Zestaw zadań z części 2 z rozwiązaniami (zmiany 17.01.2017)

Andrzej Pietruszczak
Materiały do ćwiczeń „Logiczne podstawy kognitywistyki”∗
Zestaw zadań z cześci
˛
2
wskazówki, szkice rozwiaza
˛ ń badź
˛ rozwiazania
˛
zadań
Zadanie 1.1. Odpowiedz na następujące pytania:
Co to jest informacja prawdziwa (odp. fałszywa)? Kiedy zdanie orzekające jest prawdziwe (odp. fałszywe)?
Jakie wyrażenia językowe przekazują informacje?
Co to jest wypowiedź sprzeczna?
Czy każda wypowiedź mająca formę komunikatu przekazuje jakąś informację?
Czy jakąś informację o Janie, Piotrze i Pawle przekazuje następująca wypowiedź:
— Jan jest wyższy od Piotra, Piotr jest wyższy od Pawła, a Paweł jest wyższy od Jana.
Czy jakąś informację o Janie przekazuje następująca wypowiedź:
— Jan nie jest kawalerem. Jan nie jest żonaty. Jan nie jest wdowcem. Jan nie jest rozwiedziony.
(f) Gdy ktoś po rzucie monetą głosi, że wyrzucił orła lub reszkę, to czy jego wypowiedź zawiera jakąś informację?
Jeśli tak, to jaką?
,2
01
6/2
01
7
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
ły
do
ć
wi
cz
eń
LP
K
Odpowiedzi. (a) Zob. str. 14. (b) Zob. strony 14–15. (c) Zob. str. 15. (d) Zob. str. 15.
(e) Nie, gdyż są to wypowiedzi sprzeczne. Wykluczają one wszystkie możliwe stany rzeczy. Zob. str. 15.
(f) W takich sytuacjach mówimy, że otrzymaliśmy „zerową informację”, gdyż w wypowiedzi opisano zdarzenie
pewne, tj. opisano coś co musiało zajść.
Zadanie 1.2. Odpowiedz na następujące pytania (odpowiedzi proszę uzasadnić):
a te
r ia
Czy informacje fałszywe mają ujemną miarę?
Czy są takie informacje fałszywe, które mają miarę zero?
Czy informacje prawdziwe mają większą miarę od fałszywych?
Co to jest jeden bit informacji?
Ile bitów mają odpowiednie informacje głoszone przez poniższe wypowiedzi:
— Wypadła reszka.
— Wypadła nieparzysta liczba oczek.
M
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(rzut monetą)
(rzut kostką)
Odpowiedzi. (a) Nie. Miara jakiejkolwiek informacji jest liczbą rzeczywistą większą lub równą od zera. Zob.
str. 17–18.
(b) Nie. Informację miary zero dają jedynie zdania, które opisują sytuacje mające prawdopodobieństwo 1 (zob.
str. 17). Żadne ze zdań fałszywych nie opisuje zaś takiej sytuacji.
(c) Nie. Wartość miary danej informacji nie jest zależna od tego czy jest ona prawdziwa, czy fałszywa. Zależy
jedynie od prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia. Zob. str. 17–18.
(d) Zob. str. 17.
(e) Obie wypowiedzi przekazują informację o mierze 1 bit. Mianowicie, oba opisywane zdarzenia zachodzi z
prawdopodobieństwem 21 . Zatem Inf(k) = log2 11 = log2 2 = 1 (bit).
2
Zadanie 1.3. Rzucamy kostką do gry oraz monetą (zakładamy, że obie nie są «podrabiane», czyli każdy z wyników
rzutem jest jednakowo prawdopodobny).
(a) Podaj zbiór wszystkich możliwych opisów stanów rzeczy.
(b) Podaj zawartość semantyczną poniższych sądów:
— Nie wypadła jedynka, lecz wypadł orzeł.
— Wypadła szóstka i/lub wypadł orzeł.
— Albo wypadła szóstka i reszka, albo wypadł orzeł.
∗
c 2016 i 2017 prawa autorskie do całości materiałów do ćwiczeń ma wyłącznie autor
Andrzej Pietruszczak: Zestaw zadań do ćwiczeń „LPK” 2016/2017 – zadania do części 2
(c)
(d)
(e)
Czy drugi i trzeci sąd mają tę samą zawartość semantyczną? Czy zawartość semantyczna pierwszego sądu jest
szersza od zawartości drugiego?
Podaj zawartość semantyczną poniższych sądów:
— Wypadł orzeł lub reszka.
— Wypadły orzeł, piątka i reszka.
— Albo wypadła jedynka i orzeł, albo wypadła dwójka i reszka.
Podaj zawartość semantyczną poniższych sądów:
— Albo wypadła jedynka i orzeł, albo wypadła jedynka i reszka.
— Wypadła jedynka oraz albo wypadł orzeł albo reszka.
— Wypadła jedynka.
Czy ich zawartość semantyczna jest identyczna?
Czy zawartość semantyczna poniższych sądów jest identyczna:
— Albo wypadła jedynka i reszka, albo wypadła dwójka i reszka.
— Wypadła reszka oraz albo jedynka albo dwójka.
Czy na tej podstawie można wyciągnąć wniosek, że dowolne sądy postaci ‘Albo p i r, albo q i r’ oraz ‘r oraz albo
p albo q’ mają tę samą zawartość semantyczną?
Czy zawartość semantyczna poniższych sądów jest identyczna:
— Wypadła szóstka i/lub wypadł orzeł.
— Nieprawda, że ani nie wypadła szóstka, ani nie wypadł orzeł.
Czy na tej podstawie można to powiedzieć o dowolnych sądach postaci ‘p i/lub q’ oraz ‘Nieprawda, że zarówno
nie-p i nie-q’? (‘nie-q’ reprezentuje zaprzeczenie sądu stojącego w miejscu litery ‘q’.)
,2
01
6/2
01
7
(f)
2
cz
wi
ły
do
ć
r ia
a te
1o
2o
3o
4o
5o
6o
1r
2r
3r
4r
5r
6r
M
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
eń
LP
K
Odpowiedzi. (a) Zob. str. 19. Niech ‘o’ i ‘r’ będą odpowiednio skrótami dla: ‘wypadł orzeł’ i ‘wypadła reszka’.
Ponadto, niech ‘1’, . . . , ‘6’ będą odpowiednio skrótami dla: ‘wypadła jedynka’, . . . , ‘wypadła szóstka’. Mamy 12
opisów możliwych stanów rzeczy, które przy przyjętych skrótach mają następującą postać:
(b) Zob. str. 19. Zawartość semantyczną danego sądu jako: Zbiór tych opisów możliwych stanów rzeczy, które ten
sąd wykluczają.
Zawartość semantyczna sądów:
— Nie wypadła jedynka, lecz wypadł orzeł:
{1o, 1r, 2r, 3r, 4r, 5r, 6r}
— Wypadła szóstka i/lub wypadł orzeł:
{1r, 2r, 3r, 4r, 5r}
— Albo wypadła szóstka i reszka, albo wypadł orzeł:
{1r, 2r, 3r, 4r, 5r}
Widzimy, że drugi i trzeci sąd mają tę samą zawartość semantyczną. Tak zawartość semantyczna pierwszego sądu
jest szersza od zawartości drugiego, gdyż {1r, 2r, 3r, 4r, 5r} ( {1o, 1r, 2r, 3r, 4r, 5r, 6r}.
(c) Zawartość semantyczna sądów:
— Wypadł orzeł lub reszka:
(tautologia)
∅ (zbiór pusty)
— Wypadły orzeł, piątka i reszka:
(sprzeczność)
zbiór wszystkich możliwych opisów stanów
— Albo wypadła jedynka i orzeł, albo wypadła dwójka i reszka:
{2o, 3o, 4o, 5o, 6o, 1r, 3r, 4r, 5r, 6r}
(d) Zawartość semantyczna sądów:
— Albo wypadła jedynka i orzeł, albo wypadła jedynka i reszka:
{2o, 3o, 4o, 5o, 6o, 2r, 3r, 4r, 5r, 6r}
— Wypadła jedynka oraz albo wypadł orzeł albo reszka:
{2o, 3o, 4o, 5o, 6o, 2r, 3r, 4r, 5r, 6r}
— Wypadła jedynka:
{2o, 3o, 4o, 5o, 6o, 2r, 3r, 4r, 5r, 6r}
Widzimy, że zawartość semantyczna tych sądów jest identyczna.
Andrzej Pietruszczak: Zestaw zadań do ćwiczeń „LPK” 2016/2017 – zadania do części 2
3
(e) Zawartość semantyczna sądów:
— Albo wypadła jedynka i reszka, albo wypadła dwójka i reszka
{1o, 2o, 3o, 4o, 5o, 6o, 3r, 4r, 5r, 6r}
— Wypadła reszka oraz albo jedynka albo dwójka
{1o, 2o, 3o, 4o, 5o, 6o, 3r, 4r, 5r, 6r}
Zatem zawartość semantyczna tych sądów jest identyczna.
Tak, na tej podstawie można wyciągnąć wniosek, że dowolne sądy postaci ‘Albo p i r, albo q i r’ oraz ‘r oraz albo
p albo q’ mają tę samą zawartość semantyczną?
(f) Zawartość semantyczna sądów:
— Wypadła szóstka i/lub wypadł orzeł
{1r, 2r, 3r, 4r, 5r}
— Nieprawda, że ani nie wypadła szóstka, ani nie wypadł orzeł
{1r, 2r, 3r, 4r, 5r}
Zawartość semantyczna tych sądów jest identyczna.
Tak na tej podstawie można to powiedzieć o dowolnych sądach postaci ‘p i/lub q’ oraz ‘Nieprawda, że zarówno
nie-p i nie-q’.
Zadanie 1.4. Odpowiedz na następujące pytania:
Co to jest wypowiedź niesprzeczna?
Kiedy dana wypowiedź nie przekazuje żadnej informacji?
Kiedy jedna informacja wynika z drugiej?
Kiedy jedna wypowiedź wynika z drugiej?
Czy z fałszywej informacji może wynikać prawdziwa? Jeśli tak, to podaj przykład.
Czy z fałszywej informacji może wynikać inna fałszywa? Jeśli tak, to podaj przykład.
Czy z prawdziwej informacji może wynikać fałszywa? Jeśli tak, to podaj przykład.
Uzasadnij twierdzenie: Jeśli z prawdziwej informacji wynika inna, to druga także jest prawdziwa.
Uzasadnij twierdzenie: Jeśli z danej informacji wynika informacja fałszywa, to ta informacja także jest fałszywa.
,2
01
6/2
01
7
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
M
a te
r ia
ły
do
ć
wi
cz
eń
LP
K
Odpowiedzi. (a) Zob. str. 15. (b) Gdy jest sprzeczna. Zob. str. 15 i 20–21.
(c) Prawdziwość tej drugiej daje gwarancję tej, która ma wynikać. Zob. str. 21. (d) Jak w (c).
(e) Tak. Przykładowo, załóżmy, że Andrzej ma tylko córkę (czyli nie ma syna). Jednakże z tego, że Andrzej ma
zarówno syna i córkę (fałsz) wynika, że Andrzej ma córkę (prawda).
(f) Tak. Przykładowo, załóżmy, że Andrzej ma tylko córkę (czyli nie ma syna). Jednakże z tego, że Andrzej ma
zarówno syna i córkę (fałsz) wynika, że Andrzej ma syna (fałsz).
(g) Nie, skoro przy wynikanie zachowuje prawdziwość.
(h) Z informacji I1 wynika I2 znaczy: prawdziwość informacji I1 daje gwarancję informacji I2 . Zatem gdy I1 jest
prawdą, to prawdą jest także I2 .
(i) Z informacji I1 wynika I2 znaczy: prawdziwość informacji I1 daje gwarancję informacji I2 . Zatem gdy I2 jest
fałszywa, to fałszem jest także I1 , gdyż w przeciwnym razie prawdą musiałoby być też I2 (a nie jest).
Zadanie 3.1. Proszę podać odpowiedzi i ich uzasadnienia:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Czy Sejm RP jest dystrybutywnym zbiorem posłów?
Czy Puszcza Jodłowa jest dystrybutywnym zbiorem wszystkich jodeł rosnących w Górach Świętokrzyskich?
Czy dystrybutywny zbiór wszystkich stad w Polsce jest stadem?
Czy zwierzęta są elementami dystrybutywnego zbioru wszystkich stad w Polsce?
Czy drzewa są elementami dystrybutywnego zbioru wszystkich lasów w Polsce?
Czy dystrybutywny zbiór wszystkich lasów w Polsce jest lasem?
Czy w sensie dystrybutywnym zbiór wszystkich lasów w Polsce jest zbiorem drzew?
Czy Trójmiasto to zbiór dystrybutywny mający trzy elementy: Gdańsk, Gdynia i Sopot? Symbolicznie: Czy
Trójmiasto = {Gdańsk, Gdynia, Sopot}?
Ile elementów ma zbiór {22 , 4}? Czy {22 , 4} = {2 + 2}? Czy {2 + 2} = 4?
Czy {1} = {1, {1}}? Czy {∅} = {∅, {∅}}?
Niech N i N+ będą odpowiednio dystrybutywnymi zbiorami: wszystkich liczb naturalnych (przy czym 0 jest
liczbą naturalną) oraz liczb naturalnych większych od 0. Czy {0, N+ } = {N}?
Czy {0, N+ } = N? Czy {N} = N?
Na poniższym rysunku odcinek A jest sumą dwóch odcinków B i C:
C
B
A
Czy A = {B, C}? Czy {A} = {B, C}? Czy A = {A}?
⋄
Andrzej Pietruszczak: Zestaw zadań do ćwiczeń „LPK” 2016/2017 – zadania do części 2
4
M
a te
r ia
ły
do
ć
wi
cz
eń
LP
K
,2
01
6/2
01
7
Odpowiedzi. 1. Nie. Sejm RP jest pewnego rodzaju systemem, a nie zbiorem dystrybutywnym.
2. Nie. Puszcza jodłowa jest konkretnym (czasoprzestrzennym) obszarem leśnym, a nie zbiorem dystrybutywnym. W ogóle nie jest tu istotne to, że nie wszystkie jodły w Górach Świętokrzyskich rosną w Puszczy Jodłowej.
3. Nie. Stado jest konkretnym (czasoprzestrzennym) bytem złożonym ze zwierząt. Dystrybutywny zbiór wszystkich stad w Polsce jest bytem abstrakcyjnym (tak jak każdy zbiór dystrybutywny). Jego elementami są stada w
Polsce.
4. Nie. Stado jest konkretnym (czasoprzestrzennym) bytem złożonym ze zwierząt. Dystrybutywny zbiór wszystkich stad w Polsce jest bytem abstrakcyjnym (tak jak każdy zbiór dystrybutywny). Jego elementami są stada w Polsce,
a nie zwierzęta.
5. Nie. Dystrybutywny zbiór wszystkich lasów w Polsce jest bytem abstrakcyjnym (tak jak każdy zbiór dystrybutywny). Jego elementami są lasy w Polsce, a nie drzewa.
6. Nie. Dystrybutywny zbiór wszystkich lasów w Polsce jest bytem abstrakcyjnym (tak jak każdy zbiór dystrybutywny). Las zaś jest bytem konkretnym (czasoprzestrzennym).
7. Nie. Dystrybutywny zbiór wszystkich lasów w Polsce składa się z wszystkich lasów w Polsce i tylko z lasów
w Polsce. Drzewa nie są jego elementami. Zatem nie on jest zbiorem drzew.
8. Nie. Trójmiasto jest pewnym systemem miejskim, który zajmuje konkretny obszar. W ogóle nie jest to zbiór
dystrybutywny. Zbiór dystrybutywny Trójmiasto = {Gdańsk, Gdynia, Sopot} jest abstraktem (tak jak każdy zbiór
dystrybutywny).
9. Zbiór {22 , 4} ma jeden element  liczbę 4. Tak, {22 , 4} = {2 + 2}, gdyż mamy zbiór jednoelementowy {4}.
{2 + 2} , 4. Przecież {2 + 2} jest jednoelementowym zbiorem, a 4 jest liczbą.
10 Nie. Zbiór {1} ma jeden element  liczbę 1. Zbiór {1, {1}} ma zaś dwa elementy  liczbę 1 oraz jednoelementowy zbiór {1}.
Nie. Zbiór {∅} ma jeden element  pusty zbiór ∅. Zbiór {∅, {∅}} ma zaś dwa elementy  zbiór pusty ∅ oraz
jednoelementowy zbiór {∅}.
11. Nie. Zbiór {0, N+ } ma dwa elementy  liczbę 0 oraz zbiór N+ . Zbiór {N} ma zaś jeden element  zbiór N.
Nie. Zbiór {0, N+ } ma dwa elementy  liczbę 0 oraz zbiór N+ . Zbiór N ma zaś nieskończoną ilość elementów 
jego elementami są wszystkie liczby naturalne.
Nie. Zbiór {N} ma jeden element  zbiór N. Zbiór N ma zaś nieskończoną ilość elementów  jego elementami
są wszystkie liczby naturalne.
12. Nie. Odcinek A jest nieskończonym zbiorem punktów. Zbiór {B, C} ma zaś dwa elementy, którymi są odcinki
B i C (a nie punkty).
Nie. {A} jest zbiorem jednoelementowym (jego elementem jest odcinek A). Zbiór {B, C} ma zaś dwa elementy,
którymi są odcinki B i C.
Nie. Odcinek A jest nieskończonym zbiorem punktów. {A} jest zaś zbiorem jednoelementowym (jego elementem
jest odcinek A).
Zadanie 3.2. Proszę podać odpowiedzi i ich uzasadnienia:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Czy Sejm RP jest kolektywnym zbiorem posłów?
Czy Puszcza Jodłowa jest kolektywnym zbiorem jodeł rosnących na pewnym obszarze Gór Świętokrzyskich?
Czy zwierzęta są elementami kolektywnego zbioru stad?
Czy drzewa są elementami kolektywnego zbioru lasów?
Czy kolektywny zbiór drzew jest lasem?
Czy Trójmiasto to zbiór kolektywny złożony z trzech obiektów: Gdańska, Gdyni i Sopotu?
Odpowiedzi. 1. Nie. Sejm RP jest pewnego rodzaju systemem, a nie zbiorem kolektywnym.
2. Nie. Puszcza Jodłowa jest konkretnym obszarem leśnym, a nie zbiorem kolektywnym. Ponadto, nie wszystkie
jodły w Górach Świętokrzyskich rosną w Puszczy Jodłowej oraz w Puszczy Jodłowej rosną nie tylko jodły.
3. Tak. Zwierzęta są elementami stad, a stada są elementami kolektywnego zbioru wszystkich stad w Polsce.
W sensie kolektywnym jest to przechodnie.
4. Tak. Drzewa są elementami lasów, a lasy są elementami kolektywnego zbioru wszystkich lasów w Polsce.
W sensie kolektywnym jest to przechodnie.
5. Nie, gdyż w lesie rosną inne rośliny, a nie tylko drzewa.
6. Nie. Trójmiasto jest pewnym systemem miejskim, który zajmuje konkretny obszar, ma wspólny system komunikacyjny. Nie można tego sprowadzić do zbioru kolektywnego trzech miast (chociaż bliższe to będzie do zbioru
kolektywnego, niż do zbioru dystrybutywnego).