, y ∈ S, x 6= y mamy xL y, czyli
Sx ∪ {x} = Sy ∪ {y}.
Skoro x 6= y, to musi wobec tego zachodzić x ∈ Sy, czyli x = sy dla pewnego s ∈ S. Ale
również y ∈ Sx, czyli y ∈ Ssy ⊆ Sy. Sprzeczność.
Widać stąd, że w półgrupie S jest L = idS . Analogiczne rozumowanie pokazuje, że również R = idS , więc mamy D = idS , ponieważ D jest najmniejszą relacją równoważności
zawierającą L i R. Pokażemy teraz, że dla S zachodzi J = S × S. Na mocy Uwagi 1.17,
wystarczy pokazać, że
∀x,y∈S x ∈ S 1 yS 1 .
!
Weźmy więc dwie macierze
a 0
b 1
4a0 b
ab0
b
a
0
1
!
i
!
a0 0
, gdzie a, b, a0 , b0 > 0, i zauważmy, że
b0 1
a 0
b 1
!
b0
4b0
b
2
!
0
1
!
=
a0 0
.
b0 1
Widzimy zatem, że w tym przypadku zachodzi ostre zawieranie D ⊂ J , i że różnica
jest największa, jaka może być. D jest najmniejszą relacją równoważności na S, a J —
największą.
12
Rozdział 2
Półgrupy regularne
Zostanie tu podane podstawowe twierdzenie charakteryzujące regularność przy pomocy relacji Greena i idempotentów. Następnie podamy podstawowy przykład półgrupy regularnej,
czyli pełną półgrupę transformacji zbioru, i twierdzenie o reprezentacji półgrup przez półgrupy przekształceń. Podane zostaną też inne przykłady półgrup regularnych, w tym przede
wszystkim półgrupa trasformacji liniowych przestrzeni liniowej i skończone półgrupy 0-proste.
Przedstawimy również ważny fakt dotyczący półgrup regularnych zwany lematem Lallementa,
który mówi, że w półgrupach regularnych kongruencje są zgodne ze strukturą idempotentów.
Fakt ten wykorzystamy w następnym rozdziale.
Pierwsza sekcja tego rozdziału oraz dowód lematu Lallementa są oparte na [6]. Twierdzenia z sekcji poświęconych pełnej półgrupie transformacji zbioru i półgrupom całkowicie
0-prostym oraz ich dowody pochodzą w większości z [2]. Sekcja dotycząca półgrupy transformacji liniowych przestrzeni liniowej opiera się w znacznej mierze na pierwszych rozdziałach
[1].
2.1. D-klasy i półgrupy regularne
Okazuje się, że pojęcie regularności jest ściśle związane z relacjami Greena, co pokazują
następujące twierdzenia.
Lemat 2.1. Jeżeli element a półgrupy S jest regularny, to Da jest zbiorem regularnym.
Dowód. Wiemy, że istnieje x ∈ S, taki że axa = a dla jakiegoś x ∈ S. Weźmy b ∈ Dx . Istnieje
c ∈ S takie, że aL c i cRb. Zatem, z Uwagi 1.17, istnieją takie u, v, z, t ∈ S 1 , że
ua = c,
vc = a,
cz = b,
bt = c.
Mamy więc
b(txv)b = (bt)(xv)b = c(xv)(cz) = (cx)(vc)z = (cx)(az)
= ((ua)x)(az) = u(axa)z = uaz = cz = b,
czyli b jest elementem regularnym.
Widać więc, że regularność jest w istocie cechą przynajmniej D-klas, a nie pojedynczych
elementów.
Twierdzenie to jest przydatne przy dowodzie ważnej charakteryzacji półgrup regularnych,
która korzysta z pojęcia idempotentu, czyli takiego elementu, który jest równy swojemu kwadratowi (a więc i każdej kolejnej potędze).
13
Oznaczenie. Jeżeli A jest podzbiorem półgrupy S, to oznaczamy
E(A) := {e ∈ A | ee = e}.
Elementy zbioru E(S) nazywamy idempotentami półgrupy S.
Twierdzenie 2.2. Niech S będzie półgrupą. Następujące warunki są równoważne.
1. S jest regularna,
2. w S każda L -klasa i każda R-klasa zawiera idempotent.
(Por. lemat 6 w [7].)
Dowód. 1. ⇒ 2. Niech xyx = x dla pewnych x, y ∈ S. Wtedy yx, xy ∈ E(S), bo
(yx)(yx) = y(xyx) = yx
i
(xy)(xy) = (xyx)y = xy.
Natychmiast z uwagi 1.17 wynika, że xL yx i xRxy. Zatem każda L -klasa i każda R-klasa
półgrupy regularnej zawiera idempotent.
Implikacja 1. ⇒ 2. wynika natychmiast z tego, że dla e ∈ E(S) zachodzi eee = e (idempotenty są regularne) oraz z lematu 2.1.
2.2. Pełna półgrupa transformacji zbioru
Jak wiadomo, składanie funkcji jest operacją łączną. Jest też oczywiste, że złożenie dwóch
funkcji α : X → X i β : X → X jest zawsze dobrze określoną funkcją zbioru X w siebie. Zbiór
takich funkcji jest więc półgrupą.
Definicja 2.3. Funkcję α : X → X nazywamy transformacją zbioru X. Zbiór wszystkich
transformacji zbioru X nazywamy pełną półgrupą transformacji zbioru X i oznaczamy symbolem T (X).
Jest jasne, że dla równolicznych zbiorów X i Y półgrupy T (X) i T (Y ) są izomorficzne.
W związku z tym uprawnione jest następujące
Oznaczenie. Półgrupę T (X), gdzie |X| =
badaniu półgrupy tego typu przyjmujemy, że
piszemy dla α ∈ Tn
1
α =:
1α
n dla n ∈ Z+ , oznaczamy symbolem Tn . Przy
dziedziną jej elementów jest zbiór {1, 2, ..., n} i
2 ... n
2α ... nα
!
α =: 1α 2α ... nα
albo
Pokażemy teraz jak można zastosować twierdzenia z poprzedniej sekcji do wykazania
regularności pełnej półgrupy transformacji dowolnego zbioru X (dowód będzie w istotny
sposób korzystał z aksjomatu wyboru). W tym celu, zbadamy jak wyglądają jej relacje L i
R oraz wskażemy idempotenty.
14
Fakt 2.4. Niech α, β ∈ T (X). Zachodzi równoważność
∃ξ∈T (X) ξα = β
⇐⇒ Xα ⊇ Xβ,
co wraz z uwagą 1.15 daje równoważność
αL β ⇐⇒ Xα = Xβ.
Dowód. Załóżmy najpierw, że ξα = β. Wtedy
Xβ = X(ξα) = (Xξ)α ⊆ Xα.
Jeżeli natomiast Xβ ⊆ Xα, to dobierzemy ξ w następujący sposób. Dla każdego y ∈ Xβ i
dla pewnego ay ∈ yα−1 przyjmiemy
ξ
∀x∈yβ −1 x 7−→ ay .
Z założenia yα−1 6= ∅, a więc aksjomat wyboru pozwala nam wybrać ay .
Ponieważ {yβ −1 | y ∈ Xβ} jest rozbiciem zbioru X, to xξ jest poprawnie zdefiniowane dla
każdego x ∈ X. Widać, że ξα = β.
Aby scharakteryzować relację R w półgrupie T (X), musimy najpierw przypomnieć definicję jądra funkcji.
Definicja 2.5. Niech α : X → Y . Jądrem α nazywamy relację równoważności
ker α = {(a, b) ∈ X × X | aα = bα} .
Fakt 2.6. Niech α, β ∈ T (X). Zachodzi równoważność
∃ξ∈T (X) αξ = β
⇐⇒ ker α ⊆ ker β,
co wraz z uwagą 1.15 daje równoważność
αRβ ⇐⇒ ker α = ker β.
Dowód. Załóżmy najpierw, że αξ = β. Niech (x, y) ∈ ker α. Wtedy
xβ = x(αξ) = (xα)ξ = (yα)ξ = y(αξ) = yβ.
Jeżeli natomiast ker α ⊆ ker β, to dobierzemy ξ w następujący sposób. Na Xα definiujemy ξ
wzorem
xαξ = xβ,
a na X \ Xα określamy ξ jako identyczność. Definicja jest poprawna, bo z założenia jeśli
xα = yα, to xβ = yβ. Widać, że αξ = β.
Wiemy zatem, że w pełnej półgrupie transformacji relacja L jest relacją posiadania tego
samego obrazu, a relacja R relacją posiadania tego samego jądra. By stwierdzenić regularność,
trzeba jeszcze zidentyfikować idempotenty T (X). Nietrudno się domyślić, że okazują się nimi
rzuty. Podamy dwie definicje rzutu i stwierdzimy ich równoważność.
15
Definicja 2.7. Niech α ∈ T (X). Niech Y = Xα. Powiemy, że α jest rzutem, jeżeli
∀y∈Y yα = y.
Powiemy, że α jest rzutem na Y .
Definicja 2.8. Niech α ∈ T (X). Niech π = ker α. Powiemy, że α jest rzutem, jeżeli
∀x∈X (xα, x) ∈ π.
Powiemy, że α jest rzutem wzdłuż π.
Fakt 2.9. Definicje 2.7 i 2.8 są równoważne. Podzbiór rzutów zbioru T (X) jest równy
E(T (X)).
Dowód. Zachodzi ciąg równoważności
∀
yα = y ⇐⇒
y∈Xα
∀ (xα)α = xα ⇐⇒
x∈X
∀ (xα, x) ∈ ker α.
x∈X
Skrajne formuły to odpowiednio definicje 2.7 i 2.8, a środkowa to definicja idempotentu.
Twierdzenie 2.10. Dla dowolnego zbioru X półgrupa T (X) jest regularna.
Dowód. Na mocy twierdzenia 2.2 oraz faktów 2.4, 2.6 i 2.9 wystarczy pokazać, że istnieje rzut
na dowolny podzbiór Y ∈ X oraz rzut wzdłuż dowolnej relacji równoważności π na zbiorze
X. Jest to jednak oczywiste. Aby skonstruować rzut ξ na ustalony zbiór Y ⊆ X, wystarczy
ustalić ξ jako identyczność na zbiorze Y , a zbiór X \ Y przeprowadzić w całości na ustalony
element Y . Aby skonstruować rzut wzdłuż ustalonej relacji równoważności π, wystarczy każdą
klasę abstrakcji tej relacji przeprowadzić na ustalony jej element.
Pełne półgrupy transformacji okazują się ważne w teorii półgrup ze względu na następujące
Twierdzenie 2.11. Dla każdej półgrupy S istnieje monomorfizm φ : S → T (X) dla pewnego
zbioru X.
Dowód. Zdefiniujmy dla każdego a ∈ S przekształcenie φa : S 1 → S 1 zadane wzorem
xφa = xa
dla każdego x ∈ S 1 . Niech φ : S → T (S 1 ) będzie zadane wzorem
aφ = φa
dla każdego a ∈ S.
Mamy dla każdego x ∈ S 1
x(ab)φ = xφab = x(ab) = (xa)b = (xφa )φb = x(φa φb ) = x(aφ)(bφ).
Zatem φ jest homomorfizmem.
Mamy też
aφ = bφ =⇒ (∀x ∈ S 1 ) xφa = xφb =⇒ (∀x ∈ S 1 ) xa = xb =⇒ 1 · a = 1 · b =⇒ a = b.
Zatem φ jest różnowartościowe.
16
Taką reprezentację półgrupy nazywamy rozszerzoną prawostronną reprezentacją regularną półgrupy S. Ponieważ φ z twierdzenia 2.11 jest zawsze różnowartościowe, mówimy, że
reprezentacja jest wierna. Należy zauważyć, że gdybyśmy wzięli w twierdzeniu S zamiast S 1 ,
argument różnowartościowości nie działałby. Nietrudno podać przykład półgrupy, dla której
taka nierozszerzona reprezentacja nie jest wierna. Jest tak na przykład dla dowolnej półgrupy
zerowej S (czyli takiej, że jej działanie jest funkcją stałą) mocy większej niż 1, bo w takiej
półgrupie dla dowolnego a ∈ S przekształcenie S 3 x 7→ xa jest tym samym przekształceniem. Twierdzenie 2.11 ma dla teorii półgrup podobne znaczenie jak twierdzenie Cayleya dla
teorii grup.
2.3. Półgrupa transformacji liniowych
Jest jasne, że jeżeli V jest przestrzenią liniową dowolnego wymiaru nad dowolnym ciałem
K, to zbiór L T (V ) wszystkich endomorfizmów liniowych przestrzeni V jest półgrupą ze
względu na działanie składania. Nazywamy ją półgrupą transformacji liniowych przestrzeni
V . Okazuje się, że prawdziwe są w odniesieniu do tej półgrupy twierdzenia analogiczne do
faktów 2.4, 2.6 i 2.9 oraz twierdzenia 2.10.
Twierdzenie 2.12. Niech A, B ∈ L T (V ). Wtedy
• AL B wtedy i tylko wtedy, gdy obrazy A i B są równe;
• ARB wtedy i tylko wtedy, gdy jądra (w standardowym sensie) A i B są równe;
• idempotentami są dokładnie rzuty.
Dowód tego twierdzenia jest analogiczny do dowodów faktów 2.4, 2.6 i 2.9. Nie zostanie
on podany. Regularność L T (V ) dla przestrzeni V = Kn wykazana zostanie w inny sposób.
Następujące twierdzenie mówi nieco więcej.
Twierdzenie 2.13. Jeżeli A jest macierzą nad ciałem K wymiaru m×n, to istnieje macierz
rzeczywista X wymiaru n × m, taka że
AXA = A.
(Należy zwrócić uwagę, że mnożenie macierzy jest zapisywane w zwykłej kolejności. Konwencja przyjęta w pierwszym rozdziale dotyczyła wyłącznie przekształceń.)
Dowód. Niech A będzie macierzą nad ciałem K rozmiaru m × n i rzędu r. Znany jest fakt,
że możemy ją za pomocą operacji!elementarnych na wierszach i permutacji kolumn sprowaJr K
dzić do macierzy postaci
, gdzie Jr oznacza macierz identyczności rozmiaru r × r.
0 0
Wiadomo również, że operacje elementarne na wierszach macierzy są równoznaczne z mnożeniem macierzy z lewej strony przez pewne macierze odwracalne oraz że permutacje kolumn
macierzy są równoważne z mnożeniem tej macierzy z prawej strony przez pewną macierz
odwracalną. Stąd widać, że istnieją takie macierze odwracalne E i P , że
!
EAP =
Jr K
.
0 0
X=P
Jr 0
E
0 L
Nietrudno się przekonać, że
!
17
spełnia warunek AXA = A dla dowolnej macierzy L rozmiaru (n − r) × (m − r). Istotnie,
mamy
!
EAXAP
= EAP
Jr 0
EAP =
0 L
!
=
Jr KL
0
0
Jr K
0 0
Jr K
0 0
!
=
!
Jr K
0 0
Jr 0
0 L
!
Jr K
0 0
!
!
= EAP,
a więc, skoro E i P są odwracalne, również AXA = A.
Regularność L T (Kn ) wynika z powyższego twierdzenia natychmiast, jednak twierdzenie
okazuje się przydatne w tej postaci, w której zostało podane. Znajduje ono przede wszystkim
zastosowanie przy rozwiązywaniu równań liniowych. Jeżeli mamy do rozwiązania układ
Ax = b,
gdzie A jest macierzą rzeczywistą rozmiaru m × n oraz x ∈ Rn , i znamy macierz X, taką że
AXA = A,
możemy łatwo sprawdzić, czy układ ten ma rozwiązanie. Zauważmy, że jeżeli h ∈ Rn jest
rozwiązaniem, to
AXb = AXAh = Ah,
a więc Xb również musi być rozwiązaniem. Aby sprawdzić, czy układ jest sprzeczny, czy
nie, wystarczy więc wyliczyć Xb i podstawić za x. Okazuje się również, że jeżeli układ jest
niesprzeczny, to ogólne rozwiązanie wyraża się wzorem
x = Xb + (I − XA)y,
gdzie y jest dowolne. ([1], str. 2)
Jest jasne, że dowód faktu 1.9 działa również w przypadku macierzy prostokątnych, a więc
możemy uogólnić pojęcie elementu odwrotnego zdefiniowanego w 1.8 i powiedzieć, że każda
prostokątna macierz rzeczywista posiada macierz odwrotną w tym nowym sensie. Jest to tylko
jeden bardzo wielu rodzajów uogólnionych odwrotności dla macierzy, z których prawdopodobnie najważniejszymi są tzw. odwrotności Moore’a–Penrose’a. Dla danej macierzy zespolonej
A jej odwrotnością Moore’a–Penrose’a nazywamy macierz X, która spełnia następujące równania:
AXA = A,
(2.1)
XAX = X,
(2.2)
(AX)∗ = AX
(2.3)
(XA)∗ = XA,
(2.4)
oraz
gdzie ∗ oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy. Jeżeli macierz X spełnia równania (2.i),
(2.j),..., (2.k) spośród równań (2.1), (2.2), (2.3) i (2.4), nazywamy ją {i, j,..., k}–odwrotnością
macierzy A. Odwrotność w sensie definicji 1.8 jest więc tym samym co {1, 2}–odwrotność.
Więcej o uogólnionych odwrotnościach macierzy rzeczywistych i zespolonych oraz ich
licznych zastosowaniach można znaleźć w [1].
18
2.4. Lemat Lallementa
W tej sekcji wykazany zostanie ważny lemat dotyczący półgrup regularnych, który wykorzystany zostanie w następnym rozdziale. Został on udowodniony w 1966 roku przez Gérarda
Lallementa, skąd jego nazwa.
Twierdzenie 2.14. Niech S będzie półgrupą regularną i niech ρ będzie kongruencją na S.
Jeżeli pewna klasa abstrakcji należąca do półgrupy S/ρ jest idempotentem, to zawiera ona
idempotent półgrupy S.
Dowód. Niech [a]ρ ∈ S/ρ będzie idempotentem. Wtedy
[a]ρ = [a]ρ [a]ρ = [a2 ]ρ ,
czyli a ρ a2 . S jest regularna, więc istnieje element x taki, że
a2 xa2 = a2 ,
xa2 x = x.
Pokażemy, że e = axa jest szukanym idempotentem. Mamy
e2 = axa2 xa = axa = e
oraz skoro ρ jest kongruencją i a ρ a2 , to
(axa) ρ (a2 xa2 ),
a więc e ρ a2 , czyli e ρ a.
Angielski przymiotnik określający półgrupę spełniającą lemat Lallementa to idempotentconsistent (albo idempotent-surjective). Warto zauważyć, że klasa takich półgrup jest znacznie szersza niż klasa półgrup regularnych. W szczególności, łatwo jest uogólnić powyższy dowód na półgrupy, których każdy element ma tę własność, że pewna jego potęga jest regularna.
Półgrupy takie nazywamy er-półgrupami. (Pojęcie zostało wprowadzone przez P. M. Edwardsa. er jest skrótem od angielskiego terminu eventually regular ). Oczywiście każda er-półgrupa
jest regularna, ale odwrotne twierdzenie nie zachodzi. Istotnie, jeżeli weźmiemy
(
S=
to zachodzi
!n
1 2 3
2 3 3
)
⊂ T3 ,
| n ∈ Z+

!
 1 2 3
1 2
S=
,
 2 3 3
2 3
!2 
3 
3

!2
!
1 2 3
1 2 3
i łatwo jest zobaczyć, że
nie jest elementem regularnym, ale
jest.
2 3 3
2 3 3
Zatem S jest er-półgrupą, ale nie jest regularna. Ogólnie, każda półgrupa o tej własności,
że pewna potęga dowolnego jej elementu należy do pewnej jej podgrupy, jest w oczywisty
sposób er-półgrupą. Półgrupy tego typu nazywają się po angielsku group-bound. Półgrupa
S jest prostym przykładem takiej półgrupy, która jest group-bound, ale nie jest regularna.
Okazuje się, że każda półgrupa skończona jest group-bound, a więc również er-półgrupą, skąd
z kolei wynika, że zachodzi dla niej teza lematu Lallementa. Wynika to z następującego faktu.
19
Fakt 2.15. Niech S będzie półgrupą skończoną. Wtedy każdy element a ∈ S posiada idempotentną potęgę.
Dowód. Niech
hai = {a, a2 , a3 , ...}.
hai jest półgrupą nazywaną półgrupą monogeniczną (lub cykliczną) generowaną przez a. Jest
ona w tym przypadku zbiorem skończonym, więc istnieją x, y ∈ N \ {0}, x < y, takie że
ax = ay ,
Oznaczmy
z := y − x.
Mamy
ax+z = ax ,
a więc również
ax = ax+qz .
dla każdego q ∈ N. Niech teraz k ∈ {0, 1, ..., z − 1} będzie taką liczbą, że
x + k = lz
dla pewnego l ∈ N \ {0}. Zachodzi
ax+k ax+k = ax+k+lz = ax+k .
Zatem ax+k jest idempotentem.
Ponieważ dla dowolnego e ∈ E(S) zbiór {e} jest w oczywisty sposób podgrupą S, to fakt
2.15 natychmiast implikuje, że każda półgrupa skończona jest group-bound.
Więcej na temat uogólnień lematu Lallementa można znaleźć np. w [3] i [5].
2.5. Półgrupy całkowicie 0-proste
Znając wyniki z teorii pierścieni, można się spodziewać, że ideały półgrup powinny zadawać
kongruencje. Tak rzeczywiście jest. Jeżeli I jest ideałem półgrupy S, to relacja
{(x, y) ∈ S × S | x = y ∨ (x, y) ∈ I × I}
jest kongruencją zwaną kongruencją Reesa odpowiadającą ideałowi I. Jednak, w przeciwieństwie do kongruencji na pierścieniach, nie wszystkie kongruencje na półgrupach zadawane są
w przez ideały. Sprawia to między innymi, że przeniesienie definicji pierścienia prostego na
grunt teorii półgrup staje się problematyczne. Półgrupę prostą definiuje się jako półgrupę,
która nie ma właściwych ideałów. Ponieważ półgrupy z zerem mocy większej niż 1 zawsze
zawierają ideał właściwy, mianowicie {0}, to definiuje się również półgrupę 0-prostą jako półgrupę, która nie ma ideałów właściwych różnych od {0}, oraz której działanie nie jest funkcją
stałą. Z tego, co do tej pory powiedzieliśmy, wynika, że półgrupy proste, w przeciwieństwie
do pierścieni prostych, wciąż mogą zawierać kongruencje. Pewnym odpowiednikiem pierścieni
prostych są półgrupy całkowicie proste i całkowicie 0-proste.
Definicja 2.16. Dla dowolnej półgrupy S definiujemy relację ¬ na E(S) w następujący
sposób.
(∀e, f ∈ E(S)) e ¬ f ⇐⇒ ef = f e = e
20
Dowodzi się (np. [2], str. 24), że relacja ¬ jest częściowym porządkiem.
Definicja 2.17. Półgrupę S nazywamy całkowicie (0-)prostą, jeżeli S jest (0-)prosta i zbiór
E(S) \ {0} zawiera element minimalny w sensie porządku ¬.
Z faktu 2.15 wynika, że każda półgrupa skończona zawiera idempotent. Ze skończoności
wynika, że musi istnieć w niej idempotent minimalny, a więc każda skończona półgrupa
(0-)prosta jest całkowicie (0-)prosta.
Jednym z najważniejszych twierdzeń w teorii półgrup jest tak zwane twierdzenie Reesa,
które opisuje strukturę półgrup całkowicie 0-prostych. Do jego sformułowania potrzebne będą dwie definicje. Po pierwsze, zdefiniujemy półgrupę z zerem dołączonym w razie potrzeby
analogicznie do półgrupy z jedynką dołączoną w razie potrzeby.
Definicja 2.18.
(
0
S :=
S,
S ∪ {0}, gdzie 0 6∈ S,
gdy S zawiera zero,
w przeciwnym wypadku
Dla a, b ∈ S 0 oznaczymy
(
ab :=
ab,
0,
gdy a, b ∈ S,
gdy a = 0 lub b = 0.
Sprawdzenie, że S 0 jest półgrupą nie sprawia kłopotów.
Po drugie, trzeba zdefiniować półgrupę macierzy Reesa nad grupą z dołączonym zerem.
Definicja 2.19. Niech G będzie grupą. Wtedy G0 jest półgrupą z zerem. Niech jeszcze I, Λ
będą zbiorami niepustymi. I × Λ–macierzą I × Λ nad G0 nazywamy dowolne przekształcenie
P z I × Λ w G0 .
Oznaczenie. I × Λ–macierze nad G0 będziemy oznaczać wielkimi literami alfabetu łacińskiego. Jeżeli P jest I × Λ–macierzą nad G0 , to oznaczamy
piλ := (i, λ)P
dla każdej pary (i, λ) ∈ I × Λ.
Definicja 2.20. Dla G, I, Λ z definicji 2.19, I × Λ–macierzą Reesa nad G0 nazywamy dowolną I × Λ–macierz A nad G0 , taką że dla najwyżej jednej pary (i, λ) ∈ I × Λ zachodzi
aiλ 6= 0.
Oznaczenie. Jeżeli A jest I × Λ–macierzą Reesa nad G0 , taką że aiλ = a 6= 0, to oznaczamy
(a)iλ := A.
Jeżeli A jest macierzą Reesa niezawierającą niezerowego elementu, to oznaczamy
0 := A.
Macierze Reesa należy sobie wyobrażać jako (być może nieskończone) macierze, których
wiersze indeksowane są elementami zbioru I, a kolumny elementami zbioru Λ, i które wypełnione są elementami półgrupy G0 , z których najwyżej jeden jest niezerowy.
Dzięki temu, że I ×Λ–macierz Reesa nad G0 ma najwyżej jeden element niezerowy, można
ją mnożyć „w zwykłym sensie” przez dowolną I × Λ–macierz nad G0 , gdzie za mnożenie
21
elementów macierzy przyjmujemy mnożenie w G0 i dodawanie 0 do elementu G0 definiujemy
jako identyczność. Na zbiorze wszystkich I × Λ–macierzy Reesa nad G0 definiujemy działanie
w następujący sposób
A B := AP B,
gdzie P jest dowolną ustaloną I × Λ–macierzą nad G0 , A, B są I × Λ–macierzami Reesa
nad G0 , i gdzie AP B jest iloczynem macierzy „w zwykłym sensie”. Dokładniej, dla macierzy
Reesa (a)iλ i (b)jµ definiujemy wzorem
(a)iλ (b)jµ := (apλj b)iµ .
Zbiór wszystkich I × Λ–macierzy Reesa nad G0 z działaniem jest półgrupą (dowód np.
w [2] na str. 88). Oznaczamy ją symbolem M 0 (G; I, Λ; P ). Macierz P nazywamy macierzą
kanapkową.
Twierdzenie Reesa mówi, co następuje.
Twierdzenie 2.21. Półgrupa jest całkowicie 0-prosta wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorficzna z pewną półgrupą macierzy Reesa nad pewną grupą z dołączonym zerem o macierzy
kanapkowej, której każdy wiersz i każda kolumna zawiera element niezerowy.
Dowód tego twierdzenia można znaleźć np. w [2] na str. 94.
Następujące twierdzenie usprawiedliwia umieszczenie sekcji o półgrupach (0-)prostych w
tym rozdziale.
Twierdzenie 2.22. Każda półgrupa całkowicie 0-prosta S jest regularna.
Dowód. Na mocy twierdzenia Reesa, S jest izomorficzna z pewną półgrupą macierzy Reesa
M 0 (G; I, Λ; P ) o macierzy kanapkowej, której każdy wiersz i każda kolumna zawiera element
niezerowy. Pokażemy, że półgrupa M 0 (G; I, Λ; P ) jest regularna, co natychmiast da nam
regularność S.
Niech (a)iλ ∈ M 0 (G; I, Λ; P ). Skoro każdy wiersz i każda kolumna P zawiera element
niezerowy, to dla pewnego j ∈ I zachodzi
pλj 6= 0
oraz dla pewnego µ ∈ Λ zachodzi
pµi 6= 0.
Weźmy
b = (pλj )−1 a−1 (pµi )−1 ,
gdzie
−1
oznacza branie odwrotności w grupie G. Zachodzi
(a)iλ (b)jµ (a)iλ = (apλj bpµi a)iλ = (aa−1 a)iλ = (a)iλ .
Zatem M 0 (G; I, Λ; P ) jest półgrupą regularną.
Jeżeli S jest półgrupą całkowicie prostą, to S 0 jest półgrupą całkowicie 0-prostą, a więc
regularną. Stąd każdy element S posiada odwrotność w S 0 , jednak jeżeli 0 6= x ∈ S, to
x0x = 0 6= x, a więc odwrotność elementu niezerowego S nie może być zerem. Widać stąd,
że każda półgrupa całkowicie prosta jest regularna.
22
2.6. Inne przykłady
2.6.1
Pasy
Półgrupę, której każdy element jest idempotentem, nazywamy pasem (po angielsku band ).
Ponieważ idempotenty są zawsze elementami regularnymi, to każdy pas jest półgrupą regularną. W szczególności, półkraty, gdy patrzeć na nie jak na struktury algebraiczne, są dokładnie
pasami przemiennymi, a więc są regularne. W rzeczywistości, z twierdzenia 3.2 w następnym
rozdziale wynika, że półkraty są półgrupami inwersyjnymi.
2.6.2
Półgrupa transformacji częściowych
Półgrupa transformacji częściowych zbioru, która zostanie zdefiniowana w tej podsekcji, jest
półgrupą regularną, jednak dowód tego faktu nie zostanie przedstawiony. Wprowadzamy ją
dla porządku i skorzystamy z okazji, żeby podać definicje i oznaczenia, które będą użyteczne
w następnym rozdziale.
Przypomnimy definicję funkcji częściowej.
Definicja 2.23. Funkcją częściową ze zbioru X w zbiór Y nazywamy dowolną funkcję φ : A →
Y , gdzie A ⊆ X. Oznaczamy:
dom(φ) := A,
ran(φ) := Aφ.
Należy zauważyć, że nie wykluczamy przypadku A = ∅.
Okazuje się, że podobnie jak funkcje zbioru w siebie, funkcje częściowe zbioru w siebie
tworzą półgrupę zdefiniowaną w następujący sposób.
Oznaczenie. Dla dowolnego zbioru X symbolem PT (X) oznaczamy zbiór wszystkich funkcji
częściowych zbioru X w siebie.
Definicja 2.24. Dla dowolnych α, β ∈ PT (X) definiujemy ich złożenie jako funkcję częściową αβ zbioru X w siebie, taką że
dom αβ = (ran(α) ∩ dom(β))α−1 ,
gdzie przez Xα−1 rozumiemy przeciwobraz X przy przekształceniu α, oraz, dla każdego x ∈
dom(αβ), x(αβ) = (xα)β.
Fakt 2.25. Dla α, β ∈ PT (X) zachodzi ran(αβ) = (ran(α) ∩ dom(β))β.
Fakt 2.26. Działanie składania funkcji częściowych z PT (X) jest łączne.
Dowód. Niech α, β, γ ∈ PT (X). Mamy
dom((αβ)γ) = (ran(αβ) ∩ dom(γ))(αβ)−1
(2.5)
= ((ran(α) ∩ dom(β))β ∩ dom(γ))β
= (ran(α) ∩ dom(β))α
= dom(α) ∩ dom(β)α
−1
−1
∩ (dom(γ))β
= (ran(α) ∩ (ran(β) ∩ dom(γ))β
= dom(α(βγ)).
23
α
∩ (dom(γ))β
= dom(α) ∩ (ran(β) ∩ dom(γ))β
= (ran(α) ∩ dom(βγ))α
−1 −1
−1
−1 −1
−1 −1
−1
α
)α
α
−1 −1
−1
α
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
Pozostała część dowodu wynika natychmiast ze znanego faktu o łączności składania funkcji.
Definicja 2.27. Dla dowolnego zbioru X zbiór PT (X) z działaniem składania nazywamy
półgrupą transformacji częściowych zbioru X.
24
Rozdział 3
Półgrupy inwersyjne
Półgrupy inwersyjne zostały wprowadzone niezależnie przez W. W. Wagnera (który nazywał
je uogólnionymi grupami ) i G. B. Prestona w pierwszej połowie lat 50. XX wieku. Pojawiają
się one przede wszystkim przy badaniu częściowych symetrii różnych obiektów geometrycznych. Okazuje się, że przy badaniu niektórych z nich zwykłe pojęcie symetrii jest niewystarczające. Przykładem może być doskonale znany trójkąt Sierpińskiego. Symetrii trójkąta
Sierpińskiego jest tyle samo, co symetrii trójkąta, a więc 3! = 6. Jednak rzut oka na jego strukturę wystarcza, by zrozumieć, że badanie tylko tych symetrii nie jest wystarczające.
Aby dobrze zbadać strukturę trójkąta Sierpińskiego, należy zająć się symetriami częściowymi,
to znaczy takimi, które przekształcają tylko część jego punktów, a „zapominają” o reszcie.
Takich symetrii jest w trójkącie Sierpińskiego nieskończenie wiele.
Tak jak symetrie odpowiadają różnowartościowym transformacjom zbioru, tak symetrie
częściowe odpowiadają częściowym transformacjom zbioru, które są różnowartościowe. Zbiór
takich transformacji częściowych okazuje się być półgrupą inwersyjną. Takie półgrupy odgrywają w teorii półgrup inwersyjnych rolę podobną do tej, którą pełnią grupy permutacji w
teorii grup na mocy twierdzenia Cayleya. Rzeczywiście, przedstawione zostanie w tym rozdziale uogólnienie twierdzenia Cayleya na klasę półgrup inwersyjnych, zwane twierdzeniem
Wagnera–Prestona.
Podane zostanie też twierdzenie charakteryzujące półgrupy inwersyjne w podobny sposób,
jak twierdzenie 2.2 charakteryzuje półgrupy regularne, oraz kilka bardzo prostych faktów
uwidoczniających analogie z teorią grup.
Dwie pierwsze sekcje niniejszego rozdziału są w znacznym stopniu oparte na [6]. Tam
też można znaleźć obszerniejszy wstęp do teorii półgrup inwersyjnych. Dwie ostatnie sekcje są poświęcone innym ważnym przykładom półgrup inwersyjnych, mianowicie półgrupie
bicyklicznej i półgrupom Brandta. Sekcja o półgrupach Brandta jest oparta na [2].
3.1. Podstawowe fakty
Lemat 3.1. Jeżeli S jest półgrupą inwersyjną oraz e, f ∈ E(S), to również ef ∈ E(S).
Dowód. Zachodzi
(
ef (ef )−1 ef = ef
(ef )−1 ef (ef )−1 = (ef )−1
Zatem mamy
(f (ef )−1 e)(f (ef )−1 e) = f ((ef )−1 (ef )(ef )−1 )e = f (ef )−1 e,
25
a więc f (ef )−1 e ∈ E(S). Stąd wynika natychmiast, że f (ef )−1 e = (f (ef )−1 e)−1 . Jednak
zachodzi również
(ef )(f (ef )−1 e)(ef ) = ef (ef )−1 ef = ef
oraz
(f (ef )−1 e)(ef )(f (ef )−1 e) = f (ef )−1 (ef )(ef )−1 e = f (ef )−1 e,
skąd wynika że ef jest elementem odwrotnym do f (ef )−1 e, a więc z jedyności elementu
odwrotnego,
ef = f (ef )−1 e ∈ E(S).
Lemat 3.1 nie daje się uogólnić na wszystkie półgrupy, skąd na mocy twierdzenia 2.11
wynika, że nie daje się ono uogólnić na półgrupy regularne. Jest kwestią krótkiego rachunku
sprawdzenie, że relacje R i S z przykładu 1.20 są idempotentami półgrupy B = B({1, 2, 3})
wszystkich relacji binarnych na zbiorze {1, 2, 3} z działaniem składania, ale R ◦ S już nie. Istnieje różnowartościowy homomorfizm φ półgrupy B w półgrupę regularną T (B). Jest jasne,
że skoro φ jest homomorfizmem, to Rφ i Sφ są idempotentami, a skoro φ jest homomorfizmem
różnowartościowym, to (Rφ)(Sφ) = (R ◦ S)φ nie jest idempotentem.
Twierdzenie 3.2. Niech S będzie półgrupą. Następujące warunki są równoważne.
1. S jest inwersyjna,
2. S jest regularna i idempotenty S są przemienne,
3. W S każda L -klasa i każda R-klasa zawiera dokładnie jeden idempotent.
Dowód. 1. =⇒ 2. Niech S będzie inwersyjna. Regularność S jest natychmiastowa. Weźmy
e, f ∈ E(S). Z poprzedniego lematu wiemy, że również ef jest idempotentem, czyli (ef )−1 =
ef . Ale też (ef )(f e)(ef ) = ef oraz (f e)(ef )(f e) = f e, czyli (ef )−1 = f e. Zatem z jedyności
elementów odwrotnych ef = f e.
2. =⇒ 3. Załóżmy, że S jest regularna o przemiennych idempotentach. Z twierdzenia 2.2
wiemy, że w każdej R-klasie i w każdej L -klasie istnieją idempotenty. Pozostaje pokazać ich
jedyność. Załóżmy, że e, f ∈ E(S) oraz eL f . Wtedy istnieją x, y ∈ S, takie że e = xf oraz
f = ye. Stąd ef = (xf )f = xf = e oraz f e = (ye)e = ye = f . Ale z założenia ef = f e,
skąd e = f . Analogicznie dowodzimy, że w każdej R-klasie S znajduje się dokładnie jeden
idempotent.
3. =⇒ 1. Załóżmy, że w każdej L -klasie i w każdej R-klasie półgrupy S znajduje się dokładnie jeden idempotent. Z twierdzenia 2.2 wynika, że półgrupa ta jest regularna. Z faktu 1.9
wynika wobec tego istnienie odwrotności dowolnego elementu S. Pozostaje wykazać jedyność.
Niech a ∈ S oraz niech a0 , a00 ∈ S będą odwrotnościami a. Mamy (a0 a)2 = (a0 aa0 )a = a0 a,
Czyli a0 a ∈ E(S). Analogicznie a00 a ∈ E(S). Natychmiast widać, że a0 a ∈ Sa i a00 a ∈ Sa. Ale
też a = a(a0 a) ∈ S(a0 a) i a ∈ S(a00 a). Zatem (a0 a)L aL (a00 a), a więc z założenia a0 a = a00 a.
Analogicznie dowodzimy aa0 = aa00 i mamy
a0 = a0 aa0 = a00 aa0 = a00 aa00 = a00
Możemy teraz scharakteryzować relacje L i R w półgrupie inwersyjnej.
26
Fakt 3.3. Niech a i b będą elementami półgrupy inwersyjnej S. Wtedy zachodzą równoważności
• aL b ⇐⇒ a−1 a = b−1 b,
• aRb ⇐⇒ aa−1 = bb−1 .
Dowód. Udowodnimy pierwszą równoważność (dowód drugiej jest analogiczny). W dowodzie
twierdzenia 3.2 zauważyliśmy, że dla każdego elementu x ∈ S element x−1 x jest idempotentem
i xL x−1 x. Z tego samego twierdzenia wynika, że istnieje dokładnie jeden idempotent w Lx .
Stąd natychmist wynika teza.
Twierdzenie 3.4. Obraz homomorficzny półgrupy inwersyjnej jest półgrupą inwersyjną.
Dowód. Niech S będzie półgrupą inwersyjną, T niech będzie półgrupą oraz φ : S → T będzie
homomorfizmem. To, że Sφ jest półgrupą regularną, jest oczywiste. Na mocy twierdzenia 3.2,
pozostaje wykazać, że idempotenty Sφ są przemienne. Na mocy twierdzenia 1.5, ker φ jest
kongruencją, więc twierdzenie 2.14 mówi nam, że dla każdego idempotentu e w Sφ istnieje
idempotent e0 w S, taki że e0 φ = e. Niech więc e, f ∈ Sφ. Istnieją e0 , f 0 ∈ S, takie że
ef = (e0 φ)(f 0 φ) = (e0 f 0 )φ = (f 0 e0 )φ = (f 0 φ)(e0 φ) = f e
Na koniec wypiszemy kilka prostych własności półgrup inwersyjnych, które pozwolą zobaczyć, jak wiele mają one wspólnego z grupami.
Fakt 3.5. Niech S będzie półgrupą inwersyjną. Niech s, s1 , s2 ∈ S oraz e ∈ E(S).
1. Jeżeli s ∈ S, to s−1 s, ss−1 ∈ E(S).
2. (s−1 )−1 = s.
3. e−1 = e.
−1
4. (s1 s2 )−1 = s−1
2 s1 .
Dowód. Tylko ostatni punkt wymaga sprawdzenia. Mamy
−1
−1
−1
−1
−1
(s1 s2 )(s−1
2 s1 )(s1 s2 ) = s1 (s2 s2 )(s1 s1 )s2 = s1 (s1 s1 )(s2 s2 )s2 = s1 s2
oraz analogicznie
−1
−1 −1
−1 −1
(s−1
2 s1 )(s1 s2 )(s2 s1 ) = s2 s1 .
3.2. Twierdzenie Wagnera–Prestona
W tej sekcji podane zostanie uogólnienie twierdzenia Cayleya na klasę półgrup inwersyjnych,
to znaczy twierdzenie o reprezentacji półgrup inwersyjnych pewnymi przekształceniami, która
w przypadku grup redukuje się do reprezentacji Cayleya.
Definicja 3.6. Bijekcją częściową zbioru X nazywamy dowolną transformację częściową
zbioru X, która jest bijekcją.
27
Oznaczenie. Dla dowolnego zbioru X symbolem I (X) oznaczamy zbiór wszystkich bijekcji
częściowych zbioru X.
Twierdzenie 3.7. Dla dowolnego zbioru X zbiór I (X) jest podpółgrupą inwersyjną półgrupy
PT (X) ze względu na działanie składania. Dla dowolnego α ∈ I (X) jedyną odwrotnością α
w sensie definicji 1.8 jest funkcja α−1 odwrotna do α w sensie teoriomnogościowym. Zachodzi
wzór
E(I (X)) = {idA | A ⊆ X} .
Dowód. Niech α, β ∈ I (X). Jest jasne, że αβ jest bijekcją na swojej dziedzinie, czyli I (X)
jest podpółgrupą PT (X).
Niech teraz α−1 oznacza funkcję odwrotną do α w teoriomnogościowym sensie. Pokażemy,
że α−1 jest elementem odwrotnym do α w sensie definicji 1.8. Zachodzi
dom((αα−1 )α) = (ran(αα−1 ) ∩ dom(α))(αα−1 )−1
= ((ran(α) ∩ dom(α−1 ))α−1 ∩ dom(α))αα−1
= dom(α)
oraz
dom((α−1 α)α−1 ) = (ran(α−1 α) ∩ dom(α−1 ))(α−1 α)−1
= ((ran(α−1 ) ∩ dom(α))α ∩ dom(α−1 ))α−1 α
= dom(α−1 )
Pozostaje tylko stwierdzić, że dla każdego x ∈ dom α zachodzi xα = xαα−1 α, oraz że dla
każgeo x ∈ dom(α−1 ) zachodzi xα−1 = xα−1 αα−1 , co jest oczywiste, skoro α i α−1 są
bijekcjami.
Zatem dla każdego α ∈ I (X) możemy pisać α−1 bez niejednoznaczności. Widzimy więc,
że I (X) jest półgrupą regularną. Inwersyjność najprościej jest pokazać, stwierdzając przemienność idempotentów.
Sprawdzenie, że idA idA = idA dla dowolnego A ⊆ X, jest natychmiastowe. Zauważmy
teraz, że jeżeli α2 = α dla α ∈ I (X), to dla x ∈ dom(α) zachodzi
xα = (xα)α,
a więc, po przyłożeniu α−1 do obu stron,
x = xα.
Zatem rzeczywiście E(I (X)) = {idA | A ⊆ X}. Stwierdzenie, że idA idB = idB idA dla dowolnych A, B ⊆ X nie sprawia kłopotów.
Potrzebny nam będzie następujący lemat.
Lemat 3.8. Niech S będzie półgrupą inwersyjną i e, f ∈ E(S). Wtedy Se ∩ Sf = Sef .
Dowód. Zawieranie Se∩Sf ⊆ Sef natychmiast wynika z ef = f e. Weźmy xef ∈ Sef . Wtedy
oczywiście xef ∈ Sf , a skoro ef = f e, to również xef = xf e ∈ Se.
Zapowiadane twierdzenie Wagnera–Prestona mówi, co następuje.
28
Twierdzenie 3.9. Niech S będzie półgrupą inwersyjną. Istnieje różnowartościowy homomorfizm φ : S → I (S).
Dowód. Dla dowolnego a ∈ S zdefiniujemy φa ∈ I (S) w następujący sposób.
φa : Saa−1 → Sa−1 a
(∀x ∈ S) xφa = xa
Pokażemy, że istotnie obraz takiego przekształcenia zawiera się w Sa−1 a oraz, że rzeczywiście
φa ∈ I (S) dla każdego a ∈ S.
Niech s ∈ S. Zachodzi
saa−1 φa = saa−1 a ∈ Sa−1 a.
Zatem Saa−1 φa ⊆ Sa−1 a. Mamy też
sa−1 a = sa−1 aa−1 a = (sa−1 aa−1 )φa ,
dla sa−1 aa−1 ∈ Saa−1 . Stąd φa jest na zbiór Sa−1 a. Aby pokazać różnowartościowość, weźmy
s, s0 ∈ S i załóżmy, że
saa−1 φa = s0 aa−1 φa .
Mamy wtedy saa−1 a = s0 aa−1 a, skąd sa = s0 a, czyli
saa−1 = s0 aa−1 .
Mamy więc różnowartościowość φa , co kończy dowód faktu, że φa ∈ I (S) dla każdego a ∈ S.
Możemy teraz zdefiniować φ : S → I (S) zadane wzorem
(∀a ∈ S) aφ = φa .
Pokażemy, że φ jest przekształceniem różnowartościowym. Weźmy a, b ∈ S i załóżmy, że
aφ = bφ.
Wtedy w szczególności Saa−1 = Sbb−1 , czyli aa−1 L bb−1 , a skoro zarówno aa−1 , jak i bb−1
są idempotentami, to musi być
aa−1 = bb−1
na mocy twierdzenia 3.2. Mamy też aa−1 ∈ Saa−1 oraz bb−1 ∈ Sbb−1 , czyli
a = aa−1 a = aa−1 φa = aa−1 φb = bb−1 φb = bb−1 b = b.
Mamy więc różnowartościowość φ. Pozostaje udowodnić, że φ jest homomorfizmem. W tym
celu pokażemy najpierw, że dla każdego a ∈ S zachodzi
φa−1 = φ−1
a .
Dziedziny są oczywiście obie równe Sa−1 a i dla każdego s ∈ S mamy
saa−1 φa φa−1 = saa−1 aa−1 = saa−1 ,
czyli φa φa−1 = idSaa−1 , skąd już wynika φa−1 = φ−1
a .
Weźmy teraz a, b ∈ S. Pokażemy, że
φa φb = φab
29
Na mocy lematu 3.8, zachodzi
−1
−1 −1
dom(φa φb ) = (Sa−1 a ∩ Sbb−1 )φ−1
a = Sa abb a .
Zachodzi też
dom(φab ) = Sbb−1 a−1
i mamy
dom(φa φb ) ⊆ dom(φab )
oraz
dom(φab ) = Sabb−1 a−1 = Saa−1 abb−1 a−1 ⊆ dom(φa φb ),
skąd mamy równość
dom(φa φb ) = dom(φab ).
Stwierdzenie, że dla każdego x z powyższego zbioru zachodzi
xφa φb = xab = xφab ,
kończy dowód.
Należy zauważyć, że jeżeli S jest grupą, to dla każdego a ∈ S zachodzi Saa−1 = S, a więc
reprezantacja Wagnera–Prestona jest po prostu reprezentacją Cayleya.
3.3. Półgrupa bicykliczna
Jedną z ważniejszych półgrup inwersyjnych jest półgrupa bicykliczna. Można ją zdefiniować
na kilka sposobów, z których w tej pracy przedstawiony zostanie jeden.
Definicja 3.10. Półgrupą bicykliczną nazywamy zbiór N × N z działaniem z definiowanym
dla każdych (a, b), (c, d) ∈ N × N w następujący sposób.
(a, b)(c, d) = (a − b + max(b, c), d − c + max(b, c))
Półgrupę tę oznaczamy symbolem BC .
Nietrudno sprawdzić łączność tego działania. Udowodnimy teraz, że półgrupa ta jest
inwersyjna, wskazując najpierw odwrotności elementów półgrupy BC , a następnie pokazując,
że jej idempotenty komutują.
Fakt 3.11. Jeżeli (a, b) ∈ BC , to (b, a) jest elementem odwrotnym do (a, b).
Dowód.
(a, b)(b, a)(a, b) = (a − b + max(b, b), a − b + max(b, b))(a, b)
= (a, a)(a, b)
= (a − a + max(a, a), b − a + max(a, a))
= (a, b).
Przez symetrię otrzymujemy
(b, a)(a, b)(b, a) = (b, a).
30
Fakt 3.12. E(BC ) = {(a, a) | a ∈ N}.
Dowód. Weźmy najpierw a ∈ N. Równość
(a, a)2 = (a, a)
jest natychmiastowa. Niech teraz (a, b) ∈ BC oraz
(a, b)2 = (a, b).
Stąd
(
a − b + max(a, b) = a
b − a + max(a, b) = b
Zatem
a = max(a, b) = b.
Twierdzenie 3.13. BC jest półgrupą inwersyjną.
Dowód. Pozostało tylko pokazać, że idempotenty BC komutują. Weźmy a, b ∈ N. Zachodzi
(a, a)(b, b) = (max(a, b), max(a, b)) = (b, b)(a, a).
Z powyższego wynika też jasno, że
E(BC ) ∼
= (N, max).
Zidentyfikujemy teraz ideały główne lewo- i prawostronne w BC .
Fakt 3.14. Jednostronne ideały główne BC charakteryzuje się następująco.
• Lewostronne ideały główne BC to dokładnie zbiory postaci
Ln = {(i, j) ∈ BC | j ­ n}
dla n = 0, 1, 2, ....
• Prawostronne ideały główne BC to dokładnie zbiory postaci
Rm = {(i, j) ∈ BC | i ­ m}
dla m = 0, 1, 2, ....
Dowód. Udowodnimy tylko pierwszy punkt. Dowód drugiego jest analogiczny. Weźmy najpierw lewostronny ideał główny generowany przez element (m, n), czyli zbiór
{(k, l)(m, n) | k, l = 0, 1, 2, ...} = {(k − l + max(l, m), n − m + max(l, m)) | k, l = 0, 1, 2, ...}.
Ponieważ
n − m + max(l, m) ­ n,
31
to widzimy, że w lewostronnym ideale głównym generowanym przez (m, n) druga współrzędna
każdego elementu musi być ­ n. Weźmy teraz parę (i, j) ∈ BC , taką że j ­ n. Przymijmy
k := i
oraz
l := j − n + m.
Otrzymujemy
(k, l)(m, n) = (i, j − n + m)(m, n)
= (i − j + n − m + max(j − n + m, m), n − m + (j − n + m, m)) = (i, j),
a więc każda para (i, j) o drugiej współrzędnej ­ n należy do lewostronnego ideału generowanego przez (m, n), co kończy dowód pierwszego punktu.
Z dowodu faktu 3.14 widzimy, że pary (a, b) i (c, d) generują ten sam lewostronny ideał
główny wtedy i tylko wtedy, gdy b = d. Analogicznie, generują one ten sam prawostronny
ideał główny wtedy i tylko wtedy, gdy a = c. Zatem
Fakt 3.15. Dla (a, b), (c, d) ∈ BC zachodzą równoważności
• (a, b)L (c, d) ⇐⇒ b = d,
• (a, b)R(c, d) ⇐⇒ a = c.
Zauważmy teraz, że dla dowolnych par (a, b), (c, d) ∈ BC zachodzi
(a, b)L (c, b) oraz (c, b)R(c, d),
skąd na mocy faktu 1.21 wynika
Fakt 3.16. W półgrupie BC zachodzi
J = D = BC × BC .
Półgrupę S, taką że D = S × S nazywamy biprostą. Fakty 3.14, 3.15 i 3.16 dobrze jest
zilustrować następującą nieskończoną tabelą.
(0,0)
(1,0)
(2,0)
...
(0,1)
(1,1)
(2,1)
...
(0,2)
(1,2)
(2,2)
...
...
...
...
...
Tabela wyczerpuje elementy BC . Kolumny są tutaj L -klasami, a wiersze R-klasami.
Elementy na prawo od dowolnej pionowej linii tworzą lewostronny ideał główny, a elementy poniżej dowolnej linii poziomej – prawostronny ideał główny. Możemy też zauważyć, że
E(BC ) to dokładnie główna przekątna tabeli, a więc zgodnie z twierdzeniem 3.2 każda L klasa i każda R-klasa zawiera dokładnie jeden idempotent.
Przyjrzyjmy się jeszcze temu, jak działa twierdzenie Wagnera–Prestona na przykładzie
BC . Dla dowolnego (m, n) ∈ BC przekształcenie φ(m,n) przekształca BC (m, m) na BC (n, n),
czyli {(a, b) ∈ BC | b ­ m} na {(a, b) ∈ BC | b ­ n}. Dla dowolnej pary (a, b) ∈ BC , takiej
że b ­ m zachodzi
(a, b)φ(m,n) = (a, b)(m, n) = (a − b + b, n − m + b) = (a, b + n − m).
32
Widzimy więc, że φ(m,n) przesuwa każdy element ideału lewostronnego generowanego przez
(m, m) o n − m w prawo w wyżej wypisanej tabeli, nie zmieniając jego pionowej pozycji.
Definicja półgrupy bicyklicznej, którą tu przedstawiliśmy, jest tylko jedną z wielu możliwych. Drugą, równie ważną, jest definicja używająca pojęcia kongruencji generowanej przez
relację oraz pojęcia półgrupy wolnej. Ze względu na potrzebę ich wprowadzenia, które wymaga pewnej liczby dodatkowych lematów, ta definicja nie zostanie tu podana w pełnej ścisłości.
Z pojęciami generowania kongruencji przez relację binarną i półgrupy wolnej można zapoznać
się w [6].
Kongruencją generowaną przez relację binarną R na półgrupie S nazywamy najmniejszą kongruencję na S, taką że R ⊆ S. Przez półgrupę wolną nad zbiorem X (nazywanym
alfabetem) rozumiemy zbiór skończonych ciągów (nazywanych słowami ) o wyrazach z X z
działaniem konkatenacji (inaczej zwanej jukstapozycją). Ciąg pusty oznaczamy symbolem 1.
Okazuje się, że półgrupa wolna nad zbiorem dwuelementowym {p, q} podzielona przez kongruencję generowaną przez relację {(pq, 1)} jest izomorficzna z półgrupą bicykliczną. Możemy
więc rozumieć półgrupę bicykliczną jako zbiór takich słów nad {p, q}, w których pq nie występuje jako podsłowo (czyli spójny podciąg), czyli jako zbiór {pi q j | i, j ­ 0}, przy czym
mnożenie uwzględnia fakt, że pq = 1. (Pełne omównienie tej definicji znajduje się w [2], str.
43).
3.4. Półgrupy Brandta
W 1927 roku H. Brandt opisał pewne struktury algebraiczne, które dziś nazywane są grupoidami Brandta, mimo że w istocie są one tylko grupoidami częściowymi, gdyż mnożenie nie
jest w nich zdefiniowane dla wszystkich par elementów. Grupoidy Brandta są w istocie półgrupami częściowymi, ponieważ mnożenie jest w nich łączne wszędzie, gdzie jest zdefiniowane.
Okazuje się, że gdy dołączy się zero do takiej struktury i zdefiniuje się wynik mnożenia jako
zero dla wszystkich par, dla których mnożenie nie było do tej pory zdefiniowane, otrzymuje
się półgrupę, zwaną półgrupą Brandta.
Brandt zdefiniował swoje struktury za pomocą pewnej liczby aksjomatów, które jednak
nie mieszczą się w zakresie tej pracy. Dla nas ważne jest to, że półgrupy Brandta okazują
się dokładnie całkowicie 0-prostymi półgrupami inwersyjnymi i przyjmujemy to jako definicję
półgrupy Brandta. Z twierdzenia Reesa wiemy jak opisywać półgrupy całkowicie 0-proste.
Okazuje się, że półgrupy macierzy Reesa izomorficzne z półgrupami Brandta mają szczególnie
prostą postać.
Twierdzenie 3.17. Półgrupa jest półgrupą Brandta wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorficzna
z M 0 (G; I, I; P ), gdzie G jest pewną grupą, I jest zbiorem, a P jest macierzą I × I nad G0 ,
taką że pii = 1 dla każdego i ∈ I oraz pij = 0 dla i 6= j.
Dowód. Pokażemy implikację ⇐=. Weźmy półgrupę M = M 0 (G; I, I; P ) określoną jak w
twierdzeniu. Na mocy twierdzenia Reesa, M jest półgrupą całkowicie 0-prostą, a więc również
regularną na mocy twierdzenia 2.22. Z twierdzenia 3.2 wynika, że pozostaje nam do pokazania
przemienność idempotentów M .
Zauważmy teraz, że mnożenie w M jest dla a, b ∈ G0 oraz i, j, k, l ∈ I zadane wzorem
(
(a)ij (b)kl =
(ab)il ,
0,
jeżeli a 6= 0 6= b oraz j = k;
w przeciwnym wypadku.
Załóżmy, że a ∈ G. Wtedy a 6= 0, więc z powyższego widać, że aby (a)ij ∈ E(M ) dla pewnych
i, j ∈ I, musi zachodzić a = 1 oraz i = j. Sprawdzenie, że (1)ii ∈ E(M ) dla każdego i ∈ I
33
jest natychmiastowe. Ponieważ 0 ∈ E(M ), to mamy ostatecznie
E(M ) = {(1)ii | i ∈ I} ∪ {0}.
Dla i, j ∈ I zachodzi
(
(1)ii (1)jj = (1)jj (1)ii =
(1)ii = (1)jj ,
0,
jeżeli i = j;
jeżeli i =
6 j.
Mamy też
0E =E0=0
dla dowolnego E ∈ E(M ). Zatem idempotenty M są przemienne.
Naszkicujemy teraz dowód =⇒. Z twierdzenia Reesa wiemy, że wystarczy pokazać, że jeśli
półgrupa S = M 0 (G; I, Λ; Q) macierzy Reesa o macierzy kanapkowej Q, której każdy wiersz
i każda kolumna zawiera element niezerowy, jest inwersyjna, to jest izomorficzna z półgrupą
M 0 (G; I, I; P ) opisaną w treści dowodzonego twierdzenia. Pokażemy najpierw, że elementy
(g)iλ1 oraz (h)iλ2
są w relacji R dla każdych g, h ∈ G, i ∈ I oraz λ1 , λ2 ∈ Λ. Niech j ∈ I będzie takim indeksem,
że qλ1 j 6= 0. Zauważmy, że
(g)iλ1 ((gqλ1 j )−1 h)jλ2 = (gqλ1 j (gqλ1 j )−1 h)iλ2 = (h)iλ2 .
Zatem
(h)iλ2 ∈ (g)iλ1 S.
Analogicznie
(g)iλ1 ∈ (h)iλ2 S,
a więc
(g)iλ1 R (a)iλ2 .
Zauważmy teraz, że
((qλi )−1 )iλ ((qλi )−1 )iλ = ((qλi )−1 )iλ
dla dowolnej pary (i, λ) ∈ I × Λ, takiej że qλi 6= 0, a więc dla takiej pary (i, λ) element
((qλi )−1 )iλ jest idempotentem. Wiemy, że w każdej R-klasie S istnieje dokładnie jeden idempotent, zatem dla każdego i ∈ I istnieje dokładnie jedno λ ∈ Λ, takie że qλi 6= 0. Analogicznie
dowodzimy, że dla każdego λ ∈ Λ istnieje dokładnie jedno i ∈ I, takie że qλi 6= 0. Widać stąd,
że odpowiedniość ∼ pomiędzy I a Λ zadana formułą
i ∼ λ ⇐⇒ qλi 6= 0
jest bijekcją. Zatem zbiory I i Λ muszą być równoliczne. Jest jasne, że zastąpienie zbioru Λ
równolicznym zbiorem I prowadzi do półgrupy izomorficznej z S, więc możemy przyjąć bez
straty ogólności, że I = Λ.
Widać również, że istnieje taka permutacja wierszy i kolumn macierzy Q, że otrzymana macierz Q0 ma niezerowe elementy na głównej przekątnej. To, że półgrupa S 0 =
M 0 (G; I, I; Q0 ) jest izomorficzna z S, oraz że półgrupa S 00 = M 0 (G; I, I; P ) jest izomorficzna
z S 0 , wynika natychmiast z twierdzenia charakteryzującego izomorficzne półgrupy macierzy
Reesa, które można znaleźć w [2] (Corollary 3.12).
34
Łatwo zobaczyć, że jeżeli I jest zbiorem skończonym, i G jest grupą trywialną, to skończona półgrupa Brandta S = M 0 (G; I, I; P ) (jak w twierdzeniu 3.17) jest izomorficzna z
półgrupą jedynek macierzowych z dołączonym zerem:
S∼
= {eij | i, j = 1, 2, ..., n} ∪ {0}
dla n równego mocy I, gdzie eij oznacza macierz n × n, która ma jedynkę na miejscu (i, j)
oraz zera wszędzie indziej.
35
Bibliografia
[1] A. Ben-Israel, T. N. E. Greville, Generalized Inverses: Theory and Applications, 2nd ed.,
Canadian Mathematical Society, Springer-Verlag New York, 2003.
[2] A. H. Clifford, G. B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, Mathematical Surveys of the American Mathematical Society, No 7, Providence, Rhode Island,
1961.
[3] P. M. Edwards, Eventually Regular Semigroups, Bull. Austral. Math. Soc. 28, 1983, str.
23-28.
[4] J. A. Green, On the Structure of Semigroups, The Annals of Mathematics, Second Series,
Vol. 54, No. 1 (Jul., 1951), 163–172
[5] P. M. Higgins, Techniques of Semigroup Theory, Oxford Science Publications, OxfordNew York-Tokyo, 1992
[6] J. M. Howie, An Introduction to Semigroup Theory, Academic Press, 1976.
[7] J. von Neumann, On Regular Rings, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A, 71 (1936) 707.
37