Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I
7. Dynamika ruchu obrotowego
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ŚRODEK MASY
 Każde ciało można traktować jako układ punktów materialnych. Dlatego
pęd ciała możemy obliczyć jako sumę pędów wszystkich punktów
materialnych ciała:
 n 
p   mi vi
i 1
 Podstawiając wyrażenie na prędkość każdego punktu materialnego:
 n



dri
d (mi ri ) d n 
p   mi vi  mi

  mi ri
dt i 1 dt
dt i 1
i 1
i 1
n
n
 Środkiem masy albo środkiem bezwładności układu punktów materialnych
nazywamy punkt, którego położenie dane jest wzorem:
1

rS 
M
(w przypadku „ciągłym”:
n

m
r
 ii
i 1
1


rS    r d r
M
n
gdzie:
M   mi
i 1
, gdzie  jest gęstością ciała)
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ŚRODEK MASY
 Po podstawieniu do wyrażenia na pęd, otrzymamy:

drS
 d


p  MrS   M
 MvS
dt
dt


d
v

 Równanie ruchu środka masy układu:
S
M
 MaS  Fwyp
dt
Środek masy układu porusza się jak punkt materialny, w którym
skupiona jest cała masa układu, i na który działa siła, równa wypadkowej
sił zewnętrznych przyłożonych do układu.
 Środek ciężkości ciała to punkt przyłożenia wypadkowej sił ciężkości („ciężarów”)
wszystkich punktów materialnych ciała. Gdy wielkość g (przyspieszenie grawitacyjne) jest
jednakowa dla wszystkich punktów układu, mamy:
 
rC  rS
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO
 Każde ciało możemy uważać za układ n punktów materialnych, których
suma mas równa się całkowitej masie M ciała:
n
M   mi
i 1
 Ciało doskonale sztywne to takie ciało, w którym odległości między
dwoma dowolnymi jego punktami materialnymi nie zmieniają się w
trakcie ruchu (dalej nazwiemy je ciałem sztywnym lub bryłą sztywną).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO
 Rozważmy ruch ciała sztywnego wokół punktu O, zwanego środkiem obrotu ciała.
Umieśćmy
w tym punkcie początek układu współrzędnych. Niech

Fik oznacza siłę, z jaką k-ty punkt działa na punkt i-ty (siły wewnętrzne) a
Fi wypadkową wszystkich sił zewnętrznych, przyłożonych do punktu i-tego.

Fik
k
 II zasada dynamiki Newtona dla i-tego punktu:
n 

d

mi vi    Fik  Fi
dt
k 1, k i
i
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO

 Mnożymy równanie ruchu stronami wektorowo przez ri :
n 
 d


 
ri  mi vi   ri   Fik  ri  Fi
dt
k 1, k i
 Pochodną względem czasu z lewej strony równania możemy wyłączyć przed
znak iloczynu wektorowego (dlaczego!? – ćwiczenia rachunkowe):
d 
d 

ri  mi vi   Ki
dt
dt

K i nazywamy momentem pędu (krętem) i-tego punktu materialnego względem
osi O.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO
 Moment pędu (kręt) punktu materialnego i względem osi O.
 

Ki  ri  mi vi 

 Moment siły Fi względem punktu O:
  
M i  ri  Fi
czyli: „moment” oznacza (matematycznie) mnożenie lewostronne przez wektor
położenia (promień wodzący)

ri
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO
 Używając opisanej symboliki, możemy zapisać nasze równanie jako:

n 

dK i 
 ri   Fik  M i
dt
k 1, k i
 Dodajemy stronami równania wszystkich punktów materialnych ciała:

n
n 

 n 
dK i
   ri   Fik    M i

i 1 dt
i 1 
k 1, k i
 i 1
n


Mi  M
- to moment główny sił zewnętrznych (wypadkowy)

i 1


n

dK i dK

K to moment pędu ciała względem punktu O

dt
dt
i 1
n
n 


 ri   Fik   0 (dlaczego?! – ćwiczenia rachunkowe)

i 1 
k 1, k i

n
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO
 Ostatecznie:
Szybkość
zmiany


dK
M
dt
momentu
pędu
ciała
obracającego
się
dookoła
nieruchomego punktu równa się wypadkowemu momentowi (względem tego
punktu) wszystkich sił zewnętrznych, przyłożonych do ciała – zasada
dynamiki ruchu obrotowego ciała zamocowanego w jednym, nieruchomym
punkcie.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO
 Załóżmy teraz, że ciało sztywne umocowane jest w dwóch punktach tak,
że może obracać się wokół nieruchomej osi przechodzącej przez te punkty

M
– przyjmijmy, że jest to oś „z”. Wtedy składowe „x” i „y” momentu siły
są
zrównoważone przez siły reakcji zamocowania, a obrót wokół osi „z”
odbywa się pod działaniem składowej M zmomentu sił zewnętrznych:
dK z
 Mz
dt
Szybkość zmiany momentu pędu ciała względem nieruchomej osi obrotu równa
się wypadkowemu momentowi (względem tej osi) sił zewnętrznych działających na
ciało.
z

K
O

F

r

M
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO
 Całkowity moment pędu ciała względem osi „z” jest równy sumie
n
momentów pędu każdego punktu materialnego:
K z   K iz
i 1
We współrzędnych biegunowych:
Kiz  K z cos  i  ri mi vi  cos  i  i mi vi  mi i2
wobec tego całkowity moment pędu ciała:
n
K z    mi i2
i 1
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO
 Wielkość:
n
I z   mi i2
i 1
nazywamy momentem bezwładności ciała względem osi „z”.
 W przypadku granicznym ciała „rozciągłego” sumowanie zastępujemy
całkowaniem:
m
I z    2 dm
0
 Ostatecznie otrzymujemy związek między momentem pędu ciała i prędkością
kątową obrotu:
K z  I z
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO
 Wykorzystanie związku: dK z  M z pozwala
na
wyrażenie
dt
podstawowej zasady dynamiki ruchu obrotowego:
d
d
M z   I z   I z
 I z
dt
dt
Przyspieszenie kątowe ciała sztywnego obracającego się wokół
nieruchomej osi jest wprost proporcjonalne do wypadkowego
momentu (względem tej osi) wszystkich sił zewnętrznych działających
na ciało i odwrotnie proporcjonalny do momentu bezwładności ciała
względem tej osi.
Mz

Iz
F
a
m
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
MOMENT BEZWŁADNOŚCI
 Moment bezwładności jest więc miarą bezwładności ciała w ruchu
obrotowym (analog masy jako miary bezwładności w ruchu postępowym).
 Przykładowe momenty bezwładności brył:
Ciało
Położenie osi
pusty cienkościenny walec o oś symetrii
masie m i promieniu R
pełny walec (tarcza) o masie oś symetrii
m i promieniu R
kula o masie m i promieniu R
oś symetrii
cienki pręt o masie m i oś prostopadła do pręta,
długości L
przechodzi przez jego środek
Moment bezwładności
I  mR 2
I  1 2mR 2
I  2 5mR 2
I  1 12mR 2
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
TWIERDZENIE STEINERA
(TWIERDZENIE O OSIACH RÓWNOLEGŁYCH)
 Załóżmy, że znamy moment bezwładności ciała względem pewnej osi
obrotu, ale ciało obraca się względem innej osi, równoległej do niej:
O’
O
m
d
Moment bezwładności ciała I względem dowolnej osi O równa się momentowi
bezwładności I’ tego ciała względem innej, równoległej do niej osi O’,
powiększonemu o iloczyn masy tego ciała przez kwadrat odległości między tymi
osiami:
2
I  I 'md
Wniosek: Gdy środek masy ciała oddala się od osi obrotu, to moment bezwładności ciała względem tej osi
wzrasta.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU
 Z zasady dynamiki ruchu obrotowego:
wynika wprost:


dK
M
dt



 dK

M  0    0   K   const t 
 dt

Jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych względem nieruchomego
punktu ciała równa się zeru, to moment pędu ciała względem tego
punktu nie zmienia się w czasie.
 Można pokazać, że również: moment pędu zamkniętego układu ciał
względem dowolnego punktu nieruchomego jest stały.
 Podobnie: jeśli siły zewnętrzne dają moment względem nieruchomej osi równy
zeru, to moment pędu ciała względem tej osi nie zmienia się podczas ruchu.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI
 Rozważmy obrót ciała o dowolnym kształcie wokół osi przechodzącej przez
początek układu współrzędnych.
Prędkość i-tego punktu względem początku układu:
  
vi    ri
Stąd wyrażenie na moment pędu całego ciała:
n
n



  
K   ri  mi vi    mi ri    ri 
i 1
i 1
Skorzystamy z tożsamości wektorowej:


 
       
a  b  c  b a  c   c a  b
Podstawiając, otrzymujemy:


n

 2   
K   mi ri  ri ri   
i 1
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI
 Wszystkie punkty mają tę samą prędkość kątową, możemy więc zapisać
powyższe równanie wektorowe jako układ trzech równań dla poszczególnych

składowych
(tu tylko dla „x”):

n
n
 
K x   x  mi ri   mi xi ri   
2
i 1
 Ponieważ:
i 1
 
ri    xix  yi y  ziz
otrzymujemy:
K x  x  mi ri 2  xi2    y  mi xi yi  z  mi xi zi
(znak sumowania po i pominięty dla uproszczenia)
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI
 Podobne równania możemy napisać dla składowych „y” i „z” i ostatecznie
równanie, wiążące wektor momentu pędu K z pseudowektorem prędkości
kątowej ,przyjmie postać:
 I xx
K x , K y , K z    I yx
 I zx
I xy
I yy
I zy
I xz   x 

I yz    y 
 
I zz   z 
 Macierz z prawej strony równania to tensor bezwładności a jego
elementy nazywamy współczynnikami bezwładności lub momentami
bezwładności.
 Tensor bezwładności jest symetryczny, to znaczy:
I xy  I yx
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI
 Wyraz przekątny (tu np. „xx”):
I xx   mi ri 2  xi2    mi  yi2  zi2 
jest sumą iloczynów każdej z mas cząstkowych przez kwadrat jej odległości
od danej osi (tu „x”), więc możemy go nazwać momentem bezwładności
względem tej osi.

 W przypadku ciągłego rozkładu masy z gęstością  r  współczynniki tensora
możemy zapisać w postaci całek, na przykład:

I xx    r r 2  x 2 dV

I xy     r xydV