Nieinercjalne układy odniesienia

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I
4. Nieinercjalne układy odniesienia
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
INERCJALNE UKŁADY ODNIESIENIA
 Układy inercjalne (inercyjne) - układy, do których odnosi się I zasada dynamiki
Newtona: przyspieszenie odosobnionego punktu materialnego równe jest 0 gdy nie
działa na nie żadna siła.
 Wniosek: Dwa inercjalne układy odniesienia mogą się poruszać względem siebie
tylko ruchem postępowym jednostajnym prostoliniowym (na razie bez dowodu).
 Rozpatrzymy dwa układy odniesienia, z których jeden (x,y,z) uważamy za
nieruchomy, podczas gdy drugi (x’,y’,z’) porusza się ruchem postępowym z
prędkością u.
Założenie:
W chwili t=0 początki obu układów
oraz ich osie się pokrywają (r0=0).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
TRANSFORMACJE GALILEUSZA
 Związek między położeniem punktu materialnego w obu układach:
  
r  r 'ut
(w układzie kartezjańskim: układ trzech równań)
Są to tzw. transformacje (przekształcenia) Galileusza.
Uzupełniamy je jeszcze równaniem:
t  t'
 Związki między prędkościami i przyspieszeniami:
Stąd również:
  
v  v 'u
 
F  F'
 
a  a'
Równania Newtona dla punktu materialnego (i układów punktów materialnych)
są jednakowe we wszystkich inercjalnych układach odniesienia – są to tzw.
niezmienniki przekształcenia Galileusza.
 Mechaniczna zasada względności (zasada względności Galileusza):
Jednostajny prostoliniowy ruch układu jako całości nie ma wpływu na bieg
zachodzących procesów mechanicznych.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
NIEINERCJALNE UKŁADY ODNIESIENIA
 Ziemia nie jest układem inercjalnym. Wykonuje ruch
obrotowy wokół swej osi a ponadto obiega Słońce po elipsie.
 W pewnych przypadkach można zaniedbać efekty nieinercjalności
układu odniesienia, związanego z Ziemią (np. ze względu na duży okres
obiegu wokół Słońca, można traktować ruch Ziemi po orbicie
wokółsłonecznej jako postępowy, jednostajny).
 Istnieją jednak zjawiska, które można wytłumaczyć tylko wtedy, gdy
przestanie się zaniedbywać „odstępstwa od inercjalności” układu:
•obrót płaszczyzny wahań wahadła (wahadło Foucault);
•odchylanie się na wschód ciał swobodnie spadających;
•podmywanie jednego z brzegów rzek płynących wzdłuż południków;
•„skręcenie” kierunku wiatrów w niżach i wyżach na obu półkulach.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO
 Rozpatrzmy ruch punktu materialnego M względem dwóch kartezjańskich
układów współrzędnych:
•x, y, z – inercjalny; przyjmiemy, że jest nieruchomy;
ruch ciała względem tego układu nazwiemy ruchem bezwzględnym;
•x’, y’, z’ – nieinercjalny, porusza się dowolnie
względem pierwszego układu; ruch ciała względem
tego układu nazywamy ruchem względnym.
 Położenie punktu M w układzie inercjalnym
wyrażone przez położenie w układzie nieinercjalnym:
   
r  r0  r '  r0  x' iˆ' y' ˆj ' z ' kˆ'
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO
 Prędkość punktu M względem nieruchomego (inercyjnego) układu
współrzędnych nazywamy prędkością bezwzględną:

 dr dx ˆ dy ˆ dz ˆ
v
 i
j k
dt dt
dt
dt
 Biorąc pod uwagę zależność między wektorami
możemy napisać:
    
r i r ' : r  r0  r '




 dr dr0 dr '  dr '
v


 v0 
dt dt dt
dt
gdzie

v0
to prędkość ruchu postępowego ruchomego układu współrzędnych.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO
 Układ nieinercjalny może się poruszać zarówno z prędkością postępową
(zmiany w wartościach x’, y’ i z’) jak i obrotową (zmiany położenia wersorów

iˆ' , ˆj ' , kˆ' w czasie), więc:
  dr '

v  v0 
dt
r '  x' iˆ' y ' ˆj' z' kˆ'
dˆj '
dkˆ' 
   dx' ˆ dy ' ˆ dz ' ˆ   diˆ'
v  v0   i '
j ' k '    x'  y '  z ' 
dt
dt   dt
dt
dt 
 dt
 Prędkość punktu M względem ruchomego układu współrzędnych – prędkość
względna punktu M:
dx' ˆ dy ' ˆ dz ' ˆ

vw 
i '
j ' k '
dt
dt
dt
 Ostatni człon w równaniu, wiążącym prędkości w obu układach, jest równy:
 diˆ'
dˆj '
dkˆ'   
 x'  y '  z '     r '
dt
dt 
 dt
gdzie


oznacza prędkość kątową.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO
 Możemy więc ostatecznie napisać równanie, wiążące ruch punktu w obu
układach jako:
    
 
v  v0    r 'vw  vu  vw

v
gdzie u nazywana jest prędkością unoszenia punktu M – wyraża bowiem
prędkość bezwzględną tego punktu układu ruchomego, przez który w
danym momencie przechodzi rozpatrywany punkt M.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO
 Podobnie jak w przypadku prędkości, należy znaleźć zależności
pomiędzy przyspieszeniami w obu układach.
 
  
v  v0    r 'vw
 Przyspieszenie bezwzględne punktu M to przyspieszenie względem

(nieruchomego) inercjalnego układu odniesienia xyz:
 Różniczkując wyrażenie na prędkość, otrzymujemy:
gdzie




 dv d   dr ' dvw
a 0
 r ' 

dt
dt
dt
dt
 dv
a
dt

dv0 
 a0 - to przyspieszenie ruchu postępowego układu nieinercjalnego;
dt

d  - to przyspieszenie kątowe ruchu obrotowego tego układu.

dt
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO
 Pamiętając, że:
oraz uwzględniając, że:
gdzie:

dr '   
   r 'vw
dt

dvw   
   vw  a w
dt

aw - to przyspieszenie względne punktu M (czyli w układzie x’y’z’)
możemy ostatecznie otrzymać:
  
      
a  a0    r '    r '  2  vw  aw
albo inaczej:
gdzie:
  

a  au  aC  aw
      
au  a0    r '    r '
 

aC  2  vw
to przyspieszenie unoszenia (analogicznie jak prędkośc);
to przyspieszenie Coriolisa
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
KINEMATYKA RUCHU WZGLĘDNEGO
 W przypadku układów inercjalnych, mamy:

a0  0
a więc również:
 
vu  v0


 0
 0

au  0

aC  0
i ostatecznie związki między wielkościami w obu układach upraszczają się do:
 

v  v0  vw
oraz
 
a  aw
czyli transformacji Galileusza.
 W przypadku, gdy układ ruchomy porusza się tylko ruchem postępowym (a
więc nie jest inercjalny, ale się nie obraca!), mamy:
  
v  v0  vw
oraz

  
 dv
a  a0  aw  a0  w
dt
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DYNAMIKA RUCHU WZGLĘDNEGO
 Zasady Newtona nie spełniają się w nieinercjalnych
układach odniesienia!
Przyspieszenie punktu materialnego względem nieinercjalnego układu
odniesienia nie jest bowiem równe stosunkowi wypadkowej wszystkich
sił, jakimi inne ciała działają na ten punkt, do masy tego punktu:

F

aw 
m
Zasady Newtona spełnione są bowiem dla przyspieszenia w układzie
inercjalnym:

 F
a
m
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DYNAMIKA RUCHU WZGLĘDNEGO
 Wyraźmy przyspieszenie względne w układzie nieinercjalnym poprzez
przyspieszenie bezwzględne oraz przyspieszenie unoszenia i Coriolisa:

  
aw  a  au  aC
 Możemy sformułować poprawnie II zasadę dynamiki Newtona jako:
  

maw  F  Fu  FC
gdzie:


Fu  mau


FC  maC
- to siła bezwładności unoszenia;
- to siła bezwładności Coriolisa.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
DYNAMIKA RUCHU WZGLĘDNEGO
 Siły bezwładności rzeczywiście działają na punkt materialny w
układzie nieinercjalnym;
 Można je mierzyć (np. wagą sprężynową);
 Ale nie sposób związać ich z żadnymi ciałami, od których mogłyby
pochodzić!
 Dlatego nie można do nich stosować III zasady dynamiki Newtona.
 Siły bezwładności są więc dla każdego ciała układu siłami zewnętrznymi.
Dlatego:
W nieinercjalnych układach odniesienia nie mają zastosowania zasady
zachowania pędu, momentu pędu i energii.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
NIEZWYKLE WAŻNE
2-2=4
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
SIŁY BEZWŁADNOŚCI
Przypadek I:
Układ porusza się ruchem postępowym z przyspieszeniem

a0  0
W tym przypadku:
przyspieszenie unoszenia:
przyspieszenie Coriolisa:


au  a0

aC  0
Na ciało działa więc tylko:
- siła bezwładności unoszenia:


Fu  ma0
Przykład: winda wznosząca się lub opadająca ruchem jednostajnie
przyspieszonym w kierunku pionowym (nie uwzględniamy ruchu obrotowego
Ziemi). Zawiesimy w niej ciało o masie m na dynamometrze (wadze
sprężynowej).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
SIŁY BEZWŁADNOŚCI

a0
Obserwator nieruchomy:

T

R

P

g


P  mg
- Na ciało działają dwie siły przeciwnie skierowane: ciężar ciała
oraz reakcja

dynamometru R . Wypadkowa tych sił nadaje ciału przyspieszenie a0 . Z II zasady
dynamiki:

 
ma0  mg  R
A siła, która działa na dynamometr (i którą on wobec tego wskaże):


 
T   R  m g  a0 
Jeśli uwolnimy ciało, będzie się ono poruszać pod działaniem
własnego ciężaru, czyli spadać swobodnie z przyspieszeniem:

 P 
a g
m
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
SIŁY BEZWŁADNOŚCI

a0

Fu
 Obserwator ruchomy (w windzie):

T

R

P
„ciało jest nieruchome, więc działające na niego siły się równoważą”
gdzie:

g
  
P  R  Fu  0

Fu jest siłą bezwładności (unoszenia), której istnienie obserwator czuje wszak również na sobie!
 

mg  R  ma0  0


 
a stąd, jak poprzednio, siła, która działa na dynamometr:
T   R  m g  a0 
Biorąc pod uwagę kierunki tych sił i ich wartości:


P
F
Jeśli uwolnimy ciało, będzie się ono poruszać pod działaniem dwóch sił:
oraz u i uzyska
 
przyspieszenie:

P  Fu  
aw 
 g  a0
m
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
SIŁY BEZWŁADNOŚCI
Przypadek II:
Układ obraca się jednostajnie z prędkością kątową

jednostajnym ze stałą prędkością v0 .

0 i porusza się ruchem
W tym przypadku:
przyspieszenie unoszenia:
przyspieszenie Coriolisa:
  

au      r '
 

aC  2  vw
Na ciało działają więc następujące siły bezwładności:
- siła bezwładności unoszenia:

  

Fu  mau  m    r '
liczbowo równa: F  m  i skierowana od osi obrotu na zewnątrz – nazywana
siłą odśrodkową bezwładności;
2
- siła bezwładności Coriolisa:

 
FC  2m  vw 
 
skierowana prostopadle do płaszczyzny, wyznaczonej przez  i v .
w
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
SIŁY BEZWŁADNOŚCI
 Siła odśrodkowa bezwładności
związana jest z obrotem poruszającego się układu.
 Przykłady zastosowań:
- pompy odśrodkowe;
- separatory (np. centryfuga w analizie medycznej);
- odśrodkowy regulator Watta;
 Ale też – konieczność równoważenia sił odśrodkowych przy
projektowaniu szybko wirujących (i o dużych masach, a ściślej: dużych
momentach bezwładności!) części maszyn.
 Siła odśrodkowa bezwładności może też stanowić „namiastkę” siły
grawitacyjnego przyciągania Ziemi w statkach (stacjach) kosmicznych.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
SIŁY BEZWŁADNOŚCI
 Siła Coriolisa
związana jest z ruchem postępowym ciał w układzie obracającym się.
 Przykład:
Ziemia jako obracający się, nieinercjalny układ odniesienia (ruch dobowy, z zachodu na
wschód, z okresem 24 godziny).

N
Swobodny spadek ciała z wieży: następuje
odchylenie miejsca upadku względem pionu,
wyznaczonego przez siły grawitacji, o pewną
wielkość , największą na równiku, zerową
na biegunie.

W

vw

FC
E
h
S
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
SIŁY BEZWŁADNOŚCI
 Obserwator nieruchomy (inercjalny):

P
Siła przyciągania ziemskiego
nadaje ciału przyspieszenie, skierowane
do

środka Ziemi. Jest ona prostopadła do prędkości początkowej ciała v1 (w ruchu
obrotowym), więc nie zmienia wartości tej prędkości. Tymczasem podstawa wieży

ma mniejszą prędkość liniową v0 (bo ma tę samą prędkość kątową):
v1  v0   R  h   R  h
E
i dlatego ciało spadnie na Ziemię na
wschód od wierzchołka wieży.

v0


P
W

v1
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
SIŁY BEZWŁADNOŚCI
Obserwator ruchomy (nieinercjalny):
Na ciało działają
 siły: przyciągania ziemskiego
Coriolisa

P

, siła odśrodkowa Fu
i siła
 

FC . Siły P i Fu powodowałyby pionowe spadanie, ale siła Coriolisa FC,
prostopadła do kierunku prędkości początkowej spadania, powoduje ruch ciała po
paraboli i przesunięcie punktu upadku na wschód.
E
v
W

FC
 
P Fu
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
SIŁY BEZWŁADNOŚCI

Podobieństwo
istniejące
pomiędzy
siłami
bezwładności i siłami grawitacyjnymi: obie są
proporcjonalne do mas punktów materialnych i nadają
im jednakowe przyspieszenie względne.
Wobec tego działanie sił bezwładności na punkt
materialny można zastąpić działaniem równoważnego
im pola ciążenia!
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
SIŁY BEZWŁADNOŚCI
 Zasada równoważności ruchu:
Ruch ciała względem nieinercjalnego układu odniesienia jest
równoważny jego ruchowi względem układu inercyjnego. Ten ruch
zachodzi pod wpływem wszystkich ciał rzeczywiście współdziałających
z danym ciałem a także pod wpływem jakiegoś dopełniającego pola
ciążenia.
Nie jest to stwierdzenie identyczności sił bezwładności i
grawitacyjnych! (Zmiany pola „równoważnego” powinny rozchodzić się
w przestrzeni z prędkością nieskończenie wielką).