Logika i Teoria Mnogo±ci, zagadnienia teoretyczne Rachunek zda

Logika i Teoria Mnogo±ci, zagadnienia teoretyczne
Rachunek zda«
1.1. Prosz¦ poda¢ przykªad wypowiedzi (w j¦zyku naturalnym), która nie jest zdaniem w sensie
logicznym.
1.2. Prosz¦ poda¢ denicj¦ tautologii.
1.3. Prosz¦ poda¢ posta¢ praw de Morgana dla rachunku zda«.
1.4. Prosz¦ poda¢ przykªad napisu zbudowanego ze zmiennych zdaniowych i spójników logicznych, który nie jest formuª¡ (nie jest zgodny z reguªami budowania formuª).
1.5. Prosz¦ poda¢ denicj¦ formuª nierównowa»nych.
1.6. Prosz¦ udowodni¢, »e istnieje
28
nierównowa»nych formuª zbudowanych z trzech zmiennych
zdaniowych.
1.7. Prosz¦ poda¢ denicj¦ funkcjonalnie peªnego (zupeªnego) zbioru spójników logicznych.
1.8. Korzystaj¡c z twierdzenia, »e zbór
»e tak»e zbiór
Γ1 = {∼, ⇒}
Γ = {∼, ∧, ∨}
jest funkcjonalnie peªny prosz¦ udowodni¢,
jest funkcjonalnie peªny.
Rachunek kwantykatorów
2.1. Prosz¦ poda¢ przykªad formy zdaniowej.
2.2. Prosz¦ sformuªowa¢ denicj¦ prawa rachunku kwantykatorów.
2.3. Prosz¦ poda¢ (u»ywaj¡c notacji z kwantykatorami, nie opisu sªownego) denicj¦ formy zdaniowej klasy
T,
klasy
F
i klasy
U
oraz, w ka»dym przypadku, przykªady takich form.
2.4. Prosz¦ poda¢ przykªad form zdaniowych
(a) jest klasy
T,
(b) jest klasy
F,
(c) jest klasy
U.
φiψ
klasy
U
takich, »e forma
φ ⇔ ψ:
2.5. Prosz¦ poda¢ posta¢ (uogólnionych) praw de Morgana dla rachunku kwantykatorów.
2.6. Prosz¦ poda¢ przykªad prawa rozkªadu kwantykatora.
2.7. Prosz¦ poda¢ przykªad prawa rachunku kwantykatorów zawieraj¡cego form¦ zdaniow¡ o liczbie zmiennych wi¦kszej ni» 1.
2.8. Prosz¦ sªownie opisa¢ sens poj¦cia kontrprzykªad.
2.9. Prosz¦ udowodni¢, »e formuªa
∀ x ∃ y : φ(x, y) ⇒ ∃ y ∀ x : φ(x, y)
gdzie
rów.
φ(x, y)
jest form¡ zdaniow¡ dwóch zmiennych,
nie jest prawem rachunku kwantykato-
Formalne systemy dowodznia
3.1. Prosz¦ poda¢ denicj¦ poj¦cia
sekwent.
3.2. Prosz¦ poda¢ (w kontekscie formalnych systemów dowodzenia) denicj¦ poj¦cia
dowód.
3.3. Prosz¦ poda¢ aksjomaty oraz reguª¦ dowodzenia dla systemu Hilberta.
3.4. W Hilbertowskim systemi dowodzenia prosz¦ udowodni¢ (nie korzystaj¡c z twierdzenia o dedukcji) sekwent
∆ ⊢ p → p.
3.5. Prosz¦ poda¢ zaªo»enie i tez¦ twierdzenia o dedukcji.
3.6. Zakªadaj¡c, »e sekwent o postaci
∆, α ⊢ β
jest realizacj¡ jednego z aksjomatów Hilbertow-
skiego systemu dowodzenia, prosz¦ poda¢ (nie korzystaj¡c z twierdzenia o dedukcji) dowód
sekwentu
∆ ⊢ α → β.
Zadanie to jest fragmentem dowodu twierdzenia o dedukcji.
3.7. Prosz¦ wyja±ni¢ sens zdania α jest semantyczn¡ konsekwencj¡ formuª za zbioru
∆.
3.8. Prosz¦ sformuªowa¢ twierdzenie o adekwatno±ci rozszerzonego systemu Hilberta.
3.9. Prosz¦ sformuªowa¢ twierdzenie o peªno±ci rozszerzonego systemu Hilberta.
Rachunek zbiorów
4.1. Prosz¦ przyswoi¢ sobie umiej¦tno±¢ wyznaczania sum, ró»nic, cz¦±ci wspólnych i zbioru podzbiorów dla sko«czonych zbiorów, zdeniowanych przez wyliczenie ich elementów.
4.2. Prosz¦ udowodni¢, »e zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru.
4.3. Niech
A
P (A) zbiorem
takich a i A, aby
b¦dzie zbiorem,
Prosz¦ poda¢ przykªad
4.4. Czy istnieje taki zbiór
A,
podzbiorów
A
a elementem A,
a ∈ P (A).
za±
zachodziªa reacja
dla którego prawdziwa jest relacja
to jest
a ∈ A.
A ∈ P (A)?
4.5. Prosz¦ przedstawi¢ paradoks Russela.
4.6. Prosz¦ poda¢ sformuªowane na wykªadzie aksjomaty teorii mnogo±ci.
4.7. Prosz¦ poda¢ denicj¦ pary uporz¡dkowanej.
4.8. Prosz¦ poda¢ denicj¦ iloczynu kartezja«skiego zbiorów.
Rodziny zbiorów
5.1. Prosz¦ poda¢ denicj¦ indeksowanej rodziny zbiorów.
5.2. Prosz¦ poda¢ denicj¦ sumy i cz¦±ci wspólnej indeksowanej rodziny zbiorów.
5.3. Prosz¦ przygotowa¢ dowody wªasno±ci (1) (11) sum i cz¦±ci wspólnych indeksowanych rodzin
zbiorów z wykªadu 7.
5.4. Prosz¦ sformuªowa¢ i udowodni¢ prawa de Morgana dla indeksowanych rodzin zbiorów.
Funkcje
5.1. Prosz¦ poda¢ dwie równowa»ne denicje relacji na iloczynie kartezja«skim zbiorów
X
i
Y.
5.2. Prosz¦ poda¢ denicj¦ funkcji.
5.3. Prosz¦ poda¢ denicj¦ funkcji ró»nowarto±ciowej (injekcji), surjekcji i bijekcji.
5.4. Prosz¦ udowodni¢, »e zªo»enie dwóch funkcji ró»nowarto±ciowych jest funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡.
5.5. Prosz¦ poda¢ denicj¦ obrazu zbioru oraz obrazu sumy, cz¦±ci wspólnej itp. indeksowanej
rodziny zbiorów wzgl¦dem funkcji
f.
5.6. Prosz¦ poda¢ denicj¦ przeciwobrazu zbioru oraz przeciwobrazu sumy, cz¦±ci wspólnej itp.
indeksowanej rodziny zbiorów wzgl¦dem funkcji
f.
5.7. Prosz¦ opanowa¢ przedstawione na wykªadzie dowody dotycz¡ce zwi¡zków mi¦dzy obrazami
i przeciwobrazami sum (rodzin) zbiorów, cz¦±ci wspólnych (rodzin) zbiorów itp.
5.8. Prosz¦ poda¢ denicj¦ funkcji odwrotnej do danej funkcji
5.9. Prosz¦ udowodni¢ istnienie funkcji odwrotnej do bijekcji
f : X → Y.
f : X → Y.
Relacje, w tym relacje równowa»no±ci
6.1. Prosz¦ poda¢ denicj¦ poj¦cia relacji na iloczynie kartezja«skim zbiorów
X
oraz
Y.
6.2. Prosz¦ poda¢ denicj¦ zªo»enia relacji, relacji przeciwnej do danej i dopeªnienia relacji.
6.3. Prosz¦ poda¢ denicje relacji zwrotnej, symetrycznej i przechodniej; prosz¦ poda¢ przykªady
relacji o tych wªasno±ciach oraz relacji, które tych wªasno±ci nie posiadaj¡ (tj. przykªad relacji
nie b¦d¡cej zwrotn¡ itp.).
6.4. Prosz¦ poda¢ denicj¦ i wybrany przykªad relacji równowa»no±ci.
6.5. Prosz¦ poda¢ denicj¦ klasy abstrakcji dla relacji równowa»no±ci.
6.6. Prosz¦ udowodni¢ twierdzenie mówi¡ce, »e je±li dwie klasy abstrakcji maj¡ chocia» jeden
element wspólny, to s¡ sobie równe.
6.7. Prosz¦ przedstawi¢ podan¡ na wykªadzie konstrukcj¦ liczb caªkowitych jako klas abstrakcji
odpowiedniej relacji równowa»no±ci na zbiorze par liczb naturalnych oraz udowodni¢, »e okre±lone na nich dziaªania dodawania i mno»enia s¡ poprawne (ich wynik nie zale»y od wybory
reprezentanta klasy abstrakcji).