metoda obliczania amplitud drgań wymuszonych belek słabo

M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I STOSOWANA
3, 24, (1986)
M E TOD A OBLICZ AN IA AM P LI TU D D RG AŃ WYM U SZON YCH BELEK
SŁABO TŁ U M I ON YC H TARCIEM KON STRU KCYJN YM
WIESŁAW OSTACH OWICZ
D AR I U SZ SZ WED OWIC Z
Politechnika Gdań ska
1. Wstę p
Przedmiotem analizy są drgania wymuszone belek z uwzglę dnieniem pę tli histerezy
w wybranych punktowych elementach skoń czonych (PES). Wystę powanie zjawiska histerezy może być spowodowane przez tarcie suche (Coulomba). Przykł adem mogą być
drgania konstrukcji stalowej gdy materiał ma wł asnoś ci elastoplastyczne.
Podję te zagadnienie rozszerza metodę analizy przedstawioną w pracach Ostachowicza [1 - 3]. W pracach tych rozwią zano problem zagadnienia kontaktowego ukł adów
modelowanych elementami skoń czonymi i sztywnymi brył ami. W pracy Muszyń skiej
i Jones'a [4] przedstawiono rozwią zanie drgań belek wspornikowych z uwzglę dnieniem
sił tarcia Coulomba obcią ż ają cych punktowo konstrukcję . W pracach [1 - 4] przyję to
inny model odkształ cenia punktowych elementów skoń czonych.
Przedstawiona niż ej m etoda umoż liwia analizę konstrukcji o wię kszym stopniu zł oż onoś . ciP odan o algorytm i przykł ady obliczeń. Opisano program komputerowy, który
wykorzystano przy opracowaniu przykł adów.
2. Opis modelu obliczeniowego
Przedstawiono metodę obliczania amplitud drgań poprzecznych belki z uwzglę dnieniem tarcia konstrukcyjnego w kilku podporach. Przyję to, że podpory te są odkształ calne a sił a tarcia wystę puje na powierzchniach dociś nię tych do siebie stał ym naciskiem.
W praktyce inż ynierskiej podpory tego typu spotyka się mię dzy innymi przy instalacji
rurocią gów. M odel dyskretny ukł adu przedstawiono n a rys. 1. Belkę modelowano dwuwę zł owymi elementami skoń czonymi (ES) o dwóch stopniach swobody w wę ź le. Funkcje
kształ tu elementu przyję to jak w pracy D esai [5]. W kilku podporach przyję to punktowe
elementy skoń czone (PES). Wł asnoś ci sprę ż ysto- tł umią ce stosowanego niż ej PEŚ przedstawiono n a rys. 2 (f oznacza przemieszczenie). Równania prostych <Pj, ..., 0Ą opisują
460
W . OSTACH OWICZ, B . SZWED OWICZ
i? l!
—H ~
Rys. 1. Model dyskretny belki. P E S — punktowe elementy skoń czone
Rys. 2. Wł asnoś ci sprę ż ysto- tł umiąe cPES
równania
+ (1- / **) I,
(2.1)
gdzie:
/« = t ga ,
t
cia się prostej 01(C, [j,*, t) z prostą $ ( | ) = f „
przy czym £ 0 oznacza odcię ą punktu przecię
a oznacza maksymalną wartość przemieszczenia. Stosując ekwiwalentną linearyzację
wł asnoś ci sprę ż ysto- tł umią cyc
h PES na podstawie Piszczka [6] otrzymujemy
c* = c+
(2.2)
k* =
gdzie kreska nad wyraż eniem oznacza jego wartość ś rednią, c* jest współ czynnikiem ekwiwalentnego liniowego tł umienia, k* przedstawia współ czynnik ekwiwalentnej liniowej
sztywnoś ci.
M E T O D A OBLICZAN IA AM P LI T U D ... 461
Równania ruchu ukł adu tworzymy wedł ug powszechnie znanych zasad. W pierwszym
etapie formujemy macierze charakterystyczne elementów, to jest macierz bezwł adnoś ci
M e , tł umienia C e i sztywnoś ci K e . W drugim etapie tworzymy macierze globalne M,
C, K i formujemy wektor sił uogólnionych/ . Równania ruchu przyjmują postać
f, (2.3)
gdzie q oznacza wektor współ rzę dnych uogólnionych. Macierz C uzupeł niamy blokami
* — c * l
[ _* Ą
c
c
a macierz sztywnoś ci K blokami
k* - Jfc
gdzie.c* i k* okreś lają zwią zki (2.2). Elementy bloków (2.4) i (2.5) dodajemy zgodnie
z przyję tą numeracją współ rzę dnych uogólnionych okreś lają cych ruch koń có
w PES
Przy zał oż eniu, że ukł ad drgają cy jest sł abo tł umiony i przy mał ej nieliniowoś ci, odkształ cenie PES opisują funkcje typu
1( 0 = a sin p ( 0, gdzie (2.6)
cp{t) = coot+0,
• coo jest czę stoś cią wymuszenia, & ką tem przesunię cia fazowego. Stą d współ czynniki c*
i /c* przyjmują postać
c* = a 2
<L(a»
(2.7)
<a 2>
, gdzie
1
If
0
(2.8)
0
Podstawiają c do (2.8) zwią zki (2.1), po scał kowaniu otrzymujemy
(2.9)
# ( «) =
462 W. OSTACHOWICZ, D . SZWEDOWICZ
gdzie
Zwią zki (2.9) są sł uszne przy a > £ 0 • W przeciwnym przypadku
L(a) = 0,
(2.10)
Wektor wymuszeń / przyjmujemy w postaci
/ = / e xp ( fo > 0 0, ,(2.H )
gdzie / jest wektorem kolumnowym
; - l , . . . , n , / - {fftxpiiVj)}, %
(2.12)
przy czym / / = const. Wektor współ rzę dnych uogólnionych zakł adamy dalej w postaci
q = qtxp(ico0t), (2.13)
gdzie q przyjmuje postać wektora kolumnowego
q - {tfexp(/ 0,)}, ; = 1, .... n, (2.14)
przy czym q} ~ const, <9y oznacza kąt przesunię cia fazowego, n —• liczbę stopni swobody.
Podstawiając do (2.3) zwią zki (2.11) i (2.13) otrzymujemy
(K- o)gM+ to0C)j- / , (2.15)
Z uwagi na to, że niektóre elementy macierzy K i C są funkcjami przemieszczeń koń ców
PES, do rozwią zania równania (2.15) stosujemy procedurę iteracyjną. W pierwszym
kroku iteracyjnym zakł adamy, że współ czynniki tł umienia i sztywnoś ci PES są równe
c
* = c, k* = k. (2.16)
W drugim i dalszych krokach iteracji współ czynniki sztywnoś ci i tł umienia PES obliczamy
z równań (2.7). Istnieje zatem konieczność powtarzania obliczeń (2.13) przy zmianie
macierzy K i C.
3. Opis programu komputerowego
Schemat blokowy programu komputerowego przedstawiono na rys. 3. W programie
H YSTER podajemy parametry fizyczne i geometryczne ukł adu a więc wymiary przekroju
poprzecznego, dł ugoś ci elementów, moduł Younga, gę stość materiał u a także liczbę
elementów skoń czonych N E, liczbę podpór N P , współ czynniki sztywnoś ci i tł umienia
podpór k t i c( oraz £ o i , a ( (patrz rys. 2). Ponadto podajemy amplitudy i czę stośi sił
c
wymuszają cych. Tworzymy kolejno macierze charakterystyczne elementów a n a ich podstawie macierze globalne M, C i K. Wektor/ zawiera amplitudy obcią żń e zewnę trznych
ukł adu. Obliczamy współ czynniki pf w PES i dalej krytyczne obcią ż eni
a pfx. Z kolei
okreś lamy zastę pcze współ czynniki tł umienia cf i sztywnoś ci kf i na ich podstawie tworzymy bloki Cf i Kf, które dodajemy do globalnych macierzy C i K.
M E T O D A OBLICZAN IA AM P L I T U D ...
463
Okreś lamy amplitudy drgań wymuszonych ukł adu q. Amplitudy te oblicza program
SOLVG , który opracowano wedł ug procedury G aussa i przystosowano do rozwią zywania
liniowych ukł adów równań algebraicznych o współ czynnikach zespolonych. Okreś lamy
amplitudy przemieszczeń P ES (a f) i sił y w nich (/>,)• Badamy zbież ność wyników porów-
HYSTER
Tworzenie mocierzy
r
Parametry fizyczne
i geometr. ukł adu
• —
( i O , NE~*)
Tworzenie macierzy charakterystycznych elementu
IM e ] , [ L e ] , IKe]
Tworzenie globalnych
macierzy układu
I K J . I L I , | M ]
Tworzenie wektora
wymuszeń IT ]
_L
i = 1 , NP )
Dodajemy macierze
[CT1.IKT1 do globalnych macierzy[ C),[ K!
Dodojemy współczynniki
sztywnoś ci ki i tłumienia
c; do macierzy[K] i [ Cl
J
1A1- -
Rozwią zujem
y równanie
( [ A] * i u ) 0 [ C ] ) { q } = { T}
- t g «i
i- 1 , NP )
" i I -
K
i goi
< JT- - 1 ? V - Tak
Ul NP )
Okreś ć li amplitudę
przemieszczenia a;
Okreś ć li sił ę w PES
Pi • c? • a;
)- ai MT- 1)
ni- - arcsin
C- , =
2U q)
Rys. 3. Schemat blokowy programu komputerowego
nując współ czynnik <5j z zał oż oną tolerancją wyników £. W przypadku <5j > £ nastę puje
powtórzenie obliczeń przy nowej wartoś ci flf.
Opisany wyż ej program komputerowy napisano w ję zyku F ortran- 4 i uruchomiono
na komputerze ICL- 70.
464
W. OSTACHOWICZ, D . SZWEDOWICZ
4. Przykł ady obliczeń
Obliczono amplitudy drgań poprzecznych belki przedstawionej na rys. 4. Belka podparta jest przegubowo na koń cach a także w dwóch innych punktach, w których wprowadzono PES. Belkę modelowano pię cioma elementami skoń czonymi o jednakowej
dł ugoś ci.
PES
nr 6
PES
nr 2
- 200-
- 2 0 0 —4 . - 2 0 0
1000-
• - 2 0 0-
Rys. 4. Bslka o stał ym przekroju poprzecznym modelowana elementami skoń czonymi (Przykł ad 1)
D o obliczeń przyję o t nastę pują e c dan e:
3
3
— gę stość materiał u
e = 7, 85- 10- kg c m " ,
7
2
— moduł Younga
E - 2,1 • 10 N c m - ,
— czę stość wymuszenia
coo = 400 rad s~\
— amplituda wymuszenia Po = 10.000 N .
N a rys. 5 przedstawiono pę tlę histerezy PES numer 2 i 6 dla / J, = 0,3. N a rys. 6 przedstawiono przemieszczenia i kąt przesunię cia fazowego wę zł ów belki dla kilku wartoś ci £ 0 .
Zbież ność wyników uzyskano w czwartym kroku iteracji. Obliczenia powtórzono przy
podziale belki n a 10 elementów skoń czonych. Wyniki obliczeń róż niły się nie wię cej
niż 1%.
N a rys. 7 przedstawiono belkę o zmiennym przekroju poprzecznym, którą podparto
na koń cach oraz w dwóch P ES. Belkę podzielono n a pięć a w drugiej wersji obliczeń na
t jak poprzednio.
dziesięć elementów skoń czonych. Parametry fizyczne ukł adu przyję o Obliczenia przeprowadzono dla dwóch czę stośi c wymuszeń:
co0 = 350 rad s"1 ,
i
1
co0 = 400 rad s" .
N a rys. 8- 11 przedstawiono wyniki obliczeń belki modelowanej dziesię cioma elementami
skoń czonymi. N a rys. 8 pokazano pę tle histerezy P ES n r 4 i 12 (dla / x = 0,3) a n a rys. 9
amplitudy i ką y t fazowe w wę zł ach dla róż nych wartoś ci £ 0 - N a rys. 10 i 11 przedsta1
wiono wyniki obliczeń dla ukł adu jak wyż ej przy czę stośi cwymuszenia a>0 — 400 rad s"" .
Zbież ność iteracji otrzymano, jak poprzednio, już w czwartym jej kroku. Czas obliczeń
jednego kompletu danych nie przekroczył 90 sek.
jj=0,3iilosc E5=5; przekrój stały
CJJQ= 400 rad/ s
nr
a
histerezy
(ml
(ml
1
0,004
0,04288
2
0,016
0,03593
3
0,020
0,03358
4
0,028
0,03109
PES nr6
- 5
Rys. 5. Pę tle histerezy dla / x = 0,3 w funkcji £ 0 (Przykł ad 1).
(a) PES nr 2
(b) PES nr 6
i—i—r
ju=0,3 i coo=400 rad/ s
ilość ES=5
1
2 4 5 6 O 4
I
I
I
.
15 16 20 24 28 32
Rys. 6. Przemieszczenia i ką y t fazowe wę zł ów dla róż nych wartoś ci | 0 (Przykł ad 1)
[465]
15 M ech. Tcoret. i Stos. 3/ 86
PES
nr 4
PES
nrl2
P=P0 sinoo 0 t
5
42
8 ta
6A
_<ft" w.
- 100- - 100— M 0 0 - - 100- HOO- 4- 100- - 100- 1000-
- 100-
• 100- i
Rys. 7. Belka o zmiennym przekroju poprzecznym modelowana elementami skoń czonymi (Przykł ad 2)
JJ=0,3 ilosc ES=10 przekrój zmienny
(Xi0- 350 rad / s
nr
histerezy
ik
a
Im)
1
0,002
0,007262
2
0,004
0,007055
3
0,006
0,006838
histerezy
Im)
Im)
1
2
0,002
0,01232
0,004
0,01255
3
0,006
0,01216
4
0,008
0,01187
nr
WS.Mt)'
PESnr4
[ mxio" 3 ]
6
a
!m»10
Rys. 8. Pę tle histerezy dla fi = 0,3 w funkcji | 0 (Przykł ad 2 — co0 = 350
\
(a) PES nr 4
(b) PES nr 12
[466]
i—r
i I r
5
1 >
I i i
\wezeł nr10.9.8^|
O
X
vnr7 (PESnr12)\
K
\v
3
,u=0,3; co0 =350 rad/ s
I - J
6
£
I ilość ES=10
\ nr6
\ nr4.3lPESnr4)
\ nr2
swę zeł
" nr 5
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 -
0 10 11
I I 1 2 3 4 I I
i i l i
5 6 7
Rys. 9. Przemieszczenia i ką y t fazowe wę zł ów dla róż nych wartoś ci f0 (Przykł ad 2
rad\
= 350 1
s /
/ J=0,3 ilość ES- 30,przekrój zmienny
OJ 0 =40O r ad / s
nr
histerezy
0,002
a
Im)
0,01057
0,004
0,01031
0,006
0,00990
PESnr4
3
[ mx10" )
6
4
- 12 - 10 - 8 - 6 ^
- 2/
6 8 10
3
Imxio' )
-4
nr
histerezy lm°)
1
0,002
a
Im!
0,01903
2
0,004
0,01855
3
0,006
0,01798
4
0,010
0,01632
5
0,014
0,01624
PESnr12
12
- 16 - 12
12
16
0
lmx10"3
/ rad\
1
Rys. 10. Pę tle histerezy dla fi = 0,3 w funkcji So Przykł ad 2 — w0 = 400 (a) PES nr 4 (b) PES nr 12
[467]
W . OSTACHOWICZ , D . SZWEDOWICZ
468
U =0,3
u/=/,00 rad/ s
ilość elementów ES = 10
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 U 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
/ rad
Rys. 11. Przemieszczenia i ką ty fazowe wę złów dla róż nych wartoś ci f0 Przykł ad 2 — o>0 = 400
s
V Literatura
1. M. MAZURKIEWICZ, W. OSTACHOWICZ, Theory of finite element method for elastic contact problems
of solid bodies, Computer and structures, Pergamon Press, vol. 17, pp. 51 - 59, 1983.
2. W. OSTACHOWICZ, Mixed finite element method for contact problems, Computer and Structures, Pergamon Press, vol. 18, pp. 937 - 945, 1984.
3. W. OSTACHOWICZ, Vibration analysis of structures with elastic contact., Proc. of Sixth World Congress
IF ToMN , Wiley Eastern Ltd., New Delhi, pp. 611- 614, 1983.
, D . I. G . JONES, On discrete modelization of response of blades with slip and hysteretic
4. A. MUSZYŃ SKA
damping, Proc. of Fifth World Congress IF ToM N , ASME, New York, pp. 646 - 649, 1979.
5. C. S. DESAI, Elementary Finite Element Methods, Prentice- Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 1979.
6. K. PISZCZEK, Metody Stochastyczne w Teorii Drgań Mechanicznych, PWN , Warszawa 1982.
P e 3 IO M e
BŁraH CJIEH H K AM nJIH TyjOA BLIHY>KJ];EHHBIX K O J I E B A H H K BAJIOK
C y ^ E T O M KOH C TP yKU ,H OH H OrO TP EH H 5I
B pa6oTe npeflCTaBjieHo aH ann3 Bbniy>i<r(eHHbix Kone6aHHii c yireioM n ewin rH ciepe3H ca B H 36panHWX nynKToBtix KOHCTBMX sneiweHTax (P E S). 3cp(JieKT rncTepe3aca B03HHi<aeT B cnyqae cyxoro Tpeinra
(KyjioiwSa). Banita MoflenapoBaHo Meiofloiw KoHeMiiux sjieiweHTOB. n pefljioKen n biii MCTOA o<ieHt> n p o d
c TO^IKH 3penHH nporpaMMHpoBaHHH anropHTMa Ha aneKTpw- rao- Bw^mcjiHTejiMiyio MauiHuy. IIoKa3aHbi
npHMepbi
469
Summary
METH OD OF D ETERM IN ATION OF TH E F ORCED VIBRATION AMPLITU D E
F OR TH E BEAMS WITH CON STRU CTION AL FRICTION
The object of the paper is to present vibration analysis of beams taking into account the hysteresis
loops inselected modes PES. The occurence of the hysteresis phenomenon may result from Coulomb
friction. The methods of finite elements and rigid finite elements are used for modelling of rea beams.
The method is provided with algorithm and computer programme, with was used in the preparation of
examples.
Praca wpł ynę ł a do Redakcji dnia 20 wrześ nia 1985 roku