Podróże po Imperium Liczb Część 09. Sześciany, Bikwadraty i

Transkrypt

Podróże po Imperium Liczb
Część 09. Sześciany,
Bikwadraty i Wyższe
Potęgi
Rozdział 1
1. Sześciany
Andrzej Nowicki 24 kwietnia 2012, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow
Spis treści
1 Sześciany
1.1 Cyfry sześcianów . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Lustrzane odbicia sześcianów . . . . . . . . . . . .
1.3 Cyfry sześcianów w różnych systemach numeracji
1.4 Sumy cyfr sześcianów . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Końcowe cyfry sześcianów . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Własności sześcianów . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Istnienie lub nieistnienie pewnych sześcianów . . .
1.8 Różnice dwóch sześcianów . . . . . . . . . . . . .
1.9 Odwrotności sześcianów . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Różne fakty i zadania z sześcianami . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
6
7
8
9
12
13
14
15
15
17
Wszystkie książki z serii ”Podróże po Imperium Liczb” napisano w edytorze LATEX.
Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie
autora: http://www-users.mat.uni.torun.pl/~anow.
1
Sześciany
Każdą liczbę postaci n3 , gdzie n jest liczbą naturalną, nazywamy sześcianem liczby naturalnej lub krótko sześcianem. Poniższa tabela przedstawia sześciany n3 , dla n 6 300.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
1331
1728
2197
2744
3375
4096
4913
5832
6859
8000
9261
10648
12167
13824
15625
17576
19683
21952
24389
27000
29791
32768
35937
39304
42875
46656
50653
54872
59319
64000
68921
74088
79507
85184
91125
97336
103823
110592
117649
125000
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
132651
140608
148877
157464
166375
175616
185193
195112
205379
216000
226981
238328
250047
262144
274625
287496
300763
314432
328509
343000
357911
373248
389017
405224
421875
438976
456533
474552
493039
512000
531441
551368
571787
592704
614125
636056
658503
681472
704969
729000
753571
778688
804357
830584
857375
884736
912673
941192
970299
1000000
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
1030301
1061208
1092727
1124864
1157625
1191016
1225043
1259712
1295029
1331000
1367631
1404928
1442897
1481544
1520875
1560896
1601613
1643032
1685159
1728000
1771561
1815848
1860867
1906624
1953125
2000376
2048383
2097152
2146689
2197000
2248091
2299968
2352637
2406104
2460375
2515456
2571353
2628072
2685619
2744000
2803221
2863288
2924207
2985984
3048625
3112136
3176523
3241792
3307949
3375000
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
5
3442951
3511808
3581577
3652264
3723875
3796416
3869893
3944312
4019679
4096000
4173281
4251528
4330747
4410944
4492125
4574296
4657463
4741632
4826809
4913000
5000211
5088448
5177717
5268024
5359375
5451776
5545233
5639752
5735339
5832000
5929741
6028568
6128487
6229504
6331625
6434856
6539203
6644672
6751269
6859000
6967871
7077888
7189057
7301384
7414875
7529536
7645373
7762392
7880599
8000000
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
8120601
8242408
8365427
8489664
8615125
8741816
8869743
8998912
9129329
9261000
9393931
9528128
9663597
9800344
9938375
10077696
10218313
10360232
10503459
10648000
10793861
10941048
11089567
11239424
11390625
11543176
11697083
11852352
12008989
12167000
12326391
12487168
12649337
12812904
12977875
13144256
13312053
13481272
13651919
13824000
13997521
14172488
14348907
14526784
14706125
14886936
15069223
15252992
15438249
15625000
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
15813251
16003008
16194277
16387064
16581375
16777216
16974593
17173512
17373979
17576000
17779581
17984728
18191447
18399744
18609625
18821096
19034163
19248832
19465109
19683000
19902511
20123648
20346417
20570824
20796875
21024576
21253933
21484952
21717639
21952000
22188041
22425768
22665187
22906304
23149125
23393656
23639903
23887872
24137569
24389000
24642171
24897088
25153757
25412184
25672375
25934336
26198073
26463592
26730899
27000000
6
Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty...
1. Sześciany
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
1.1
Cyfry sześcianów
1.1.1.
(5 + 1 + 2)3 =
512,
(1 + 7 + 5 + 7 + 6)3 = 17576,
(4 + 9 + 1 + 3)3 = 4913,
(1 + 9 + 6 + 8 + 3)3 = 19683,
(5 + 8 + 3 + 2)3 = 5832,
([Je88], [Bedn] 48).
1.1.2. Każdy wyraz następujących ciągów jest sześcianem liczby naturalnej.
(1) 1331, 1030301, 1003003001, . . . ;
113 , 1013 , 100013 , . . . ,
(2) 729, 970299, 997002999, 999700029999, . . . ,
(3)
107811 110778111 111077781111
,
,
,...,
3
3
3
([Mat] 6/1954 102).
([MaS] 2/1998).
([IMO] Longlist 1967, [Djmp] s.42).
1.1.3. Liczby 9261 i 804357 są sześcianami liczb naturalnych:
9261 = 213 ,
804357 = 933 .
Do ich zapisu wykorzystano wszystkie cyfry 0, 1, . . . , 9; każdą jeden raz. Jest to jedyny przykład
tego rodzaju. ([Mon] 47(3)(1940) E377).
1.1.4. Liczby 8 i 24137569 są sześcianami liczb naturalnych:
8 = 23 ,
24137569 = 2893 .
Do ich zapisu wykorzystano wszystkie niezerowe cyfry 1, . . . , 9; każdą jeden raz. Są jeszcze
dwa przykłady tego typu:
8 = 23 ,
32461759 = 3193
oraz
125 = 53 ,
438976 = 763 .
([Mon] 47(3)(1940) E377).
1.1.5. Liczby: 1, 8, 64 i 205379 są sześcianami liczb naturalnych:
1 = 13 ,
8 = 23 ,
64 = 43 ,
205379 = 593 .
Wykorzystano wszystkie cyfry 0, 1, . . . , 9; każdą jeden raz. Nie ma trzech liczb tego rodzaju.
([Mon] 47(3)(1940) E377).
1.1.6. Sześciany 24137569 = 2893 i 32461759 = 3193 zbudowane są z tych samych cyfr.
Podobnie:
42875 = 353 , 54872 = 383 oraz 125 = 53 , 512 = 83 .
([Mon] 47(3)(1940) E377).
1.1.7. Dla każdej liczby naturalnej m istnieje sześcian, którego początkowe cyfry są odpowiednio równe cyfrom liczby m. Podobny fakt zachodzi również dla dowolnych systemów numeracji.
([N-2]).
1. Sześciany
7
1.2
Lustrzane odbicia sześcianów
Jeśli n jest liczbą naturalną, to przez n0 oznaczać będziemy liczbę naturalną powstałą z
cyfr liczby n zapisanych w odwrotnej kolejności. Mówić będziemy w tym przypadku, że n0
jest lustrzanym odbiciem liczby n. Przykłady:
123450 = 54321,
44533770 = 7733544,
921000 = 129.
Takie liczby n0 pojawiły się już w [N-2] i [N-3]. W tym podrozdziale zajmować się będziemy
liczbami postaci n0 , gdzie n będzie sześcianem liczby naturalnej.
Mówimy, że liczba naturalna n jest palindromiczna, jeśli n0 = n. Przykłady liczb palindromicznych: 12321, 341143, 1114111.
1.2.1. Wszystkie palindromiczne liczby postaci n3 dla n < 106 .
13
23
73
113
1013
1113
10013
=
=
=
=
=
=
=
22013
100013
101013
110113
1000013
1011013
1100113
1,
8,
343,
1331,
1030301,
1367631,
1003003001,
=
=
=
=
=
=
=
10662526601,
1000300030001,
1030607060301,
1334996994331,
1000030000300001,
1033394994933301,
1331399339931331.
Pojawiła się liczba 2201. Jest to jedyna znana do tej pory taka liczba naturalna, która
nie jest palindromiczna i ma palindromiczny sześcian.
1.2.2. Każdy wyraz ciągu
1331, 1030301, 1003003001, · · · ,
jest palindromicznym sześcianem. Palindromicznych sześcianów istnieje więc nieskończenie
wiele.
1.2.3.
10113
100113
1000113
1001013
1001113
=
=
=
=
=
1033364331
1334633301 = 11013
1003303631331
1331363033001 = 110013
1000330036301331 1331036300330001 = 1100013
1003033061330301 1030331603303001 = 1010013
1003333697667631 1367667963333001 = 1110013 .
Istnieją sześciany, których lustrzane odbicia są liczbami pierwszymi. Najmniejszym takim
sześcianem jest liczba 53 , której lustrzane odbicie jest liczbą pierwszą 521. Dopisując z prawej
strony zera, otrzymujemy nieskończoną serię sześcianów, których lustrzane odbicia są liczbami
pierwszymi: (53 )0 = (503 )0 = (5003 )0 = · · · = 521. W dalszym ciągu zajmować się będziemy
tylko takimi sześcianami, które nie są podzielne przez 10.
1.2.4. W przedziale [1, 100] istnieją trzy niepodzielne przez 10 liczby naturalne n takie, że
lustrzane odbicie liczby n3 jest liczbą pierwszą. Są to liczby:
5,
52,
89.
W przedziale [1, 1000] takich liczb jest 59, a w przedziale [1, 10 000] jest ich 451.
(Maple).
8
1. Sześciany
1.3
Cyfry sześcianów w różnych systemach numeracji
1.3.1. 33 = 110112 , 23 = 223 .
63
263
1263
6263
31263
156263
1.3.2.
53
173
653
2573
10253
40973
1.3.3.
73
373
2173
12973
77773
466573
2799373
=
=
=
=
=
=
=
13316 ,
10303016 ,
10030030016 ,
10003000300016 ,
10000300003000016 ,
10000030000030000016 ,
10000003000000300000016 .
1.3.4.
33
93
653
733
5133
40973
41613
327693
2621453
2626573
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
338 ,
13318 ,
10303018 ,
13676318 ,
10030030018 ,
10003000300018 ,
10306070603018 ,
10000300003000018 ,
10000030000030000018 ,
10030060070060030018 .
=
=
=
=
=
=
13314 ,
10303014 ,
10030030014 ,
10003000300014 ,
10000300003000014 ,
10000030000030000014 .
1.3.5. (2 + 1 + 0 + 1)3 = 21013 ,
1.3.6.
(2 + 0)3 =
(3 + 1 + 2 +
0)3
(1 + 1 + 1 + 1 +
3)3
(2 + 3 + 1 + 2 +
1)3
=
13315 ,
10303015 ,
10030030015 ,
10003000300015 ,
10000300003000015 ,
10000030000030000015 .
=
=
=
=
=
=
23
43
83
163
503
1003
2003
3443
6883
13763
24023
48043
96083
168083
336163
672323
23
103
383
823
913
7303
65623
66433
590503
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
117 ,
1217 ,
13317 ,
146417 ,
10303017 ,
113333117 ,
1246664217 ,
10030030017 ,
110330330117 ,
1213633631217 ,
10003000300017 ,
110033003300117 ,
1210363036301217 ,
10000300003000017 ,
110003300033000117 ,
1210036300363001217 .
89 ,
13319 ,
832389 ,
10303019 ,
13676319 ,
10030030019 ,
10003000300019 ,
10306070603019 ,
10000300003000019 .
(2 + 0 + 0 + 2 + 2 + 2)3 = 2002223 .
204 ,
31204 ,
= 111134 ,
= 231214 ,
(3 + 3 + 2 + 2 + 0)3 = 332204 ,
(1 + 0 + 2)3 =
1025 ,
(4 + 0 + 2 +
2)3
=
(1 + 0 + 4 + 0 +
4)3
= 104045 ,
(2 + 3 + 4 + 0 +
3)3
= 234035 ,
40225 ,
(3 + 2 + 2 + 4 + 2)3 = 322425 .
(3 + 2 + 1 + 3)3 =
1. Sześciany
9
32136 ,
(2 + 3 + 3 + 4 + 3)3 = 233436 ,
(1 + 0 + 0 + 5 + 5)3 = 100556 ,
(3 + 0 + 5 + 4 + 4)3 = 305446 .
1.3.7.
(1 + 1)3 =
1.3.8.
(1 + 2 +
1)3
(1 + 3 + 3 +
1)3
(2 + 0 + 6 +
1)3
=
= 20617 ,
(4 + 2 +
1)3
(4 + 5 + 6 +
0)3
(5 + 0 + 1 +
=
(1 + 2 + 5 + 6 +
1)3
= 125617 ,
(1 + 4 + 6 + 4 +
1)3
= 146417 .
(4 + 2 + 2 + 5)3 = 42258 ,
(3 + 0)3 =
=
= 45609 ,
50167 ,
(5 + 2 + 7 + 0)3 = 52708 .
(5 + 5 + 5 + 1)3 =
309 ,
4219 ,
36117 ,
6)3
1217 ,
= 13317 ,
1.3.9. (3 + 3 + 0)3 = 3308 ,
1.3.10.
(3 + 6 + 1 + 1)3 =
117 ,
55519 ,
(1 + 7 + 6 + 1 +
8)3
= 176189 ,
(4 + 8 + 8 + 4 +
8)3
= 488489 .
1.4
Sumy cyfr sześcianów
Przez s(n) oznaczamy sumę cyfr liczby naturalnej n.
1.4.1. Niech n ∈ N. Istnieje sześcian liczby naturalnej, którgo suma cyfr jest równa n wtedy
i tylko wtedy, gdy resztą z dzielenia liczby n przez 9 jest 0, 1 lub 8.
D. Niech n = s(a3 ), gdzie a ∈ N. Reszta z dzielenia liczby postaci a3 przez 9 jest równa 0, 1 lub
8. Ponieważ
s(a3 ) ≡ a3 (mod 9),
więc n = s(a3 ) ≡ b (mod 9), gdzie b ∈ {0, 1, 8}.
Niech n będzie dowolną liczbą podzielną przez 9. Wówczas n jest postaci s(a3 ), gdzie a ∈ N. Mamy
bowiem:
3
am = (10m − 1) = |99 {z
. . . 9} 7 |00 {z
. . . 0} 2 |99 {z
. . . 9},
m−1
m−1
3
bm = (10m − 16) = |99 {z
. . . 9} 52 |00 {z
. . . 0} 767 |99 {z
. . . 9} 5904,
m−2
s(am ) = 9 · 2m, dla m > 1
m
m−3
s(bm ) = 9(2m − 1), dla m > 4.
m−4
Ponadto, s(33 ) = s(27) = 9 = 9 · 1, s(39 ) = s(19683) = 27 = 9 · 3 oraz s(97 ) = s(4782969) = 45 = 9 · 5.
Niech n będzie liczbą postaci 9k + 1. W tym przypadku mamy:
3
. . . 0} 26 |99 {z
. . . 9} 73,
am = (10m − 3) = |99 {z
. . . 9} 1 |00 {z
m−1
m
m−2
m−2
3
bm = (10 − 9) = |99 {z
. . . 9} 73 |00 {z
. . . 0} 242 |99 {z
. . . 9} 271,
m−2
m−3
s(am ) = 9(2m − 1) + 1, dla m > 2
s(bm ) = 9(2m − 1), dla m > 3.
m−3
Ponadto, s(73 ) = s(343) = 10 = 9 · 1 + 1, s(13 ) = s(1) = 1 = 9 · 0 + 1 oraz s(133 ) = s(2197) = 19 =
9 · 2 + 1.
Niech n będzie liczbą postaci 9k + 8. W tym przypadku mamy:
3
am = (10m − 2) = |99 {z
. . . 9} 4 |00 {z
. . . 0} 11 |99 {z
. . . 9} 2,
m−1
m−2
3
bm = (10m − 5) = |99 {z
. . . 9} 85 |00 {z
. . . 0} 74 |99 {z
. . . 9} 875,
m−2
m−2
s(am ) = 9 · 2(m − 1) + 8, dla m > 2
m−1
s(bm ) = 9(2m − 1) + 8, dla m > 3.
m−3
Ponadto, s(83 ) = s(512) = 8 = 9 · 0 + 8, s(473 ) = s(103823) = 17 = 9 · 1 + 8 oraz s(953 ) = s(857375) =
35 = 9 · 3 + 8. 10
1.4.2. Jeśli n 6 1000 i n2 = s(n)3 , to n = 1 lub n = 27.
1. Sześciany
([Ibe] 1999).
1.4.3. Liczba n ma 19 cyfr. Wiadomo, że s(n) = 3. Ile może wynosić s(n3 ) ?
Odp. 9, 18 lub 27. ([Fom] 20/73).
1.4.4. Liczby n = 1, 8, 17, 18, 26, 27 spełniają równość
s(n3 ) = n.
Są to wszystkie tego rodzaju liczby naturalne.
D. Załóżmy, że liczba naturalna n spełnia równość s(n3 ) = n. Niech k będzie liczbą cyfr liczby
n. Wtedy 10k−1 6 n < 10k oraz 103(k−1) 6 n3 < 103k . Stąd mamy:
10k−1 6 n = s(n3 ) 6 9 · 3k = 27k < 102 k,
więc 10k−3 < k i stąd k 6 3. Liczba n jest więc mniejsza od 1000. Wystarczy zatem tylko zbadać
wszystkie liczby naturalne co najwyżej 3-cyfrowe. Wśród nich tylko liczby 1, 8, 17, 18, 26, 27 spełniają
rozpatrywaną równość. 1.4.5. Spójrzmy na przykłady:
1 = s(n),
2 = s(n),
3 = s(n),
4 = s(n),
5 = s(n),
6 = s(n),
13
23
33
43
53
63
= s(n3 ),
= s(n3 ),
= s(n3 ),
= s(n3 ),
= s(n3 ),
= s(n3 ),
dla
dla
dla
dla
dla
dla
n = 1;
n = 2 lub n = 11;
n = 111 lub n = 1011;
n = 11011;
n = 1000001010001001;
n = 100000000010000010000100010001.
Czy dla każdej liczby naturalnej m istnieje liczba naturalna n taka, że s(n) = m i s(n3 ) =
m3 ?
1.4.6. Czy stnieje taka liczba naturalna n, że s(n) = 100 oraz s(n3 ) = 1003 ?
([OM] Rosja 2009, citeKWANT 4/2010 s.57).
Odpowiedzi na te pytania są pozytywne. Wynika to z następującego stwierdzenia.
1.4.7. Dla każdej liczby naturalnej m istnieje liczba naturalna n taka, że
s(n) = m
oraz
s(n3 ) = m3 .
D. Przypomnijmy najpierw następujący uogólniony wzór Newtona:
X
(a1 + · · · + am )n =
hi1 , . . . , is iai11 . . . aimm ,
i1 +···+im =n
gdzie
P
oznacza, że sumowanie przebiega wszystkie ciągi nieujemnych liczb całkowitych
i1 +···+im =n
(i1 , . . . , im ) takie, że i1 + · · · + im = n. Występujące tu współczynniki postaci hi1 , . . . , im i są liczbami (naturalnymi) zdefiniowanymi jako
hi1 , . . . , is i =
(i1 + i2 + · · · + is )!
.
i1 !i2 ! . . . is !
1. Sześciany
11
Szczegóły znajdziemy w [N11] w podrozdziale o uogólniononych symbolach Newtona..
Niech teraz m będzie daną liczbą naturalną i niech
n=
m
X
k
m
104 = 104 + 1016 + · · · + 104 .
k=1
Suma cyfr liczby n jest równa m. Podnosząc n do trzeciej potęgi, otrzymujemy:
X
1
2
m
(∗)
n3 =
hi1 , . . . , im i10i1 4 +i2 4 +···+im 4 .
i1 +···im =3
Jeśli i1 , . . . , im są nieujemnymi liczbami całkowitymi, których suma jest równa 3, to są to liczby
mniejsze od 4. Każdy więc uogólniony symbol Newtona hi1 , . . . , im i, występujący w równości (∗), jest
jedną z cyfr 1, 3 lub 6. Z jednoznaczności przedstawienia liczb w systemie numeracji o podstawie 4
wynika, że potęgi dziesiątki, występujące po prawej stronie równości (∗), są parami różne. Liczba n3
zbudowana jest więc z cyfr 0, 1, 3, 6. Zatem
X
X
s(n3 ) =
hi1 , . . . , im i =
hi1 , . . . , im i1i1 1i2 · · · 1im = (1 + 1 + · · · + 1)3 = m3 ,
i1 +···im =3
i1 +···im =3
Mamy więc: s(n) = m oraz s(n3 ) = m3 . Rozpatrzmy ciągi postaci
n, D(n), D(D(n)), D(D(D(n))), · · · ,
gdzie D : N → N jest funkcją przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n sumę jej cyfr
podniesioną do trzeciej potęgi, tzn. D(n) = s(n)3 . Spójrzmy najpierw na kilka przykładów
takich ciągów:
5, 53 , 83 , 83 , 83 , 83 , 83 , 83 , · · · ;
6, 63 , 93 , 183 , 183 , 183 , 183 , 183 , · · · ;
22, 43 , 103 ,
1,
1,
1,
1,
1, · · · ;
3
3
3
3
3
3
49, 13 , 19 , 28 , 19 , 28 , 19 , 283 , · · · ;
59, 143 , 173 , 173 , 173 , 173 , 173 , 173 , · · · ;
899, 263 , 263 , 263 , 263 , 263 , 263 , 263 , · · · ;
999, 273 , 273 , 273 , 273 , 273 , 273 , 273 , · · · .
W każdym z tych ciągów pojawił się wyraz należący do zbioru {13 , 83 , 173 , 183 , 193 , 263 , 273 }.
Udowodnimy, że tak jest zawsze.
1.4.8. Niech D : N → N będzie funkcją określoną wzorem
D(n) = s(n)3 ,
dla n ∈ N.
Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba naturalna k taka, że Dk (n) jest jedną z liczb:
13 , 83 , 173 , 183 , 193 , 263 , 273 .
D. (1). Najpierw udowodnimy, że jeśli m > 7 jest liczbą naturalną, to
(9m)3 < 10m−1 .
Zrobimy to metodą indukcji matematycznej ze względu na m. Dla m = 7 mamy: (9m)3 = 250047 <
106 = 10m−1 . Niech m > 7 i niech (9m)3 < 10m−1 . Wtedy
3
m 3
8
512 m−1
9(m + 1) 3 6 93 (m +
= 93
m3 <
10
< 10 · 10m−1 = 10m ,
7
7
343
12
1. Sześciany
a zatem, (9(m + 1))3 < 10(m+1)−1 i to kończy nasz indukcyjny dowód.
(2). Teraz wykżemy, że jeśli n > 106 , to D(n) < n. Załóżmy, że n > 106 i niech m będzie liczbą
cyfr liczby n. Wtedy m > 7 oraz 10m−1 6 n. Korzystamy z nierówności udowodnionej w punkcie (1)
i mamy:
D(n) = s(n)3 6 (9m)3 < 10m−1 6 n,
a więc D(n) < n.
(3). Teraz wystarczy zbadać tylko te wszystkie liczby naturalne n, które są mniejsze od 106 . W tym
celu wystarczy tylko zbadać wszystkie sześciany mniejsze od 106 , czyli liczby 13 , 23 , . . . , 993 . Sprawdzamy to na przykład za pomocą komputera. W każdym przypadku widzimy, że zachodzi rozważana
teza. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
1.5
Końcowe cyfry sześcianów
1.5.1. Niech cp , cp−1 , . . . , c1 , c0 (gdzie p > 0) będzie ciągiem cyfr układu dziesiętnego, przy
czym nwd(c0 , 10) = 1. Istnieje wtedy liczba naturalna n taka, że końcowymi cyframi liczby n3
są odpowiednio cyfry cp , cp−1 , . . . , c0 . ([OM] Ukraina 1998).
D. Indukcja ze względu na p > 0. Dla p = 0 jest to oczywiste, gdyż 13 = 1, 73 = 243, 33 = 27
oraz 93 = 729.
Niech p > 0 i załóżmy, że (cp , . . . , c1 , c0 ) jest danym ciągiem cyfr takim, że nwd(c0 , 10) = 1. Na
mocy indukcji istnieje liczba naturalna m taka, że końcowe cyfry liczby m3 tworzą ciąg (cp−1 , cp−2 , . . . ,
c1 , c0 ). Niech a będzie cyfrą liczby m3 stojącą na p-tym (licząc od końca) miejscu, tzn. m3 =
. . . acp−1 cp−2 . . . c1 c0 . Niech b ∈ {0, 1, . . . , 9} będzie taką cyfrą, że a + b ≡ cp (mod 10).
Ponieważ ostatnią cyfrą liczby m jest 1, 3, 7 lub 9, więc ostatnią cyfrą liczby 3m2 jest 3 lub 7.
Istnieje zatem liczba k ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} taka, że ostatnią cyfrą liczby 3m2 k jest b. (Mamy bowiem,
modulo 10, następujące równości: 0 · 3 = 0, 1 · 3 = 3, 2 · 3 = 6, 3 · 3 = 9, 4 · 3 = 2, 5 · 3 = 5, 6 · 3 = 8,
7 · 3 = 1, 8 · 3 = 4, 9 · 3 = 7 oraz 0 · 7 = 0, 1 · 7 = 7, 2 · 7 = 4, 3 · 7 = 1, 4 · 7 = 8, 5 · 7 = 5, 6 · 7 = 2,
7 · 7 = 9, 8 · 7 = 6, 9 · 7 = 3.)
Niech n = m+10p k. Wtedy n3 = m3 +3m2 k ·10p +3mk 2 102p +k 3 103p i jest oczywiste, że końcowe
cyfry liczby n3 tworzą ciąg (cp , cp−1 , . . . , c1 , c0 ). 1.5.2. Znaleźć liczbę naturalną n taką, że końcowe cyfry liczby n3 tworzą liczbę 19981997.
Odp. n = 43691413, n3 = 83404267142141019981997. ([OM] Ukraina 1998).
1.5.3. Przykłady liczb naturalnych n takich, że końcowe cyfry liczby n3 tworzą daną liczbę m.
m
n
n3
1997
1413
2821151997
19981997
43691413
83404267142141019981997
199919981997
552743691413 168877341551614637488967199919981997
1999
3999
63952011999
19991999
2663999
18906109653319991999
19981999
75993999
438872022882520119981999
9999999
9999999
999999700000029999999
1234554321
5329817841
151403912720127257101234554321
123456789
464658829
100323478236586978123456789
12345678987654321 80608557871517841
. . . 6012345678987654321
987654321
871517841
661955578081361127987654321
20022003
71680587
368302493763542720022003
(Maple i dowód 1.5.1).
1. Sześciany
13
1.5.4. Jeśli liczba naturalna n ma w zapisie dziesiętnym na końcu s dziewiątek, to liczba n3
ma na końcu co najmniej s dziewiątek.
1.5.5. Jeśli ostatnią cyfrą liczby n3 jest 5, to przedostatnią cyfrą tej liczby jest 2 lub 7.
1.5.6.
(1) Jeśli dwie ostatnie cyfry liczby n3 tworzą liczbę 25, to trzy ostatnie cyfry tej liczby
tworzą liczbę 125 lub 625.
(2) Jeśli dwie ostatnie cyfry liczby n3 tworzą liczbę 75, to trzy ostatnie cyfry tej liczby
tworzą liczbę 375 lub 875.
(3) Trzy ostatnie cyfry liczby n3 tworzą liczbę 125 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 40k + 5.
1.5.7. Liczba n3 nie może mieć w zapisie dziesiętnym końcówki 14375, To samo z końcówkami: 14375, 10625 oraz 11875.
1.6
Własności sześcianów
1.6.1. Każda liczba postaci n3 jest sumą n kolejnych liczb nieparzystych.
([WyKM] 156-52).
D. 23 = 3 + 5, 33 = 7 + 9 + 11, 43 = 13 + 15 + 17 + 19, · · · . Niech a = n(n − 1). Wtedy
(a + 1) + (a + 3) + · · · + (a + 2n − 1) = n3 . 1.6.2. Z równości
3
n =
n(n + 1)
2
2
−
n(n − 1)
2
2
wynika, że każdy sześcian liczby naturalnej jest różnicą dwóch liczb kwadratowych.
([S50] 510).
1.6.3. W ciągu kolejnych liczb naturalnych 1, 2, 3 . . . wykreślamy co trzecią liczbę. W nowym
ciągu 1, 2, 4, 5, 7, 8, . . . każdy wyraz zastępujemy sumą tego wyrazu i wszystkich poprzedzających go wyrazów. W nowym ciągu 1, 3, 7, 12, 19, 27, 37, 48, 61, . . . wykreślamy co drugi wyraz
i następnie każdy wyraz nowego ciągu zastępujemy sumą tego wyrazu i wszystkich go poprzedzających. Otrzymany w ten sposób ciąg jest ciągiem wszystkich kolejnych sześcianów liczb
naturalnych. ([Mat] 1-2/1955 78).
x2 + y 2 + 6
x2 + y 2 + 6
są całkowite, to
jest sześcianem liczby
xy
xy
całkowitej. ([OM] Estonia 1996, [Pa97]).
1.6.4. Jeśli liczby x, y i
1.6.5. Niech a, b, c ∈ Z. Jeśli nwd(a, c) = 1 i bc(a2 − b2 ) = a(c2 − b4 ), to a jest sześcianem.
([MG] 88(511)(2004) s.166).
14
1. Sześciany
1.6.6. Jeśli x, y, z, a, b, c są niezerowymi liczbami takimi, że x + y + z = a + b + c = 0, to
a3 + b3 + c3
abc
=
.
x3 + y 3 + z 3
xyz
([Dlt] 4/1999).
1.6.7. Niech a ∈ N i niech xn = n3 + a dla n ∈ N. Wtedy:
(1) nwd xn , xn+1 , xn+2 = 1 dla n ∈ N;
(2) jeśli a jest sześcianem, to istnieje n takie, że nwd(xn , xn+1 ) > 1;
(3) nie istnieje takie a, że nwd(xn , xn+1 ) = 1 dla każdego n ∈ N;
(4) jeśli p jest liczbą pierwszą dzielącą nwd(xn , xn+1 ) dla pewnego n, to p | 27a2 + 1.
([Kw] 5/1999 M1680).
1.7
Istnienie lub nieistnienie pewnych sześcianów
1.7.1. Dla każdej liczby naturalnej n > 32 pomiędzy liczbami n i 2n istnieje co najmniej
jeden sześcian liczby naturalnej. ([Mat] 5/1952 55, [S64] 167, [S68] 102).
D. Zauważmy najpierw, że jeśli k > 4, to (k+1)3 < 2k3 . Istotnie: 2k3 −(k+1)3 = k3 −3k2 −3k−1 >
3
k − 3k 2 − 4k = k(k − 4)(k + 1) > 0.
Jeśli 33 6 n < 64, to n < 43 < 2n. Niech teraz n > 64 i niech k będzie największą liczbą naturalną
taką, że k 3 6 n. Wtedy (k + 1)3 > n oraz k > 4. Mamy zatem: n < (k + 1)3 < 2k 3 6 2n. 1.7.2. Dla każdej liczby naturalnej n > 9 pomiędzy liczbami n i 3n istnieje co najmniej
jeden sześcian liczby naturalnej. ([AndG] 63).
1.7.3. Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych a, b takich, że liczby
a−b
są sześcianami liczb całkowitych.
i
a2 + 3b2 + 1
([OM] St Petersburg 1997).
1.7.4. Istnieje nieskończenie wiele sześcianów postaci 7n + 7m , gdzie n i m są różnymi liczbami naturalnymi. Każda bowiem liczba
71+3s + 73s
jest sześcianem równym (2 · 7s )3 .
1.7.5. Istnieje nieskończenie wiele sześcianów postaci 26n + 26m , gdzie n i m są różnymi
liczbami naturalnymi. Każda bowiem liczba
261+3s + 263s
jest sześcianem równym (3 · 26s )3 .
1.7.6. Jeśli w nieskończonym postępie arytmetycznym o wyrazach naturalnych istnieje sześcian liczby naturalnej, to takich sześcianów w tym postępie istnieje nieskończenie wiele.
1. Sześciany
15
1.7.7. Nie ma trzech różnych sześcianów liczb naturalnych tworzących postęp arytmetyczny.
([S59] 130).
1.7.8 (Maple). Przykłady trójek (a, b, c), liczb naturalnych takich, że a < b < c i wszystkie
liczby
ab + c, bc + a, ca + b,
są sześcianami.
(1, 2, 62), (1, 21, 195), (1, 27, 37), (1, 37, 475),
(2, 15, 34), (2, 17, 30),
(3, 10, 34),
(5, 29, 367),
(8, 27, 296), (8, 37, 216),
(9, 20, 36),
(10, 15, 66),
(12, 19, 115), (12, 39, 44).
1.8
Różnice dwóch sześcianów
1.8.1. 721 = 163 − 153 = 93 − 23 , 728 = 123 − 103 = 93 − 13 .
([Mat] 3/1984 180).
1.8.2. Liczba 721 jest najmniejszą liczbą naturalną mającą dwa różne rozkłady na różnicę
dwóch sześcianów liczb naturalnych. ([Mat] 3/1984 180).
1.8.3. 3367 = 153 − 23 = 163 − 93 = 343 − 333 .
([Mat] 3/1984 180).
1.8.4. 1723 − 1353 = 1443 − 713 = 1383 − (−1)3 .
([Dlt] 4/2001 6-7).
1.8.5. Niech x ∈ Z. Jeśli (x + 1)3 − x3 = n2 dla pewnego naturalnego n, to
n = a2 + (a + 1)2
dla pewnego a ∈ Z. Przykład: 83 − 73 = 132 , 13 = 22 + 32 .
([IMO] Longlist 1971).
F A. Górski, Trzy równe różnice dwóch sześcianów, [Dlt] 4/2001 6-7.
1.9
Odwrotności sześcianów
Odwrotnościami sześcianów zajmowaliśmy sią już w pierwszej książce serii ”Podróże po
Imperium Liczb” [N-1] (lub [N-1a]). W tym podrozdziale przypominamy tylko pewne zagadnienia pochodzące z tej książki.
1.9.1. Równanie
1
1
1
+ 3 = 3 nie ma rozwiązań naturalnych.
3
x
y
z
D. Przypuśćmy, że takie naturalne rozwiązanie (x, y, z) istnieje. Wtedy po pomnożeniu stronami
przez (xyz)3 otrzymujemy równość (yz)3 + (xz)3 = (xy)3 . Dobrze wiadomo jednak, że równanie
x3 + y 3 = z 3 nie ma rozwiązań naturalnych. 16
1.9.2.
1
1
1
+ 3 = 2,
3
2
2
2
1.9.3. Równanie
1
653
+
1
2603
=
1
5202 ,
1. Sześciany
1
1
1
+
=
.
3
3
(4 · 13 · 61)
(9 · 13 · 61)
(8 · 27 · 13 · 61)2
1
1
1
+
= 2 ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych.
x3 y 3
z
1.9.4. Jeśli x, y, z są liczbami naturalnymi takimi, że
1
1
1
+ 3 = 2 , to nwd(x, y) > 2.
3
x
y
z
1
1
1
1
1.9.5. 3 + 3 + 3 = 3 . Zauważmy, że nwd(9, 12, 72) = 3 oraz 3 - 8. Inne przykłady
9
12
72
8
tego typu:
1
1
1
1
(1)
+
+
= 3 , nwd(95, 171, 570) = 19 oraz 19 - 90.
3
3
3
95
171
570
90
1
1
1
1
+
+
=
, nwd(140, 170, 340) = 10 oraz 10 - 119.
(2)
3
3
3
140
170
340
1193
1
1
1
1
(3)
+
+
=
, nwd(120, 252, 266) = 2 oraz 2 - 171. (Maple).
3
3
3
120
252
266
1713
1.9.6. Równanie
1
1
1
1
+ 3 + 3 = 3 ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych.
3
x
y
z
t
D. Z poprzednich przykładów wynika, że co najmniej jedno rozwiązanie naturalne (x, y, z, t)
istnieje. Każda więc czwórka postaci (ax, ay, az, at), gdzie a ∈ N, też jest rozwiązaniem naturalnym
rozpatrywanego równania. 1
1
1
1
+ 3 + 3 = 3.
3
12
15
20
10
Równość tę otrzymujemy dzieląc obie strony znanej równości 33 + 43 + 53 = 63 przez 603 .
Istnieje więc rozwiązanie naturalne równania
1.9.7.
1
1
1
1
+ 3+ 3 = 3
3
x
y
z
t
takie, że nwd(x, y, z) = 1. Czy istnieje inne tego typu rozwiązanie naturalne? Nie znam
odpowiedzi na to pytanie. (15.02.2008).
1.9.8. Dla każdej liczby naturalnej s > 3 równanie
wiele rozwiązań naturalnych.
1.9.9.
1.9.10.
1
1
1
5
+ 3 + ··· + 3 < .
3
1
2
n
4
([IMO] Longlist 1969, [OM] Grecja 2005).
1
1
1
1
+ 3 + ··· + 3 < .
3
3
4
n
12
1.9.11.
([S64] 151).
1−
1
23
1−
1
33
1
1
1
= 3 + · · · + 3 ma nieskończenie
xs
x30
x1
1−
([OM] Irlandia 1990).
1
1
··· 1 − 3
3
4
n
1
> .
2
([IMO] Longlist 1971).
Sześciany, bikwadraty...
1. Sześciany
17
1.10
Różne fakty i zadania z sześcianami
1.10.1. Cztery różne przedstawienia liczby 1025 w postaci x2 + y 3 :
1025 = 322 + 13 = 312 + 43 = 302 + 53 = 52 + 103 .
([MG] 529(2010) 167).
1.10.2 (Maple). Cztery różne rozkłady postaci x2 + y 3 .
65537 =
2562 + 13 =
2552 + 83 =
2192 + 263 =
1222 + 373 ,
105633 =
3252 + 23 =
3032 + 243 =
2642 + 333 =
1432 + 443 ,
183185 =
4282 + 13 =
2932 + 463 =
2562 + 493 =
872 + 563 ,
12730625 = 35682 + 13 = 34252 + 1003 = 33972 + 1063 = 21752 + 2003 .
1.10.3. 16257025 = 40322 +13 = 34302 +1653 = 26452 +2103 = 25412 +2143 = 7952 +2503 ;
pięć różnych rozkładów postaci x2 + y 3 . (Maple).
1.10.4. 28344977 = 53242 +13 = 53232 +223 = 53102 +533 = 47652 +1783 = 40992 +2263 =
33722 + 2573 ; sześć różnych rozkładów postaci x2 + y 3 . (Maple).
1.10.5. Jeśli f (x) = 13x2 − 13x + 1, to liczby
f (−1),
są sześcianami.
f (0),
f (1),
f (2)
(L. Kurlandczyk 1999).
1.10.6. Znaleźć wszystkie pary (a, b) liczb naturalnych, dla których liczby
a3 + 6ab + 1,
są sześcianami. Odp. (a, b) = (1, 1).
b3 + 6ab + 1
([OM] Polska 1999/2000).
1.10.7. Dla dowolnej liczby rzeczywistej r > 0 istnieją liczby naturalne a i b takie, że
b3 < a2 < b3 + rb.
([IMO] Shortlist 1999, [Zw] 2001).
F Agnieszka Bajak, Wykresy płaskich krzywych algebraicznych trzeciego i czwartego stopnia, [Pmgr]
1999.
18
Sześciany, bikwadraty...
1. Sześciany
Literatura
[AndG] T. Andreescu, R. Gelca, Mathematical Olympiad Challenges, Birkhäuser, Boston - Basel Berlin, 2004.
[Bedn] W. Bednarek, Zbiór Zadań dla Uczniów Lubiących Matematykę, Gdańskie Wydawnictwo
Oświatowe, Gdańsk, 1995.
[Djmp] D. Djukić, V. Janković, I. Matić, N. Petrović, The IMO Compendium. A Collection of Problems Suggested for the International Mathematical Olympiads: 1959-2004, Problem Books in
Mathematics, Springer, 2006.
[Dlt]
Delta, popularny polski miesięcznik matematyczno-fizyczno-astronomiczny.
[Fom] D. V. Fomin, Sankt-Petersburskie Olimpiady Matematyczne (po rosyjsku), Politechnika, SanktPetersburg, 1994.
[Ibe]
Iberoamerican Mathematical Olympiad.
[IMO] Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna.
[Je88] S. Jeleński, Śladami Pitagorasa, wydanie 8, PSiP, Warszawa, 1988.
[Kw]
Kwant, popularne czasopismo rosyjskie.
[MaS] Matematyka w Szkole, popularne czasopismo rosyjskie.
[Mat] Matematyka, polskie czasopismo dla nauczycieli.
[MG] The Mathematical Gazette, angielskie popularne czasopismo matematyczne.
[Mon] The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America.
[N-1]
A. Nowicki, Liczby Wymierne, Podróże po Imperium Liczb, cz.1, Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn. Wydanie pierwsze 2008; Wydanie drugie 2012.
[N-1a] A. Nowicki, Liczby Wymierne, Podróże po Imperium Liczb, cz.1. Wydanie drugie. Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn, 2012.
[N-2]
A. Nowicki, Cyfry Liczb Naturalnych, Podróże po Imperium Liczb, cz.2, Wydawnictwo
OWSIiZ, Toruń, Olsztyn. Wydanie pierwsze 2008; Wydanie drugie 2012.
[N-3]
A. Nowicki, Liczby Kwadratowe, Podróże po Imperium Liczb, cz.3, Wydawnictwo OWSIiZ,
Toruń, Olsztyn. Wydanie pierwsze 2009; Wydanie drugie 2012.
[N11] A. Nowicki, Silnie i Symbole Newtona, Podróże po Imperium Liczb, cz.11, Wydawnictwo
OWSIiZ, Toruń, Olsztyn, 2011.
[OM] Olimpiada Matematyczna.
[Pa97] H. Pawłowski, Zadania z Olimpiad Matematycznych z Całego Świata, Tutor, Toruń, 1997.
[Pmgr] Praca magisterska, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu, Wydział Matematyki i Informatyki.
[S50]
W. Sierpiński, Teoria Liczb, Warszawa - Wrocław, 1950.
[S59]
W. Sierpiński, Teoria Liczb II, PWN, Warszawa, 1959.
[S64]
W. Sierpiński, 200 Zadań z Elementarnej Teorii Liczb, Biblioteczka Matematyczna 17, PZWS,
Warszawa, 1964.
[S68]
W. Sierpiński, Arytmetyka Teoretyczna, (wydanie 4), Biblioteka Matematyczna 7, PWN, Warszawa, 1968.
[WyKM] W. A. Wyszenskij, I. W. Kartaszow, W. I. Michaiłowskij, M. I. Jadrenko, Zbiór Zadań
Kijowskich Olimpiad Matematycznych (po rosyjsku), 1935-1983, Kijów, 1984.
[Zw]
Zwardoń, Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej.

Podróże po Imperium Liczb Część 09. Sześciany, Bikwadraty i

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zestawy I

Największy wspólny dzielnik

Zestaw zadań - Konkurs Gier Matematycznych i Logicznych

C i ą g ó w k a Zaczynając od wyróżnionej litery i poruszając się

Liga Zadaniowa – województwo kujawsko

KANGUR 2012

Załącznik nr 4 Są liczby, które dla Chińczyków mają szczególne