15 Podprzestrzenie afiniczne

15
Podprzestrzenie afiniczne
Definicja 15.1 Podprzestrzenią afiniczną przestrzeni afinicznej E nazywamy niepusty podzbiór H ⊂ E, który wraz z dowolnym układem punktów
zawiera jego wszystkie środki ciężkości.
Stwierdzenie 15.2 Załóżmy, że ciało F , nad którym rozpięta jest przestrzEń liniowa V ma charakterystykę 0.
Podzbiór niepusty H ⊂ E stanowi podprzestrzeń afiniczną przestrzeni
afinicznej E wtedy i tylko wtedy, gdy każdy środek ciężkości dowolnego
układu dwupunktowego z H należy do H.
Dowód: ⇒) oczywiste.
⇐) Z definicji możemy traktować każdy środek ciężkości jako środek
ciężkości układu skończonego.
Indukcja ze względu na ilość elementów układu punktów.
Jeżeli p0 , p1 ∈ H, to z założenia af(p0 , p1 ) ⊂ H.
Załóżmy teraz, że każdy środek ciężkości dowolnego układu m-elementowego
(m ­ 2) z H należy do H.
Niech p0 , . . . , pm ∈ H oraz a0 , . . . , am ∈ R i a0 + . . . + am = 1. Istnieje takie j ∈ {0, . . . , m}, że aj 6= 1 (w przeciwnym wypadku suma wag wynosiłaby
m 6= 1, co jest sprzeczne z χ(F ) = 0), a co za tym idzie
m
X
a=
ai 6= 0.
i=0,i6=j
Rozważmy punkt
p=
m
X
i=0,i6=j
Pm
Jest on środkiem ciężkości (
p ∈ H. Z drugiej strony
m
X
i=0
ai pi = a
m
X
i=0,i6=j
ai
i=0,i6=j a
ai
pi .
a
= 1) układu m punktów z H, czyli
ai
pi + aj pj = ap + (1 − a)pj ∈ H.
a
Uwaga 1 Powyższe stwierdzenie wymaga tylko założenia χ(F ) 6= 2.
Bez jakiegokolwiek założenia o charakterystyce ciała F można udowodnić, że bycie podprzestrzenią afiniczną jest równoważne zawieraniu środków
ciężkości układów trójpunktowych.
Niech odtąd, dla podzbioru niepustego H ⊂ E, S(H) będzie zbiorem
→
wszystkich wektorów −
pq takich, że p, q ∈ H.
1
Twierdzenie 15.3 Niech ∅ =
6 H ⊂ E. Wówczas H jest podprzestrzenią
afiniczną przestrzeni afinicznej E wtedy i tylko wtedy, gdy S(H) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V .
Dowód: ⇐) Załóżmy, że S(H) jest podprzestrzenią liniową V i weźmy
→
dowolne p0 , p1 ∈ H oraz a0 ∈ F . Wówczas −
p−
0 p1 ∈ S(H). Kładąc q = a0 p0 +
(1 − a0 )p1 otrzymujemy
−
−−→
−−→
−−→
p→
1 q = a0 · p1 p0 + (1 − a0 ) · p1 p1 = (−a0 ) · p0 p1 ∈ S(H)
(bo S(H) jest podprzestrzenią liniową), czyli q ∈ H. Na mocy stwierdzenia
15.2, H jest podprzestrzenią afiniczną.
⇒) Załóżmy, że H jest podprzestrzenią afiniczną E i weźmy dowolne
u, v ∈ S(H) oraz a ∈ R. Wówczas istnieją takie punkty p1 , p2 , q1 , q2 ∈ H, że
→
−−→
u=−
p−
1 q 1 , v = p2 q 2 .
Zauważmy, że a·u = −
p→
1 q, gdzie q = ap1 +(1−a)q1 ∈ H. Stąd au ∈ S(H).
Kładąc r = 1 · q1 + 1 · q2 + (−1) · p2 ∈ H otrzymujemy, że
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→
S(H) 3 −
p→
1 r = p1 q1 + p1 q2 − p1 p2 = p1 q1 + p2 q2 = u + v.
Zatem S(H) jest podprzestrzenią liniową.
Definicja 15.4 Jeżeli H jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni afinicznej E, to przedstawienie H w postaci H = p + S(H) nazywamy jej przedstawieniem liniowym, a samą podprzestrzeń S(H) — przestrzenią nośną
podprzestrzeni H.
Definicja 15.5 Wymiarem podprzestrzeni afinicznej nazywamy wymiar jej
przestrzeni nośnej.
Punkt jest podprzestrzenią afiniczną wymiaru 0. Podprzestrzeń afiniczną
wymiaru 1 nazywamy prostą a wymiaru 2 — płaszczyzną.
Jeżeli przestrzeń afiniczna E jest wymiaru n (tzn. dim V = n), to jej podprzestrzeń afiniczną wymiaru k nazywamy k–wymiarową hiperpłaszczyzną,
a gdy k = n − 1 — po prostu hiperpłaszczyzną.
Przykład 15.6 Zgodnie z twierdzeniem Kroneckera–Cappellego k–wymiarowa
hiperpłaszczyzna przestrzeni F n jest zbiorem wszystkich rozwiązań układu
równań liniowych o n niewiadomych, o ile rząd macierzy układu wynosi k.
W szczególności hiperpłaszczyznę H (kowymiaru 1) przestrzeni F n można
opisać następująco
H = {(x1 , . . . , xn ) ∈ F n ; a1 x1 + . . . + an xn = b} ,
gdzie a1 , . . . , an , b ∈ F R oraz istnieje j = 1, . . . , n takie, że aj 6= 0.
2
Stwierdzenie 15.7 Jeżeli H1 , . . . , Hm są podprzestrzeniami afinicznymi przestrzeni afinicznej E oraz H1 ∩ . . . ∩ Hm 6= ∅, to H1 ∩ . . . ∩ Hm jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni afinicznej E oraz
S(H1 ∩ . . . ∩ Hm ) = S(H1 ) ∩ . . . ∩ S(Hm ).
Dowód:
Niech p ∈ H1 ∩ . . . ∩ Hm . Wystarczy pokazać, że
H1 ∩ . . . ∩ Hm = p + S(H1 ) ∩ . . . ∩ S(Hm ),
bo część wspólna podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową.
Jeżeli q ∈ H1 ∩ . . . ∩ Hm , to dla każdego i = 1, . . . , m spełniony jest
→
warunek −
pq ∈ S(Hi ). Na odwrót, jeżeli q ∈ p + S(H1 ) ∩ . . . ∩ S(Hm ), to
q ∈ p + S(Hi ) = Hi dla i = 1, . . . , m.
Przykład 15.8 Częścią wspólną dwóch prostych (w przestrzeni co najmniej dwuwymiarowej) może być zbiór pusty, punkt albo prosta.
Częścią wspólną dwóch płaszczyzn (w przestrzeni co najmniej czterowymiarowej) może być zbiór pusty, punkt, prosta albo płaszczyzna.
Definicja 15.9 Niech H1 , H2 będą podprzestrzeniami afinicznymi przestrzeni afinicznej E. Mówimy, że H1 jest równoległa do H2 i piszemy H1 k H2 ,
gdy S(H1 ) ⊂ S(H2 ) lub S(H2 ) ⊂ S(H1 ).
Stwierdzenie 15.10 Relacja równoległości podprzestrzeni afinicznych jest
1. zwrotna i symetryczna.
2. relacją równoległości w zbiorze podprzestrzeni afinicznych tego samego
wymiaru.
Dowód: Część 1 jest oczywista, a 2 wynika z faktu, że jeżeli przestrzeń
liniowa k–wymiarowa W1 jest zawarta w przestrzeni liniowej k–wymiarowej
W2 , to W1 = W2 (stwierdzenie 8.16).
Stwierdzenie 15.11 (V postulat Euklidesa) Niech H będzie k –wymiarową
podprzestrzenią afiniczną przestrzeni afinicznej E. Dla każdego punktu p ∈
E istnieje dokładnie jedna k–wymiarowa podprzestrzeń afiniczna H0 zawierająca punkt p i równoległa do H.
Dowód: Wystarczy przyjąć H0 = p + S(H).
Zalóżmy teraz, że H1 jest k-wymiarową podprzestrzenią afiniczną przechodzącą przez punkt p i równoległą do H. Wówczas ze względu na równość
wymiarów podprzestrzeni S(H1 ) = S(H) = S(H0 ), skąd H1 = p + S(H1 ) =
p + S(H) = H0 .
3
Uwaga 2 Możliwość udowodnienia V postulatu Euklidesa wynika z oparcia
geometrii afinicznej na przestrzeni liniowej Rn .
Istnieją modele geometrii, w której wszystkie postulaty Euklidesa poza
piątym są spełnione, a istnieje nieskończenie wiele różnych prostych przechodzących przez dany punkt i równoległych do danej prostej.
Taką geometrią jest geometria Bolyai–Łobaczewskiego lub inaczej geometria hiperboliczna. W wymiarze 2 całą przestrzenią (czyli płaszczyzną)
jest otwarte koło jednostkowe, a prostymi — średnice tego koła i łuki okręgów prostopadłych do brzegu tego koła.
4