Kierunek: BUDOWNICTWO

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: stacjonarne drugiego stopnia
Kierunek: MATEMATYKA
Rok akad.: 2010/2011
Przedmiot kierunkowy
Przedmiot: : GEOMETRIA RÓŻNICZKOWA
Rok studiów:
Semestr:
II
3
ECTS:3
Rodzaj zajęć:
W
Ć
Liczba godzin w semestrze:
30
15
S
L
Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne
Analiza I,II,III, Algebra liniowa, Geometria krzywych i powierzchni
Założenia i cele przedmiotu
Celem przedmiotu jest wprowadzenie do współczesnej geometrii różniczkowej i w szczególności do
współczesnej geometrii riemannowskiej.
Metody dydaktyczne
Tradycyjny wykład przy tablicy, na ćwiczeniach rozwiązywanie zadań rachunkowych z zakresu
wyłożonego materiału
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
Kartkówki i kolokwium zaliczeniowe pisemne
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
1. Wiadomości wstępne.
Pojęcie rozmaitości, mapa, atlas, podrozmaitości, odwzorowania gładkie, submersja, immersja.
2. Wiązki wektorowe.
Wiązki styczna i kostyczna, pola wektorowe i tensorowe, grupa jednoparametrowa pola
wektorowego, formy różniczkowe, różniczka zewnętrzna, pochodna Liego.
3. Koneksja liniowa na wiązce wektorowej.
Tensory krzywizny i torsji i ich interpretacja geometryczna, geodezyjne, współrzędne normalne,
tożsamości Bianchi.
4. Geometria Riemanna.
Przestrzeń Riemanna, koneksja Leviego-Civity, krzywizna sekcyjna, rozmaitości o stałej
krzywiźnie sekcyjnej, metryka w przestrzeni Riemanna, tw. Hopfa-Rinowa
Ćwiczenia audytoryjne
1. Konstrukcja atlasów na rozmaitościach, obliczanie rzędu odwzorowań gładkich, konstrukcja podrozmaitości za pomocą submersji.
2. Konstrukcja wiązki stycznej, budowanie przykładów wiązek trywialnych i nietrywialnych, obliczanie grup jednoparametrowych pól wektorowych.
3. Obliczanie współczynników koneksji we współrzędnych lokalnych, obliczanie geodezyjnych we
współrzędnych lokalnych.
4. Wyznaczanie koneksji Leviego-Civity dwuwymiarowych przestrzeni o stałej krzywiźnie, obliczanie
współrzędnych lokalnych tensora krzywizny, obliczanie krzywizny sekcyjnej.
Laboratorium:
Wykaz literatury podstawowej:
[1] A. Besse, Einstein manifolds , vol 1,2, Springer Verlag, 1987.
[2] J. Cheeger, D. Ebin, Comparison Theorems in Riemannnian Geometry, North-Holland 1975
[3] M. Skwarczyński, Geometria rozmaitości Riemanna, PWN, Warszawa 1993
[4] B. O’Neill, Semi-Riemannian geometry, Acdemic Press, 1983
[5] P. Peterson, Riemannian Geometry, Springer 2006
Wykaz literatury uzupełniającej:
[1] F. W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer 1983
Osoba(y) odpowiedzialna(e) za przedmiot:
dr hab. Włodzimierz JELONEK
Zatwierdził:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK