Wybrane własności półgrup - Seminarium z klasycznych struktur

Wybrane własności półgrup
Arkadiusz Męcel
Seminarium magisterskie: Klasyczne struktury algebraiczne
16 października 2008r.
1
Pojęcie półgrupy. Proste przykłady.
Celem tego referatu jest przedstawienie pojęcia półgrupy na tle znanej z wykładów kursowych elementarnej teorii grup. Przypomnijmy kilka znanych definicji:
Definicja 1 (Półgrupa) Parę (S, ◦), gdzie S – zbiór, ◦ : S × S → S – działanie dwuargumentowe,
nazywamy półgrupą jeśli ◦ jest działaniem łącznym.
Definicja 2 (Monoid) Niech S będzie dowolną półgrupą. Jeżeli istnieje e ∈ S taki, że dla każdego s ∈ S
e ◦ s = s ◦ e = s, wówczas S nazywamy monoidem.
Definicja 3 (Grupa) Niech S będzie monoidem z jedynką e. Jeśli istnieje takie działanie
że dla każdego s ∈ S mamy s ◦
−1
(s) =
−1
−1
: S → S,
(s) ◦ s = e, to S nazywamy grupą.
Definicja 4 (Homomorfizm półgrup) Niech (S1 , ◦), (S2 , ⋄) będą półgrupami. Wówczas przekształcenie f : S1 → S2 takie, że dla każdych s1 , s2 ∈ S mamy: f (s1 ◦ s2 ) = f (s1 ) ⋄ f (s2 ) nazywamy homomorfizmem półgrup.
W dalszym ciągu zamiast a ◦ b, będziemy używać oznaczenia ab, zaś zamiast
−1
(s) napiszemy s−1 .
Przykład 1 Spójrzmy na kilka naturalnych przykładów półgrup:
• Grupy są półgrupami.
• Każdy (łączny) pieścień lub algebra jest półgrupą ze względu na mnożenie. Jest wciąż otwartym problemem znalezienie warunków koniecznych i wystarczających na to, by półgrupa S była izomorficzna
z półgrupą multyplikatywną pewnego pierścienia S.1
• Zbiór endomorfizmów przestrzeni liniowej V tworzy półgrupę. W szczególności macierze Mn (K)
nad dowolnym ciałem (czy nawet pierścieniem łącznym) tworzą półgrupę.
• Jedynki macierzowe z zerem.
• Dla dowolnego zbioru X zbiór przekształceń z X do X tworzy tzw. pełną półgrupę transformacji
TX zbioru X. W przypadku, gdy X jest n – elementowy, wtedy półgrupę tę oznaczamy przez Tn .
Zauważmy, że:
12345 12345
12345
=
,
25213 41442
12144
12345
41442
W ogólności dla n > 2, Tn jest półgrupą nieprzemienną.
1 Problemów
podobnej ’odwrotnej’ natury jest sporo...
12345
25213
=
12345
.
12115
Ostatni przykład ma szczególne znaczenie. Analogiem pógłrupy TX w teorii grup jest pełna grupa
permutacji zbioru X. Okazuje się, że istnieje w teorii półgrup analog twierdzenia Cayleya: każda półgrupa
jest podpółgrupą pełnej grupy transformacji pewnego zbioru. Dowód jest zresztą zupełnie analogiczny.
Pokażmy jeszcze jeden, odrobinę bardziej zaawansowany przykład występowania półgrup w algebrze:
Przykład 2 (Półgrupa klas ideałów) Niech R będzie dowolnym niezerowym pierścieniem przemiennym, zaś I(R) – zbiorem ideałów R. Powiemy, że niezerowe A, B ∈ I(R) są równoważne (ozn. A ∼ B)
jeśli istnieją takie niezerowe ideały główne I, J ∈ I(R), że AI = BJ. Jest to relacja równoważności.
Zbiór klas tej równoważności tworzy monoid ze względu na mnożenie klas indukowane z mnożenia ideałów z obustronną jedynką utworzoną przez klasę ideałów głównych.
Na półgrupę można patrzeć dwojako: z jednej strony jako na niezwykle ubogą i ogólną strukturę
algebraiczną; z drugiej zaś: jako na naturalne uogólnienie dobrze znanego (i historycznie rzecz biorąc
wcześniej uznanego za istotne dla matematyki) pojęcia grupy. Jak pokażemy, choć obydwie te intuicje
pojęcia półgrupy mają naturalne potwierdzenie we własnościach tej struktury, nie są one bynajmniej ze
sobą zgodne.
W dalszej części referatu postaramy się ukazać fundamentalne różnice strukturalne pomiędzy półgrupami i grupami. W tej chwili wskażemy jedynie kilka faktów motywujących takie postępowanie. Aby
zobaczyć jak daleko może leżeć teoria grup od teorii półgrup, wystarczy spojrzeć na następującą tabelkę:
n
Liczba grup
Liczba półgrup
1
1
1
2
1
4
3
1
18
4
2
126
5
1
1160
6
2
15973
7
1
836021
8
5
1843120128
9
2
??? > 50000000000000
Można z niej odczytać ile jest, z dokładnością do izomorfizmu, grup rzędów n, 1 ¬ n ¬ 9 oraz ile jest,
z dokładnością nie tylko do izomorfizmu, ale też do antyizomorfizmu, półgrup rzędu n. Do dziś nie wiemy
ile jest półgrup rzędu 9... Wyniki dotyczące ilości półgrup rzędu 7 i 8 pochodzą z lat 90. XX wieku.
To zestawienie pozwala przypuszczać, że uzyskiwanie jakichkolwiek ogólnych twierdzeń podobnych do
klasyfikacji skończonych grup prostych, może być w przypadku półgrup niemożliwe.
Przykład 3 (Półgrupy rzędu 4) Oto tabelki działań dla czterech możliwych (z dokładnością do izomorfizmu i antyizomorfizmu) półgrup:
◦
x
y
◦
x
y
◦
x
y
◦
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
y
y
x
x
y
y
y
y
y
y
y
y
x
Kolejne dwie naturalne różnice pomiędzy półgrupami i grupami wynikają z możliwości istnienia w
półgrupach takich elementów jak: zera, jednostronne zera, jednostronne jedynki. Dla przykładu:
Przykład 4 (Półgrupa z zerowym mnożeniem) Na dowolnym zbiorze X można określić działanie,
które dowolnym dwóm elementom x, y ∈ X przypisze jeden z góry ustalony element s ∈ X (zerowe
mnożenie). Jest to półgrupa z zerowym mnożeniem.
Można też inaczej:
Przykład 5 (Półgrupa lewostronnych zer) Bierzemy dowolny zbiór S i dla s, t ∈ S kładziemy st =
s. Dla x, y, z ∈ S mamy:
(xy)z = yz = z = yz = x(yz),
zatem zbiór ten jest półgrupą. Zauważmy, że daje to półgrupę dowolnego rzędu nie będącą grupą. Analogicznie definiujemy półgrupę prawostronnych zer. Obydwie te półgrupy są szczególnym przypadkiem następujących półgrup: niech A, B będą zbiorami niepustymi. Wówczas na produkcie A × B można określić
strukturę półgrupy przy pomocy następującego działania:
(a1 , b1 ) ◦ (a2 , b2 ) = (a1 , b2 ),
a1 , a2 ∈ A, b1 , b2 ∈ B.
W przypadku, gdy |B| = 1, mamy półgrupę izomorficzną z półgrupą lewostronnych zer. Analogicznie dla
półgrupy prawostronnych zer w przypadku, gdy |A| = 1.
Jeżeli półgrupa S nie ma zera, zawsze można je sztucznie dodać. Definiujemy: S 0 = S ∪ {θ}, gdzie
dla każdego s ∈ S mamy sθ = θs = θ. Podobnie można uzupełnić półgrupę S do monoidu S 1 .
Pógłrupa może mieć również jednostronne jedności. W następnym rozdziale referatu przyjrzymy się
szczególnemu typowi półgrup o tej własności – tzw. półgrupom bicyklicznym. Na zakończenie tej części
odnotujmy interesujący fakt, który opisuje algebry, które rozważane jako półgrupy z mnożeniem algebrowym mają jedynie jednostronną jedynkę:
Twierdzenie 1 Jeżeli algebra A ma tę własność, że dla pewnych dwóch elementów f, g ∈ A mamy:
f g = 1, gf 6= 1, to jest ona nieskończenie wymiarowa i zawiera ona nieskończony, przeliczalny zbiór
jedynek macierzowych.
Wymieniliśmy kilka wyraźnych różnic pomiędzy ogólnym pojęciem półgrupy a pojęciem grupy. Aby
móc przybliżyć się nieco do tych ostatnich wprowadza się namiastkę odwracalności w półgrupie.
Definicja 5 Element x ∈ S jest regularny, jeśli istnieje takie y ∈ S, że xyx = x.
Oczywiście, gdyby S było grupą, wówczas warunek regularności spełniony byłby dla każdego jej elementu. W przypadku półgrup nie każdy element musi być regularny. Co więcej, nawet jeśli każdy element
jest regularny (wtedy półgrupę nazywamy regularną), daleko jeszcze do grup. Nietrudno pokazać, że pełna grupa transformacji TX jest regularna. Aby jeszcze bardziej zbliżyć się do grup, wprowadza się pojęcie
odwrotności półgrupowej:
Definicja 6 Elementy x, y ∈ S nazywamy wzajemnie odwrotnymi, jeśli xyx = x oraz yxy = y.
Jeśli każdy element półgrupy ma swoją odwrotność półgrupową, wówczas mówimy o półgrupach
odwracalnych. Oczywiście każda grupa jest półgrupą odwracalną. Wprowadzenie pojęć regularności i
odwracalności znacznie ułatwia opis strukturalny półgrup. Nie będziemy wdawać się w szczegóły. Aby
dać jednak pewien posmak podobieństwa istniejącego pomiędzy grupami a półgrupami odwracalnymi,
na zakończenie podamy następujący odpowiednik tw. Maschke (algebra III):
Twierdzenie 2 Niech S będzie skończoną i odwracalną półgrupą, zaś K – ciałem. Wówczas algebra
półgrupowa K[S] jest półprosta wtedy i tylko wtedy gdy charakterystyka K jest równa 0 lub jest liczbą
pierwszą nie będącą dzielnikiem rzędu żadnej z podgrup właściwych S.
2
Półgrupy cykliczne i bicykliczne.
Półgrupa wolna i prezentacja.
Zacznijmy od dwóch niezbędnych pojęć:
Definicja 7 (Podpółgrupa) Niech S będzie półgrupą, zaś zbiór X będzie dowolnym niepustym podzbiorem S. Jeżeli X jest zamknięty ze względu na działania indukowane z S, wtedy nazywamy go podpółgrupą
X, ozn. X ¬ S.
Definicja 8 (Podpółgrupa generowana przez zbiór) Niech S będzie dowolną półgrupą i niech X
będzie dowolnym niepustym podzbiorem X. Niech hXi będzie przecięciem wszystkich podpółgrup S zawierających X. Wtedy hXi jest podpółgrupą i nazywamy ją podpółgrupą generowaną przez X.
Łatwo pokazać, że podpółgrupa generowana przez X składa się ze wszystkich napisów skończonej (i
niezerowej) długości, złożonych z liter pochodzących ze zbioru X. Naszym celem w tym rozdziale będzie
sklasyfikować wszystkie grupy postaci:
• S = hai,
• S = ha, b | ab = 1i.
W pierwszym przypadku mamy do rozważenia półgrupę cykliczną S = hai = {an | n ∈ N}. Podobnie
jak w przypadku grup, możliwy jest przypadek, gdy dla każdych m, n ∈ N mamy an 6= am . Wtedy
nasza półgrupa jest izomorficzna z (N, +). Ciekawszy jest zdecydowanie przypadek, gdy dla pewnych
m, n równość jednak zachodzi. Podobnie jak w przypadku grup implikuje to, że taka półgrupa cykliczna
hai musi już być skończona. Istotnie, jeśli an = am , n > m ⇒ ak(n−m)+r = am+r , 0 ¬ r ¬ n − m.
W szczególności półgrupa nie zawiera więcej niż n elementów. Łatwo też wyznaczyć strukturę półgrupy
cyklicznej rzędu n. Nie jest ona jednoznaczna. Istnieje dokładnie n różnych półgrup cyklicznych rzędu n
(inaczej niż w przypadku grup). Istotnie, niech dla hai liczba x będzie najmniejszą taką liczbą naturalną,
że istnieje pewne 0 < y < x, że ay = ax . Nasza półgrupa jest zatem x elementowa i w zależności od
wyboru y ma jedną z x postaci (zrobić rysunek...). Łatwo pokazać, że żadne dwie nie są izomorficzne
(istnieją różnej długości ’cykle’).
Przykład 6 Wyznaczmy strukturę podpółgrupy cyklicznej w T7 generowanej przez:
1234567
2345675
.
Przyjrzyjmy się teraz monoidowi bicyklicznemu zadanemu prezentacją: ha, b | ab = 1i. Nie wzgłębiając
się na razie w formalną strukturę tej konstrukcji, powiedzmy po prostu, że rozważana półgrupa składa się
ze wszystkich skończonych napisów złożonych z liter a, b z mnożeniem będącym konkatenacją napisów.
Dodatkowo zakładamy, że napis ab możemy zawsze zastąpić przez 1. Okazuje się, że każdy element tej
półgrupy można przedstawić jednoznacznie w postaci bi aj , i, j ­ 0. Operacja składania ma następującą
postać:
(bi aj )(bk al ) = bi−j+max(j,k) al−k+max(j,k) .
Dowód: Na zajęciach. Łatwe.
Łatwo zatem widzieć, że grupa bicykliczna jest izomorficzna z N × N z następującym mnożeniem:
(i, j)(k, l) = (i − j + max(j, k), l − k + max(j, k)).
3
Kilka słów o strukturze półgrup skończonych...
Badanie struktury półgrup bardziej przypomina swoimi metodami teorię pierścieni niż teorię grup. Odbywa się ono za pomocą znanego pojęcia ideału:
Definicja 9 Podzbiór I ⊂ S nazywamy ideałem lewostronnym w półgrupie S jeśli SI = {si, s ∈ S, i ∈ I}.
Analogicznie definiujemy ideał prawostronny i obustronny półgrupy S.
Można wykonywać ilorazy półgrup przez ideały. Są to tzw. ilorazy Reesa R \ I ∪ {θ} ze strukturą
mnożenia:
ab =


ab,

θ,
ab ∈
/I
.
ab ∈ I
Zauważmy, że w grupach nie ma nietrywialnych ideałów. Może się to wydać zagadkowe. Możnaby zapytać
co jest zatem w przypadku półgrup swego rodzaju odpowiednikiem podgrup normalnych. Są to tzw.
kongruencje, o których nie będziemy tu wiele mówić... Najprostszą jednostką strukturalną w przypadku
półgrup skończonych będą tzw. półgrupy 0 - proste.
Definicja 10 Półgrupę nazywamy prostą, gdy nie ma ona nietrywialnych ideałów. Półgrupę S nazywamy
0 - prostą wtw gdy każdy jej ideał to {0} lub S oraz S 2 6= 0 (a więc nie ma ona zerowego mnożenia).
Z ogólnej teorii półgrup wynika, że półgrupy 0 - proste stanowią fundament struktury każdej półgrupy.
Okazuje się, że półgrupy te mają bardzo ciekawą postać, o której opowiemy teraz nieco więcej.
Definicja 11 (Półgrupa macierzowa Reesa) Dana jest grupa G, dwa niepuste zbiory X, Y (można o
nich myśleć jak o zbiorach skończonych, choć nie jest to konieczne), oraz macierz P o wymiarach Y × X
o elementach z G. Jest to więc funkcja Y × X → G dana wzorem (y, x) → pyx . Rozważam teraz zbiór
G × X × Y i wprowadzam na nim następujące mnożenie:
(g, x, y) ◦ (g ′ , x′ , y ′ ) = (gpyx′ g ′ , x, y ′ ).
Jest to półgrupa i oznaczamy ją jako M(G, X, Y, P ).
Jak rozumieć tak utworzoną strukturę? Wyobraźmy sobie, że element (g, x, y) ∈ S jest macierzą o
wymiarach X × Y , której jedynym niezerowym miejscem jest miejsce w kolumnie y i rzędzie x i na tym
miejscu stoi element g. Co oznacza mnożenie w naszej półgrupie? Jeśli weźmiemy dwie macierze A, B
odpowiadające pewnym (g, x, y), (g ′ , x′ , y ′ ), to mamy:
A ◦ B = AP B.
Zauważmy kilka przypadków szczególnych:
• Jeśli zbiory X, Y są jednoelementowe, wówczas półgrupa M(G, X, Y, P ) jest izomorficzna z grupą
G.
• Jeśli grupa G jest trywialna wtedy dostajemy półgrupę z przykładu (tzw. rectangular band).
• Jeśli grupa G i zbiór Y są trywialne, wówczas dostajemy półgrupę lewych zer.
• Jeśli grupa G i zbiór X są trywialne, wówczas dostajemy półgrupę prawych zer.
Często zamiast G rozważa się grupę rozszerzoną o 0, a więc G0 i utożsamia się w S wszystkie elementy
postaci (0, x, y). Wtedy dostajemy tzw. półgrupę M0 (G0 , X, Y, P ).
Przykład 7 Półgrupa M0 ({1}0 , n, n, Id) to półgrupa jedynek macierzowych z zerem.
Okazuje się, że o ile macierz P nie ma niezerowych wierszy lub kolumn, wówczas półgrupa M(G, X, Y, P )
jest prosta, zaś półgrupa M0 (G0 , X, Y, P ) jest 0 - prosta. I na odwrót, okazuje się, że każda skończona
grupa 0 - prosta może być zapisana jako półgrupa typu macierzowego (nieskończona też może być, ale tu
trzeba dodać tzw. warunek całkowitej 0 - prostoty). Jest to podstawowe twierdzenie teorii półgrup: tzw.
twierdzenie Reesa - Sushkevicha.
Literatura
[1]
HOWIE J.M.: An introduction to semigroup theory, Londyn (1976).
[2]
GRILLET P.A: Semigroups. An introduction to the structure theory, CRC Press (1995).
[3]
MITCHELL J.D.: Semigroup theory. Course notes, Univ. Saint Andrews, Szkocja (2008).
[4]
MURGEL
P.V.:
On group and semigroup algebras,
praca
doktorska
dostępna
online:
www.impa.br/opencms/pt/ensino/downloads/teses de doutorado/teses 2006/paula murgel.pdf
(2006).