Probabilistyka przykłady

Probabilistyka
przykłady
Przestrzeń zdarzeń
●
Zapisać przestrzeń zdarzeń dla:
1.liczby wygranych gier w serii liczącej trzy gry
2.liczby wizyt u lekarza w ciągu roku
3.ilości czasu (w minutach) od wezwania do przyjazdu
straży pożarnej
4.różnicy wzrostu (w cm) męża i żony
5.długości oczekiwania na wizytę lekarską i długości
trwania wizyty
6.liczby poprawnych odpowiedzi udzielonych przez dwu
uczestników w konkursie obejmującym zadanie
każdemu uczestnikowi 10 pytań
Przestrzeń zdarzeń
●
Dla doświadczenia polegającego na
trzykrotnym rzucie monetą zapisać przestrzeń
zdarzeń pozwalającą określić:
1. wyniki rzutów, w kolejności w której
wystąpiły
2. łączną liczbę orłów
3. liczbę reszek do uzyskania pierwszego orła
Zdarzenia
●
Zapisać zdarzenia jako podzbiory przestrzeni ze slajdu nr 2
1. a) E=wygrano co najmniej 2 gry, b) F=przegrano co najmniej 2 gry
2. E=w ciągu roku było nie więcej niż 2 wizyty
3. E=straż przyjechała nie później niż po 5 minutach
4. E=żona jest wyższa od męża
5. a) E=pierwszy zawodnik udzielił co najmniej 7 prawidłowych
odpowiedzi, b) F=drugi zawodnik udzielił co najmniej 7
prawidłowych odpowiedzi, c) G=obaj zawodnicy udzielili łącznie co
najmniej 15 prawidłowych odpowiedzi
Zdarzenia
●
W której z przestrzeni zdarzeń ze slajdu nr 3
można przedstawić następujące zdarzenia:
1. Orzeł w pierwszym rzucie
2. 2 orły i 1 reszka
3. Kolejne wyniki to orzeł, reszka, orzeł
Związki między zdarzeniami
●
Korzystając ze zdarzeń zdefiniowanych na
slajdzie nr 4, zapisać podzbiory przestrzeni
zdarzeń odpowiadające następującym
zdarzeniom:
1.a) EF, b) EF, c)E'
2.E'
5.a) EF, b) EF, c) EFG
Związki między zdarzeniami
●
Uprościć:
●
(AB)(AB')
●
(AB)(A'B)(AB')
●
(AB)(BC)
Związki między zdarzeniami
●
●
W rozgrywce brydżowej niech Nk (k= 1, 2, 3, 4)
oznacza zdarzenie, że N ma co najmniej k
asów. Niech Sk, Wk, Ek będą analogicznymi
zdarzeniami dla S, W, E. Co można powiedzieć
o liczbie asów posiadanych przez W dla
zdarzeń:
a) W1', b) N2S2, c) N1'S1'E1', d) W2\W3, e)
N1S1E1W1, f) N3W1, g) (N2S2)E2
Zdarzenia jednakowo
prawdopodobne
●
Komputer generuje losowe cyfry, tj. każda z cyfr
0-9 jest jednakowo prawdopodobna.
Wyznaczyć prawdopodobieństwo:
1. sytuacji, w której dwie kolejne cyfry są równe
2. sytuacji, w której trzy kolejne cyfry są równe
3. sytuacji, w której trzy kolejne cyfry są różne
4. sytuacji, w której dokładnie dwie z trzech kolejnych
cyfry są równe
Zdarzenia jednakowo
prawdopodobne
●
Spośród cyfr 1, 2, 3, 4, 5 najpierw wybiera się
jedną, a następnie dokonuje się drugiego wyboru
z pozostałych czterech
1. ile jest możliwych wyników?
2. przyjmując, że wszystkie wyniki są jednakowo
prawdopodobne, określić prawdopodobieństwo
że nieparzysta cyfra zostanie wybrana:
1. za pierwszym razem
2. za drugim razem
3. za pierwszym i drugim razem
Zdarzenia jednakowo
prawdopodobne
●
Rzucamy wielokrotnie monetą
1.Jakie prawdopodobieństwo będzie miał każdy z
możliwych wyników wymagający n rzutów?
●
Przerywamy rzucanie gdy w dwu kolejnych
rzutach powtórzy się ta sama strona
2. Jak wygląda przestrzeń zdarzeń?
3. Jakie jest prawdopodobieństwo że doświadczenie
skończy się przed 6 rzutem?
4. Jakie jest prawdopodobieństwo że doświadczenie
skończy się w parzystej liczbie rzutów?
Permutacje
1.Ile jest możliwych permutacji:
1.5 z 5 różnych obiektów
2.0 z 6 różnych obiektów
3.2 z 8 różnych obiektów
Permutacje
●
Na ile sposobów można ułożyć w rzędzie 7
kolorowych kul jeśli:
1. każda jest w innym kolorze
2. trzy są czerwone, a pozostałe każda w innym
kolorze
3. trzy są czerwone, dwie czarne, a pozostałe każda
w innym kolorze
Permutacje
●
Podejrzany i 7 innych osób biorą udział w
policyjnej procedurze identyfikacji. Zakładając,
że staną w rzędzie w losowej kolejności, jakie
jest prawdopodobieństwo że podejrzany będzie
pierwszy bądź ostatni?
Kombinacje
●
10 biegaczy startuje w zawodach
lekkoatletycznych; 3 z nich to Polacy. Pierwsza
runda jest podzielona na 2 starty (A, B) po 5
biegaczy. Określ prawdopodobieństwo że:
1. wszyscy Polacy pobiegną w starcie A
2. wszyscy Polacy pobiegną w jednym starcie
3. co najmniej jeden Polak pobiegnie w każdym ze
startów
Prawdopodobieństwo warunkowe
●
Z partii 100 elementów elektronicznych
wybrane zostały losowo 3 elementy aby
określić jakość produkcji. W partii znajdują się 4
elementy z defektami. Jakie jest
prawdopodobieństwo że elementy wybrane do
testu będą sprawne?
Niezależność
●
Moneta – być może niesymetryczna – jest
rzucana dwukrotnie. Rezultat „orzeł” jest
określany jako sekwencja OR, „reszka” jako
RO. Rezultaty OO i RR są ignorowane i
doświadczenie powtarzane. Wykazać, że
prawdopodobieństwo rezultatu „orzeł” wynosi
0,5 niezależnie od asymetrii monety.
Niezależność
●
Do poprawnego działania urządzenia konieczne
jest działanie bloków B1 i B2 połączonych jak
na rysunku. Przyjmując prawdopodobieństwo
awarii bloku B1 wynoszące p1 i bloku B2
wynoszące p2 określić prawdopodobieństwo
działania urządzenia jako całości
B1
B2
Niezależność
●
Aby zwiększyć niezawodność urządzenia
zduplikowano bloki i połączono je jak na
rysunku. Do działania urządzenia jako całości
wystarczy działanie jednej z gałęzi. Wykazać,
że prawdopodobieństwo poprawnego działania
takiego urządzenia jest wyższe
B1
B2
B1
B2
Niezależność
●
Jako alternatywę zaproponowano inne
połączenie bloków. Wykazać które z podejść
daje wyższe prawdopodobieństwo poprawnego
działania urządzenia jako całości
B1
B2
B1
B2