Algebra liniowa 6

Algebra liniowa
6. Przestrzenie afiniczne.
Niech V będzie przestrzenią wektorową. Przestrzenią afiniczną nad przestrzenią wektorową
V nazywamy zbiór X z działaniem zewnętrznym
X × V 3 (x, v) −→ x + v ∈ X
spełniającym warunki
(1) dla dowolnego punktu x ∈ X oraz dla dowolnych wektorów v, w ∈ V zachodzi równość
(x + v) + w = x + (v + w),
→ ∈ V taki, że y = x + −
→
(2) dla dowolnych punktów x, y ∈ X istnieje dokładnie jeden wektor −
xy
xy.
Wymiar przestrzeni afinicznej X definiujemy wzorem dim X := dim V .
Niech Y 6= ∅ będzie podzbiorem przestrzeni afinicznej X nad przestrzenią wektorową V . Podzbiór Y nazywamy podprzestrzenią afiniczną przestrzeni afinicznej X, jeżeli zbiór
→ : x, y ∈ Y }
Y → := {−
xy
jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni V . Zbiór Y → nazywamy kierunkiem podprzestrzeni afinicznej
Y.
Niech X będzie przestrzenią afiniczną. Punkty x0 , . . . , xn nazwiemy afinicznie niezależnymi, jeżeli wek→
−−→
tory −
x−
0 x1 , . . . , x0 xk są liniowo niezależne. Uwaga: afiniczna niezależność punktów nie zależy od uporządkowania punktów.
Niech będzie dany ciąg punktów x0 , . . . , xk ∈ X oraz ciąg skalarów λ0 , . . . , λk ∈ F. Kombinacją barycentryczną punktów x0 , . . . , xk o współczynnikach λ0 , . . . , λk określamy wzorem
k
X
λi xi := p +
i=0
k
X
→,
λi −
px
i
i=0
gdzie p jest dowolnie wybranym punktem przestrzeni afinicznej X. Uwaga: kombinacja barycentryczna nie
zależy od wyboru punktu p.
Niech X będzie przestrzenią afiniczną nad rzeczywistą przestrzenią wektorową V oraz niech x0 , . . . , xk będzie
ciągiem punktów afinicznie niezależnych. Zbiór
k
k
X
X
[x0 , . . . , xk ] := {
λi xi :
λi = 1, λ0 ­ 0, . . . , λn ­ 0}
i=0
i=0
nazywamy k-wymiarowym sympleksem o wierzchołkach x0 , . . . , xn .
Niech X oraz X 0 będą przestrzeniami afinicznymi nad przestrzeniami wektorowymi V oraz V 0 . Odwzorowanie
f : X −→ X 0
1
2
ALGEBRA LINIOWA
nazywamy odwzorowaniem afinicznym jeżeli istnieje odwzorowanie liniowe fˆ : V −→ V 0 takie, że dla
każdego punktu x ∈ X i dowolnego wektora v ∈ V zachodzi równość:
f (x + v) = f (x) + fˆ(v).
Niech X będzie przestrzenią afiniczną nad przestrzenią wektorową V oraz niech Y oraz oraz Y 0 będą podprzestrzeniami afinicznymi w przestrzeni X. Mówimy, że Y jest równoległa do Y 0 co zapisujemy Y kY 0
jeśli Y ⊆ Y 0 lub Y 0 ⊆ Y .
Zadania
Zadanie 1. Dowieść, że dla dowolnej przestrzeni afinicznej X oraz dla dowolnych punktów x, y, z ∈ X
−
→+−
→=−
→
xy
yz
xz.
Zadanie 2. Dowieść, że przestrzeń wektorowa V jest przestrzenią afiniczną nad V , gdzie dodawanie zewnętrzne jest określone jako dodawanie wewnętrzne w przestrzeni V .
Zadanie 3. Dowieść, że podzbiór
Y := {(x0 , . . . , xn ) ∈ Rn+1 : x0 + . . . + xn = 1}
jest podprzestrzenią afiniczną w Rn+1 . Wyznaczyć kierunek Y .
Zadanie 4. Niech V będzie przestrzenią wektorową oraz niech α ∈ V ∗ , α 6= 0. Dowieść, że dla dowolnego
skalaru a ∈ F zbiór
Y := {x ∈ V : α(x) = a}
jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni V . Wyznaczyć kierunek Y .
Zadanie 5. Niech A będzie niepustym podzbiorem przestrzeni afinicznej X. Dowieść, że podprzestrzeń afiniczna generowana przez A dana jest wzorem
k
k
nX
o
X
Y =
λi ai : a0 , . . . , ak ∈ A, λ0 , . . . , λk ∈ F,
λi = 1, k ∈ N .
i=0
i=0
Zadanie 6. Dowieść, że punkty x0 := (0, 1, 2), x1 := (2, 5, −1) oraz x2 := (−1, 1, 0) są afinicznie niezależne
w przestrzeni afinicznej R3 .
Zadanie 7. Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią afiniczną. Zbiór A ⊆ X nazywamy zbiorem wypukłym, jeśli dla dowolnych punktów x0 , x1 ∈ A sypmleks [x0 , x1 ] ⊆ A.
(1) Dowieść, że zbiór pusty jest zbiorem wypukłym.
(2) Dowieść, że dla dowolnego podzbioru A ⊆ X istnieje najmniejszy (w sensie inkluzji) podzbiór
wypukły B taki, że B ⊇ A. Zbiór o powyższej własności nazywamy obwiednią wypukłą zbioru
A.
(3) Dowieść, że dla dowolnych punktów x0 , . . . , xk afinicznie niezależnych sympleks [x0 , . . . , xk ] jest
obwiednią wypukłą swoich wierzchołków x0 , . . . , xk .
(4) Dowieść, że obwiednia wypukła B zbioru A dana jest wzorem
k
k
X
X
B={
λi ai : a0 , . . . , ak ∈ A, λ0 ­ 0, . . . , λn ­ 0,
λi = 1, k ∈ N}.
i=0
i=0
Zadanie 8. Dowieść, że odwzorowanie
f : R3 3 (x, y, z) −→ (x + y − 6, x + y + z + 5) ∈ R2
jest odwzorowaniem afinicznym. Wyznaczyć część liniową odwzorowania f .
ALGEBRA LINIOWA
3
Zadanie 9. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru m takie, że układ równań

 (m + 1)x + y − z = 1
mx + (2m − 1)y + 3z = m + 1

−(2m + 3)x − 5y + z = 2
posiada dokładnie jedno rozwiązanie.
Zadanie 10. Niech będzie dana podprzestrzeń afiniczna Y w R4 zadana równaniem
x1 + x2 + x3 + x4 = 2.
Sprawdzić, że jest to podprzestrzeń wymiaru 3 oraz napisać:
(1) równania podprzestrzeni afinicznej wymiaru 3 równoległej do Y i przechodzącej przez punkt a =
(2, 0, 1, 0),
(2) równania dwóch różnych podprzestrzeni afinicznych wymiaru 2 równoległych do Y oraz przechodzących przez punkt a = (2, 0, 1, 0),
(3) równania dwóch różnych podprzestrzeni afinicznych wymiaru 1 równoległych do Y oraz przechodzących przez punkt a = (2, 0, 1, 0).
Zadanie 11. W przestrzeni R3 dana jest prosta Y (tzn. podprzestrzeń afiniczna wymiaru 1) o równaniu
parametrycznym
x1 = 2 + t, x2 = −1 + 2t, x3 = 3 − t.
Napisać:
(1) równanie parametryczne prostej równoległej do Y i przechodzącej przez punkt p = (1, 2, −1),
(2) równanie parametryczne dwóch różnych podprzestrzeni afinicznych wymiaru 2 równoległych do Y
i przechodzącej przez punkt p = (1, 2, −1).