Kolokwium nr 1 Algebry

Kolokwium nr 1 Algebry
1. Rozwi¡za¢ równanie w dziedzinie zespolonej:
a) z 2 + (2i − 1) z − i = 0
b) z 3 − i = 0
√ 35
2. a) Obliczy¢ −1 + i 3
b) Naszkicowa¢ na pªaszczy¹nie zespolonej zbiór punktów speªniaj¡cych warunek: Im
3
1
2
0
b) Rozwi¡za¢ równanie macierzowe:
3. Obliczy¢ wyznacznik: 4. a) Wyznaczy¢
-1 2
0 3
1
0
1
-1
0
-2
2
1
2
0
-1
2
i
z
< 1.
−1
-1 2
0 3
·X =2
1 0
T
+X
5. a) Pytanie teoretyczne (1)
b) Pytanie teoretyczne (2)
Kolokwium 1. Musz¡ by¢ zaliczone zadania: 1a, 2a, 3, 4a, 5-jeden podpunkt.
Przykªady pyta« teoretycznych (1):
1. Poda¢ denicj¦ postaci kartezja«skiej i trygonometrycznej liczby zespolonej.
2. Poda¢ denicj¦ i interpretacj¦ geometryczn¡ moduªu liczby zespolonej.
3. Poda¢ denicj¦ i interpretacj¦ geometryczn¡ argumentu liczby zespolonej.
4. Poda¢ denicj¦ i interpretacj¦ geometryczn¡ sprz¦»enia liczby zespolonej.
5. Poda¢ denicj¦ i interpretacj¦ geometryczn¡ pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej z .
6. Sformuªowa¢ zasadnicze twierdzenie algebry.
Przykªady pyta« teoretycznych (2):
1. Poda¢ cztery wybrane wªasno±ci wyznaczników.
2. Sformuªowa¢ cztery wybrane wªasno±ci dziaªa« na macierzach.
3. Sformuªowa¢ denicj¦ i dwie wªasno±ci macierzy transponowanej.
4. Sformuªowa¢ denicj¦ i dwie wªasno±ci macierzy odwrotnej.
5. Poda¢ cztery wªasno±ci rz¦dów macierzy.
Kolokwium nr 2 z Algebry
1. Rozwi¡za¢ ukªad równa« stosuj¡c twierdzenie Cramera lub Kroneckera-Capellego:

 x + y + 2z = 1
x - 2y + . . . +z+u = 0
x + 2y + 3z = 2
a)
b)
-2x + 4y - z + 4u = 2

2x - y + z = -1
2. a) Niech ~a = [−2, −1, 1], ~b = [2, 0, 1]. Wyznaczy¢ k¡t mi¦dzy wektorami ~a i ~b. Wskaza¢ dwa wektory
równolegªe do wektora ~a oraz wektor prostopadªy do ~a i ~b. Obliczy¢ pole trójk¡ta rozpi¦tego na wektorach
~a i ~b.
b) Napisa¢ równanie pªaszczyzny π1 zawieraj¡cej punkt P = (−3, 0, 2) i prostopadªej do wektora ~n =
[2, 0, 1]. Sprawdzi¢, czy pªaszczyzna ta jest równolegªa/ prostopadªa do pªaszczyzny π2 : 2x + y = 1?
c) Napisa¢ równania parametryczne, kierunkowe i kraw¦dziowe prostej przechodz¡cej przez punkty P =
(−1, 2, 1) i Q = (2, 0, −1).
3. Niech φ(x1 , x2 ) = [x1 − 2x2 , 3x2 ]: Wyznaczy¢ macierz przeksztaªcenia φ, warto±ci wªasne przeksztaªcenia
φ oraz wektory wªasne dla wybranej warto±ci wªasnej λ.
4. a) Pytanie teoretyczne (1)
b) Pytanie teoretyczne (2)
Kolokwium 2. Musz¡ by¢ zaliczone zadania: 1-jeden podpunkt, 2-dwa podpunkty z trzech, 4-jeden podpunkt.
Przykªady pyta« teoretycznych (1):
1. Sformuªowa¢ twierdzenie Cramera.
2. Sformuªowa¢ twierdzenie Kroneckera-Capellego.
3. Poda¢ cztery wªasno±ci rz¦du macierzy.
4. Poda¢ denicj¦ ukªadu jednorodnego. Kiedy taki ukªad posiada rozwi¡zanie niezerowe?
Przykªady pyta« teoretycznych (2): 1. Poda¢ denicj¦ i dwie wªasno±ci iloczynu skalarnego.
2. Poda¢ denicj¦ i dwie wªasno±ci iloczynu wektorowego.
3. Poda¢ denicj¦ i dwie wªasno±ci iloczynu mieszanego.
4. Poda¢ wzór na obj¦to±¢ równolegªo±cianu rozpi¦tego na trzech ró»nych wektorach / pole równolegªoboku
rozpi¦tego na dwóch wektorach.
5. Kiedy dwa wektory/ proste/ pªaszczyzny s¡ równolegªe/prostopadªe?
6. Jak sprawdzi¢ czy trzy punkty s¡ wspóªliniowe?
7. Jak sprawdzi¢ czy trzy wektory s¡ wspóªpªaszczyznowe?