Niestacjonarne zmienne czasowe – własności i testowanie - E-SGH

Niestacjonarne zmienne czasowe – własności i testowanie - E-SGH

Materiał dla studentów
Niestacjonarne zmienne czasowe –
własności i testowanie
(studium przypadku)
Część 1: Opis ogólny i plan pracy
Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza szeregów czasowych i
prognozowanie (13201);
Kierunek studiów: Finanse i rachunkowość, Metody ilościowe w ekonomii i systemy
informacyjne
Studia I stopnia/studia II stopnia
Opracowała:
dr hab. Ewa M. Syczewska, Instytut Ekonometrii, Kolegium Analiz Ekonomicznych SGH
Warszawa, 2011
I. Informacje wstępne
Na zagadnienie niestacjonarności ekonomicznych szeregów czasowych zwrócono uwagę, gdy
okazało się, że próby prognozowania zmiennych makroekonomicznych i finansowych na
podstawie regresji liniowych nie zdały egzaminu – mimo iż model pomyślnie przechodził
proces weryfikacji, prognozy uzyskane na jego podstawie nie zgadzały się z rzeczywistością,
a rozbieżność wydawała się trudna do wytłumaczenia. Problem (tzw. regresja pozorna) został
zbadany i wyjaśniony przez C.W.J. Grangera – przyczyną była niestacjonarność zmiennych,
typowa dla wielkości makroekonomicznych i finansowych. Wyobraźmy sobie wykres
notowań akcji lub indeksów giełdowych, a będziemy mieć przykład zmiennej niestacjonarnej.
Sposób postępowania zmierzający do uzyskania sensownych modeli ekonometrycznych
powinien uwzględniać testowanie niestacjonarności zmiennych jako jeden z elementów
procesu wyboru postaci modelu.
Najprostszym testem stosowanym do badania niestacjonarności zmiennych jest test
Dickeya-Fullera, wykorzystujący regresję przyrostów zmiennej względem jej opóźnionych
wartości, a w przypadku autokorelacji składnika losowego – regresję uzupełnioną
o opóźnione wartości przyrostów.
Test ten można przeprowadzić nawet w arkuszu kalkulacyjnym (zob. przykład dla obligacji
w załączonym arkuszu Excela) pod warunkiem, że dysponujemy tablicami wartości
krytycznych (w załączeniu – przykładowy fragment tablic testu Dickeya-Fullera).
Wygodniej jest jednak wykorzystać pakiety ekonometryczne, np. gretl. Tutaj test
wywołujemy odpowiednim poleceniem z menu programu, uczymy się dobierać postać
regresji i interpretować wyniki testu.
Następna ważna kwestia – po sprawdzeniu niestacjonarności poszczególnych zmiennych –
dotyczy kwestii budowy modelu dla tych zmiennych, umożliwiającego sensowne
prognozowanie. Jest to związane z pojęciem kointegracji zmiennych – jeśli zmienne są
skointegrowane, to istnieje między nimi silny związek, który powoduje, że mimo że są
niestacjonarne, jednak pewna zależność (opisana jako kombinacja liniowa) jest stacjonarna.
Intuicyjnie: jeśli zmienna jest stacjonarna, to będzie się w przyszłości zachowywała podobnie
jak do tej pory, więc gdy znajdziemy stacjonarną kombinację liniową badanych zmiennych,
możemy na tej podstawie sensownie prognozować.
Najprościej jest sprawdzić, czy wybrana kombinacja liniowa jest stacjonarna, przy użyciu
testu Dickeya-Fullera. Można jednak zastosować bardziej skomplikowaną algebraicznie, ale
skuteczniejszą metodę Johansena.
Obie te metody są dostępne w pakiecie gretl (i w innych pakietach ekonometrycznych).
2
II. Harmonogram/scenariusz realizacji/kolejność działań
1. Moderator omawia materiał teoretyczny, przedstawia cechy wybranych zmiennych
stacjonarnych i niestacjonarnych (makroekonomicznych oraz finansowych). Należy
zwrócić uwagę na zachowanie i cechy charakterystyczne zmiennej oraz jej
przyrostów, obserwowane na wykresach.
2. Studenci oceniają i analizują cechy charakterystyczne wybranych szeregów
czasowych obserwacji zmiennych oraz ich przyrostów, sporządzają wykresy funkcji
autokorelacji i autokorelacji cząstkowej dla zmiennych oraz formułują wstępne
wnioski co do jakościowych cech tych wykresów.
3. Estymacja w wybranym pakiecie ekonometrycznym (np. gretl) regresji przyrostów
zmiennej względem zmiennej opóźnionej, czyli najprostszej wersji regresji testu
Dickeya-Fullera. Testowanie niestacjonarności zmiennej oraz jej przyrostów.
4. Zastosowanie dostępnego w pakiecie testu Dickeya-Fullera do zmiennej i do jej
przyrostów, porównanie wariantów testu (z wyrazem wolnym, z wyrazem wolnym
i trendem), kwestia wyboru wariantu.
5. Na podstawie wyników punktu 4. należy sformułować wnioski dotyczące stopnia
integracji zmiennej. Porównać je z przypuszczeniami sformułowanymi w punkcie 2,
na podstawie cech jakościowych wykresów zmiennych.
6. Przeprowadzenie testowania kointegracji zmiennych metodą Engle’a-Grangera:
a. Estymacja MNK regresji jednej ze zmiennych względem pozostałych.
b. Testowanie stacjonarności reszt tej regresji.
c. Sformułowanie wniosków co do kointegracji zmiennych.
d. Sprawdzenie wyników przy użyciu odpowiednich narzędzi zawartych
w pakiecie.
7. Ewentualnie przeprowadzenie testowania kointegracji metodą Johansena.
8. Studenci formułują wnioski co do wyników testowania niestacjonarności, starając się
nawiązać do cech badanych zmiennych ekonomicznych.
9. Moderator wyjaśnia zależności między występowaniem kointegracji zmiennych
a istnieniem stabilnej dynamicznej równowagi ekonomicznej. Interpretacja wyników
testu Johansena.
10. Studenci przedstawiają wyniki otrzymane dla badanych przez siebie zmiennych.
11. Ocena końcowa pracy studentów – omówienie zajęć przez prowadzącego.
3
III. Opis przypadku/sytuacji
Ponieważ omawiane testy są zaimplementowane w programie gretl, więc możemy
wykorzystać zbiory danych (makroekonomicznych i finansowych) w formacie gretl
i zilustrować sposób przeprowadzenia testów na tym przykładzie. Test ADF można również
przeprowadzić w arkuszu Excela, pod warunkiem dysponowania odpowiednimi tablicami
wartości krytycznych.
Program gretl można zainstalować pobierając odpowiednie pliki ze strony prof. Tadeusza
Kufla http://www.kufel.torun.pl – oprócz plików instalacyjnych pakietu gretl są tam
umieszczone dodatkowe pliki zawierające m.in. dane dla gospodarki Polski. Podajemy
przykład zastosowania testów ADF i KPSS dla jednego z nich.
Plan działania:
1)
Sprawdzamy cechy jakościowe zmiennej na podstawie
jej wykresu.
2)
Testujemy niestacjonarność zmiennej przy użyciu
prostej wersji testu Dickeya-Fullera w arkuszu Excela.
3)
Testujemy niestacjonarność zmiennej w gretl, przy
użyciu testu ADF.
4)
Testujemy kointegrację dwu zmiennych w gretl, przy
użyciu metody Engle’a-Grangera.
4
1. Zachowanie niestacjonarnych szeregów czasowych
Zmienna stacjonarna powinna mieć stałą wartość oczekiwaną, stałą wariancję
a współczynniki korelacji dla obserwacji z różnych okresów zależą tylko od różnicy między
tymi okresami. Sprawdzenie warunków może wymagać pewnych testów i obliczeń, jednak
niektóre cechy można zaobserwować na wykresach zmiennych. Np. dochód do dyspozycji
gospodarstw domowych oraz konsumpcja zagregowana, obie zmienne w ujęciu realnym, są
przedstawione na rys. 1. Widać, że podlegają trendowi wzrostowemu, zatem wartość
oczekiwana nie jest stała w czasie.
Rys. 1. Wykres konsumpcji i dochodu do dyspozycji gospodarstw domowych,
w ujęciu realnym.
7000
realcons
realdpi
6000
5000
4000
3000
2000
1000
1950
1960
1970
1980
1990
2000
Wykres na rys. 2 ilustruje inny przypadek: są to zwroty logarytmiczne notowań indeksu
WIG20, widoczne jest charakterystyczne dla zmiennych finansowych tego typu tzw.
grupowanie wariancji (okresy mniejszych i większych wahań następujących po sobie).
Wartość oczekiwana jest stała, zmienna jest wariancja.
Rys. 2. Zwroty logarytmiczne zmiennej WIG20, notowań zamknięcia.
0.1
0.08
0.06
ld_WIG20zam
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.1
0
500
1000
5
1500
2000
Rozszerzenie: Dodatkowym wykresem ilustrującym zachowanie szeregu jest wykres funkcji
autokorelacji z próby, ACF. W gretl wywołujemy go poleceniem korelogram. Dla zmiennych
stacjonarnych współczynniki korelacji maleją wraz ze wzrostem opóźnień, dla zmiennych
niestacjonarnych wygasanie jest bardzo powolne – to może być oznaką występowania
pierwiastka jednostkowego:
Rys. 3. Wykres funkcji autokorelacji z próby dla notowań WIG20.
ACF dla zmiennej WIG20zam
1
+- 1.96/T^0.5
0.5
0
-0.5
-1
0
5
10
15
20
25
30
opóŸnienia
PACF dla zmiennej WIG20zam
1
+- 1.96/T^0.5
0.5
0
-0.5
-1
0
5
10
15
20
25
30
opóŸnienia
2. Test pierwiastka jednostkowego Dickeya-Fullera w Excelu
Test pierwiastka jednostkowego jest na tyle prosty, że można go przeprowadzić nawet
w arkuszu kalkulacyjnym, lub dowolnym pakiecie zawierającym estymację regresji metodą
najmniejszych kwadratów. Trzeba tylko wykorzystać odpowiednie tablice wartości
krytycznych.
W przykładowym arkuszu podane są dzienne notowania obligacji brytyjskich, japońskich,
amerykańskich i zachodnioniemieckich. Każdy szereg liczy 960 obserwacji.
Należy wyznaczyć przyrosty zmiennej (np. notowań obligacji brytyjskich) oraz zmienną
opóźnioną. Następnie szacujemy regresję przyrostów względem zmiennej opóźnionej
i sprawdzamy, jaka jest wartość statystyki obliczanej tak jak iloraz typu t Studenta, tzn. jako
iloraz oceny parametru przez błąd szacunku. Porównujemy ją z wartościami krytycznymi
z tablic testu ADF.
6
Rys. 4. Regresja w Excelu dla testu ADF dla obligacji brytyjskich
Wyniki pierwszej regresji w Excelu są następujące (czerwonym kolorem zaznaczono
poprawione terminy). Oszacowano regresję przyrostów reszt względem reszt opóźnionych,
czyli wersję z wyrazem wolnym. Statystyka t Studenta oznacza, że nie ma podstaw do
odrzucenia hipotezy zerowej, mówiącej że wyraz wolny jest równy zeru.
Ocena
Błąd
Statystyka
parametru standardowy t Studenta
Wyraz
wolny
BONDUK_1
0,0313
-0,0028
0,0298
0,0029
1,0481
-0,9649
Poziom
istotności
0,2949
0,3348
Dlatego oszacowano drugą regresję, bez wyrazu wolnego.:
Ocena
Błąd
Statystyka
Poziom
parametru standardowy t Studenta istotności
Przecięcie
0
#N/D!
#N/D!
#N/D!
BONDUK_1 0,000227 0,00030558 0,7432936 0,4574862
7
Interesuje nas wartość statystyki ADF = 0,7433. Jest ona dodatnia, a więc większa
niż wartość krytyczna odczytana z tablic dla testu ADF, która jest ujemna.
Ponieważ wartość obliczona statystyki ADF jest większa niż wartość krytyczna
dla odpowiedniej liczby obserwacji i przyjętego poziomu istotności, więc nie ma podstaw
do odrzucenia hipotezy zerowej, że badany szereg jest niestacjonarny.
Następnym krokiem jest testowanie niestacjonarności przyrostów zmiennej.
3. Test pierwiastka jednostkowego i test stacjonarności w gretl
Mamy do wyboru test ADF (rozszerzony test Dickeya-Fullera), dla którego hipoteza zerowa
zakłada niestacjonarność szeregu spowodowaną występowaniem pierwiastka jednostkowego,
oraz test Kwiatkowskiego, Phillipsa, Schmidta i Shina (KPSS), w którym hipoteza zerowa
zakłada stacjonarność szeregu.
Wywołanie testów w gretl: Zmienna → Test ADF
Po wywołaniu testu ADF można wybrać odpowiednie opcje:
a) Dobieramy maksymalną liczbę opóźnień przyrostów zmiennej w regresji testu ADF
(w przykładzie: 10 opóźnień)
b) Wybieramy odpowiednią wersję regresji testu – ze stałą, stałą i trendem liniowym lub
stałą i trendem kwadratowym;
c) Warto wybrać opcję testowania przez program odpowiedniej liczby opóźnień;
d) Zaznaczamy, czy test ma być przeprowadzony dla zmiennej, czy dla przyrostów:
8
Wyniki testu ADF dla stopy bezrobocia oraz dla zmian stopy bezrobocia są następujące:
Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla rzędu opóźnienia 1, dla zmiennej
bezrob
liczebność próby 118
Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1)
test z wyrazem wolnym (const)
model: (1 - L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e
Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: 0,145
estymowana wartość (a-1) wynosi: -0,00821919
Statystyka testu: tau_c(1) = -0,872058
asymptotyczna wartość p = 0,7976
z wyrazem wolnym i trendem liniowym
model: (1 - L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) + ... + e
Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: 0,148
estymowana wartość (a-1) wynosi: -0,00834935
Statystyka testu: tau_ct(1) = -0,887747
asymptotyczna wartość p = 0,9559
Wartości p z pracy MacKinnon (Journal of Applied Econometrics, 1996)
Obliczona wartość statystyki testu jest większa niż wartość krytyczna odczytana z tablic
(w Gretlu wykorzystywane są automatycznie asymptotyczne wartości krytyczne,
ale dla skończonej liczby obserwacji możemy posłużyć się wartościami krytycznymi np.
z książki Charemzy i Deadmana).
9
Empiryczny poziom istotności (ang. p-value) jest to prawdopodobieństwo uzyskania
obliczonej wartości statystyki testu przy założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa.
Jeśli to prawdopodobieństwo jest niewielkie (np. mniejsze niż 0,05), hipotezę zerową należy
odrzucić. W naszym przykładzie prawdopodobieństwo (dla obu wersji testu) jest duże, nie
ma zatem podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o niestacjonarności stopy bezrobocia.
Wywołujemy następnie procedurę ADF dla przyrostów zmiennej – nie trzeba czynić tego
dla obliczonych wcześniej przyrostów, wystarczy zaznaczyć odpowiednią opcję w teście ADF
w gretl:
W przypadku badania niestacjonarności przyrostów nie ma potrzeby uwzględniania trendu
w równaniu regresji.
Wyniki testu ADF dla zmian stopy bezrobocia są następujące:
Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla rzędu opóźnienia 1, dla zmiennej
d_bezrob
liczebność próby 117
Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1)
test z wyrazem wolnym (const)
model: (1 - L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e
Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: -0,022
estymowana wartość (a-1) wynosi: -0,469515
Statystyka testu: tau_c(1) = -5,89422
asymptotyczna wartość p = 2,143e-007
Wartości p z pracy MacKinnon (Journal of Applied Econometrics, 1996)
10
Jak widać, hipotezę zerową o niestacjonarności przyrostów należy odrzucić.
W sumie: ponieważ stopa bezrobocia jest niestacjonarna, a jej pierwsze przyrosty są
stacjonarne, więc stopa bezrobocia jest zmienną zintegrowaną stopnia 1.
Wyniki testu KPSS dla stopy bezrobocia i dla inflacji są następujące:
Równanie regresji testu KPSS (Kwiatkowski, Phillips, Schmidt i Shin)
Estymacja KMNK z wykorzystaniem 120 obserwacji 1993:01-2002:12
Zmienna zależna: bezrob
Zmienna
Współczynnik
Błąd stand.
Statystyka t Wartość p
const
14,0026
0,441492
31,717 <0,00001 ***
time
0,00396521
0,00633282
0,626
0,53243
Odporna estymacja wariancji (robust): 27,3697
Suma kwadratów dla skumulowanych reszt: 208969
Hipoteza zerowa: proces stacjonarny; test KPSS dla zm. bezrob (z trendem)
Parametr rzędu opóźnienia (lag truncation) = 4
Statystyka testu = 0,530213
10%
Krytyczna wart.: 0,119
5%
0,146
2,5%
0,176
1%
0,216
Równanie regresji testu KPSS (Kwiatkowski, Phillips, Schmidt i Shin)
Estymacja KMNK z wykorzystaniem 119 obserwacji 1993:02-2002:12
Zmienna zależna: d_bezrob
Zmienna
const
Współczynnik
0,0327731
Błąd stand.
0,0279405
Statystyka t
1,173
Wartość p
0,24317
Odporna estymacja wariancji (robust): 0,20524
Suma kwadratów dla skumulowanych reszt: 1237,53
Hipoteza zerowa: proces stacjonarny; test KPSS dla zm. d_bezrob (bez
trendu)
Parametr rzędu opóźnienia (lag truncation) = 4
Statystyka testu = 0,425796
10%
Krytyczna wart.: 0,347
5%
0,463
2,5%
0,574
1%
0,739
Obliczona wartość statystyki testu KPSS dla stopy bezrobocia jest większa niż wartość
krytyczna. Zatem stopa bezrobocia nie jest stacjonarna.
Obliczona wartość statystyki testu KPSS dla zmian stopy bezrobocia jest mniejsza niż
asymptotyczna wartość krytyczna przy poziomie istotności 0,05. Zatem zmiany stopy
bezrobocia są stacjonarne.
Oba testy dają tę samą odpowiedź: zmienna jest zintegrowana stopnia I(1), tzn. jest
niestacjonarna, ale można ją sprowadzić do stacjonarnej przez policzenie pierwszych różnic.
11
Polecenie:
Poniżej podane są wyniki testu ADF oraz testu stacjonarności KPSS dla zmiennej
„produkcja”. Proszę odpowiedzieć na pytanie, czy zmienna ta jest niestacjonarna, odpowiedź
uzasadnić.
Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla rzędu opóźnienia 1, dla zmiennej
produk
liczebność próby 118
Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1)
test z wyrazem wolnym (const)
model: (1 - L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e
Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: -0,086
estymowana wartość (a-1) wynosi: -0,0221616
Statystyka testu: tau_c(1) = -1,30176
asymptotyczna wartość p = 0,6311
z wyrazem wolnym i trendem liniowym
model: (1 - L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) + ... + e
Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: -0,029
estymowana wartość (a-1) wynosi: -0,311726
Statystyka testu: tau_ct(1) = -3,92024
asymptotyczna wartość p = 0,0113
Wartości p z pracy MacKinnon (Journal of Applied Econometrics, 1996)
Równanie regresji testu KPSS (Kwiatkowski, Phillips, Schmidt i Shin)
Estymacja KMNK z wykorzystaniem 120 obserwacji 1993:01-2002:12
Zmienna zależna: produk
Zmienna
const
time
Współczynnik
Błąd stand.
9924,62
290,165
Statystyka t
423,606
6,07627
23,429
47,754
Wartość p
<0,00001 ***
<0,00001 ***
Odporna estymacja wariancji (robust): 1,61402e+007
Suma kwadratów dla skumulowanych reszt: 8,94651e+010
Hipoteza zerowa: proces stacjonarny; test KPSS dla zm. produk (z trendem)
Parametr rzędu opóźnienia (lag truncation) = 4
Statystyka testu = 0,38493
10%
Krytyczna wart.: 0,119
5%
0,146
2,5%
0,176
1%
0,216
4. Przykład stabilnej zależności ekonomicznej
Przykładem stabilnej zależności ekonomicznej jest zależność między konsumpcją
zagregowaną a dochodem do dyspozycji gospodarstw domowych. Wyraz wolny regresji
konsumpcji względem dochodu to konsumpcja autonomiczna (niezależna od dochodu),
parametr przy dochodzie wyraża krańcową skłonność do konsumpcji. Jest ona stała dla
danego społeczeństwa, na ogół w przedziale od 0,6 do 0,9.
12
Polecenie:
Proszę otworzyć w gretlu plik danych greene5_1.gdt i oszacować regresję realcons względem
realgdp. Zapisać reszty regresji pod nazwą uhat1. Następnie zastosować do nich test ADF i
test KPSS. Odpowiedzieć na pytania:
a) Jaka jest ocena krańcowej skłonności do konsumpcji? Czy jest zgodna z intuicją
ekonomiczną?
b) Czy reszty regresji konsumpcji względem dochodu są stacjonarne? Jakie wnioski
można sformułować o występowaniu kointegracji zmiennych?
5. Metoda Engle’a – Grangera w gretl
Zamiast szacować osobno regresję metodą najmniejszych kwadratów, można dla tych samych
zmiennych wywołać gotową procedurę testowania kointegracji – metodą Engle’a-Grangera
lub Johansena.
Odpowiednie polecenie to: Model →Modele szeregów czasowych → Testy kointegracji
→Test Engle’a-Grangera.
Ważna jest kolejność wyboru zmiennych – w naszym przykładzie jako pierwszą wybieramy
konsumpcję.
Rezultatem jest tablica zawierająca
a) wyniki testu ADF dla każdej ze zmiennych w regresji,
b) oszacowanie regresji konsumpcji względem dochodu,
c) wyniki testu ADF dla reszt regresji.
Krok 1: test na pierwiastek jednostkowy dla zmiennej realcons
Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla procesu realcons
dla opóźnienia rzędu 3 procesu (1-L)realcons
liczebność próby 199
Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1)
test z wyrazem wolnym (const)
13
model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e
Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: 0.022
opóźnione różnice: F(3, 194) = 10.546 [0.0000]
estymowana wartość (a-1) wynosi: 0.00402931
Statystyka testu: tau_c(1) = 3.09418
asymptotyczna wartość p = 1
Krok 2: test na pierwiastek jednostkowy dla zmiennej realgdp
Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla procesu realgdp
dla opóźnienia rzędu 2 procesu (1-L)realgdp
liczebność próby 199
Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1)
test z wyrazem wolnym (const)
model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e
Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: 0.002
opóźnione różnice: F(2, 195) = 9.674 [0.0001]
estymowana wartość (a-1) wynosi: 0.00480286
Statystyka testu: tau_c(1) = 3.20683
asymptotyczna wartość p = 1
Krok 3: równanie kointegrujące
Równanie kointegrujące Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1950:1-2000:4 (N = 204)
Zmienna zależna: realcons
współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p
--------------------------------------------------------------const
-149.992
6.49056
-23.11
1.26e-058 ***
realgdp
0.690263
0.00129129
534.6
0.0000
***
Średn.aryt.zm.zależnej 2999.436
Suma kwadratów reszt
305556.9
Wsp. determ. R-kwadrat 0.999294
Logarytm wiarygodności -1035.264
Kryt. bayes. Schwarza
2081.164
Autokorel.reszt - rho1 0.827769
Odch.stand.zm.zależnej
Błąd standardowy reszt
Skorygowany R-kwadrat
Kryt. inform. Akaike'a
Kryt. Hannana-Quinna
Stat. Durbina-Watsona
1459.707
38.89290
0.999290
2074.528
2077.213
0.323727
Krok 4: test na pierwiastek jednostkowy dla zmiennej uhat
Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla procesu uhat
dla opóźnienia rzędu 3 procesu (1-L)uhat
liczebność próby 199
Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1)
model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e
Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: 0.005
opóźnione różnice: F(3, 195) = 2.094 [0.1023]
estymowana wartość (a-1) wynosi: -0.185159
Statystyka testu: tau_c(2) = -4.19058
asymptotyczna wartość p = 0.003719
14
Kointegracja występuje, jeżeli każdy wykorzystywany proces jest I(1),
tzn. hipoteza zerowa o pierwiastku jednostkowym nie jest odrzucana
oraz
proces resztowy(uhat) z równania kointegrującego nie jest
zintegrowany I(0),
tzn. hipoteza zerowa o pierwiastku jednostkowym jest odrzucana.
Polecenie:
Proszę przeanalizować podane wyniki testu kointegracji w gretl, skomentować
a) wartość oceny Krańcowej Skłonności do Konsumpcji
b) wartość oceny wyrazu wolnego
c) możliwość występowania kointegracji.
7. Przykładowe zadania sprawdzające
Zadanie 1.
Analizując związek między pieniądzem m i dochodem y pewien ekonometryk oszacował
metodą najmniejszych kwadratów następujące równanie regresji na podstawie 25 obserwacji
rocznych. (Dane wyrażone są w ujęciu realnym i w logarytmach.)
mt
0,858yt
ut ,
(5,31)
R = 0,80; DW = 0,75; ADF(u) = –1,75; ADF(m) = –3,22; ADF(y) = –4,31.
2
W nawiasie podano wartość statystyki t Studenta, DW jest statystyką Durbina-Watsona
dla reszt, ADF jest wartością rozszerzonego testu Dickeya-Fullera dla odpowiedniej
zmiennej. Wartość krytyczna testu DF wynosi –3,8.
Na podstawie powyższych wyników stwierdzić, czy:
(a) szeregi m i y są zintegrowane tego samego stopnia?
(b) Szeregi m i y są skointegrowane?
(c) Czy ma sens szacowanie modelu dla pierwszych przyrostów, z uwzględnieniem
mechanizmu korekty błędu lub bez niego?
Zadanie 2.
Oszacowano regresję zmiennej Y względem zmiennej X . Zastosowano test DickeyaFullera w celu zbadania niestacjonarności zmiennych oraz reszt regresji. Obliczone
wartości statystyki ADF oraz wartość krytyczna podane są w tabeli:
Dla Y:
Dla X:
Dla reszt regresji: Wartość
krytyczna
0,27
–1,12
–3,91
–3,87
Czy prawdziwe są następujące stwierdzenia? Odpowiedź uzasadnij.
a) Zmienna Y oraz zmienna X są niestacjonarne.
15
b) Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o niestacjonarności reszt regresji.
c) Reszty regresji są stacjonarne, a więc zmienne Y i X są skointegrowane.
IV. Wymagane rezultaty pracy i ich forma
Rezultatem pracy będzie krótki (kilkustronicowy) raport z opisem przeprowadzonych
procedur, zawierający odpowiedzi na postawione pytania.
16