SSgh ct ρ = S S

ZADANIE 1
W cylindrycznym naczyniu o polu przekroju poprzecznego S1 znajduje się ciecz nielepka o
gęstości ρ, wypełniająca naczynie do wysokości h. W dnie naczynia znajduje się otwór o powierzchni
S2, przez który ciecz wypływa. Oszacować czas wypływu cieczy z naczynia.
ODPOWIEDŹ
Ponieważ wypływ odbywa się pod wpływem siły ciężkości, dlatego czas wypływu - oprócz wielkości
występujących w treści zadania - będzie zależał od przyśpieszenia grawitacyjnego g. Zatem
β
δ
ε
t =c ⋅ ρ ⋅ h ⋅ g ⋅ S ⋅ S
α
γ
1
2
Równanie to zapisane za pomocą jednostek miar przyjmie postać:
β
T ( M ⋅ L −3) ⋅ L ⋅ ( L ⋅T −2)
α
=
γ
⋅
( ) (L )
δ
L2 ⋅
2
ε
Jest to równoważne następującemu kładowi równań
T:
M:
L:
Jak łatwo sprawdzić
1 = −2 ⋅ γ
0=α
0 = −3 ⋅ α + β + γ + 2 ⋅ δ + 2 ⋅ ε
α=0
γ = −1 / 2
czyli czas wypływu nie zależy od gęstości. Trzech pozostałych wykładników nie można obliczyć nie
czyniąc dodatkowych założeń. Zróbmy więc następujące założenie: prędkość wypływu nie zależy od
powierzchni otworu. Oznacz to, że czas wypływu jest odwrotnie proporcjonalny do powierzchni otworu S2 (
ε= −1 ), oraz że jest on wprost proporcjonalny do ilości cieczy w naczyniu, co dla ustalonego h oznacza, że
także do S1 ( δ=1 ). To założenie umożliwia obliczenie ostatniego wykładnika. Dostajemy, że β=1/2. Zatem
ostatecznie:
t = c⋅
h
g


⋅  S1 


 S2 
[zadanie oraz odpowiedź zostały zaczerpnięte ze strony domowej dr hab. Janusza Typka z Instytut Fizyki
ZUT w Szczecinie {\tt www.typjan.ps.pl/zz1.doc}]
ZADANIE 3
W cieczy o gęstości ρ i współczynniku lepkości η wypływa pęcherzyk zapełniony gazem o
pomijalnej gęstości i promieniu r. Jaka ustali się prędkość v wypływu tego pęcherzyka ?
ODPOWIEDŹ
Ponieważ ruch pęcherzyka odbywa się w polu grawitacyjnym, to oprócz wielkości wymienionych w
zadaniu, rozpatrzyć także trzeba zależność prędkości od przyśpieszenia grawitacyjne g. Zatem
v= c ⋅ r ⋅ g ⋅ρ ⋅ η
β
α
γ
δ
Równanie powyższe przepisane dla podstawowych jednostek miar przyjmie postać
L⋅T
−1
=
( L ) ⋅ ( L⋅T −2) ⋅ ( M
α
β
⋅L −3) ⋅ ( M ⋅L −1⋅T −1)
γ
δ
Jak łatwo zauważyć mamy cztery niewiadome wykładniki potęgowe i jedynie trzy równania ( dla M, T, i
L ) z których możemy je wyznaczyć.
Spróbujmy zwiększyć ilość równań wprowadzając dodatkową jednostkę miary - siłę. Oznaczmy
jednostkę tej miary jako F. Wtedy równanie (10) przybierze postać
L⋅T
−1
=
(L ) (
α
⋅
) (M
) ( T ⋅F ⋅ L )
β
γ
F ⋅ M −1 ⋅
⋅ L −3 ⋅
−2
δ
Rozpisując je dla poszczególnych jednostek miar dostaniemy
− 1= δ
0 = −β + γ
T:
M:
1= α − 3⋅ γ − 2⋅δ
L:
0 =β+δ
F:
Rozwiązując układ (11) otrzymamy
α=2
β=1
γ =1
δ = −1
Zatem dla prędkości wypływu pęcherzyka uzyskaliśmy następujące równanie
c⋅ g⋅ρ⋅r
=
v
η
2
.
[zadanie oraz odpowiedź zostały zaczerpnięte ze strony domowej dr hab. Janusza Typka z Instytut Fizyki
ZUT w Szczecinie {\tt www.typjan.ps.pl/zz1.doc}]
ZADANIE 4
Śmigłowiec i jego model w skali 1:10 wykonane są z tych samych materiałów. Jaką moc musi mieć
silnik zdolny utrzymać w powietrzu śmigłowiec, jeżeli model utrzymywany jest w powietrzu przez
silnik o mocy Pm=10 W ?
ODPOWIEDŹ
Śmigłowiec utrzymuje się w powietrzu dzięki temu, że odrzuca w dół pewną masę powietrza. Jeżeli w
czasie ∆t śmigło zakreśli powierzchnię S, nadając powietrzu prędkość v, to uzyska ono pęd ∆p równy
∆p=∆m⋅v=∆V⋅ρ⋅v=S⋅v⋅∆t⋅ρ⋅v=v2⋅S⋅ρ⋅∆t
Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona powietrze nada przeciwnie skierowany pęd śmigłowcu.
Zatem siła, z jaką powietrze działa na śmigłowiec jest równa
F=(∆p/∆t)=v2⋅S⋅ρ
Aby śmigłowiec utrzymał się w powietrzu, siła ta musi być równa sile grawitacji działającej na niego
v2⋅S⋅ρ=Μ⋅g
gdzie M jest masą śmigłowca. Z powyższego równania możemy wyznaczyć prędkość v strumienia
powietrza:
M ⋅g
S⋅ρ
v=
Moc silnika śmigłowca obliczymy z równania P=F⋅v. Dlatego
( M ⋅ g) 3
P=v3⋅S⋅ρ=
S⋅ρ
Oznaczając indeksem m wielkości dotyczące modelu śmigłowca dostajemy
3
3
 M   Sm 
 V  S 
P
= 
 ⋅  =   ⋅ m 
Pm
 Mm   S 
 Vm   S 
Zwiększając n razy rozmiar L powodujemy zwiększenie powierzchni n 2 razy oraz zwiększenie objętości
n3 razy. Dlatego
9
2
2
 L   Lm 
P
1
 ⋅ 
= 
 = n9 ⋅   = n7 / 2
Pm
n
 Lm   L 
W naszym przypadku n=10. Dla wartości podanych w zadaniu
P=30⋅107/2=94,868 kW.
[zadanie oraz odpowiedź zostały zaczerpnięte ze strony domowej dr hab. Janusza Typka z Instytut Fizyki
ZUT w Szczecinie {\tt www.typjan.ps.pl/zz1.doc}]