Zestaw 3.

Zestaw 3
Zadanie 1
Model Bohra atomu wodoru (jonu wodoropodobnego). Elektron o masie me i ładunku -e porusza się
po okręgu wokół nieskończenie ciężkiego jądra o ładunku +Ze. Istnieją orbity stacjonarne, dla
których moment pędu jest dany przez wielokrotność stałej Plancka h podzielonej przez 2π. Znaleźć
energię i prędkość elektronu na orbicie stacjonarnej.
Zadanie 2
Faktycznie jądro ma skończoną masę M. Przeprowadzić separację ruchu względnego elektron-jądro
od ruchu środka masy układu. Znaleźć energię atomu korzystając z zadania 1 oraz oszacować
procentową zmianę energii stanu podstawowego dla M=1840 me (1H), M=3680 me (2H) oraz M=
5500 me (3H).
Zadanie 3
Światło UV o długości 350 nm i intensywności 1 W/m2 pada na powierzchnię potasu (praca
wyjścia 2.2 eV). Znaleźć maksymalną energię kinetyczną fotoelektronów. Jeśli 50% fotonów
produkuje fotoelektrony, jak wiele ich jest na sekundę. [1.3 eV, 8.8 * 1011]
Zadanie 4
Znaleźć najkrótszą długość fali emitowaną przez lampę rentgenowską o napięciu 50 kV.
[0.0248 nm]
Zadanie 5
Znaleźć długość fali elektronu poruszającego się z prędkością 107 m/s i piłki do tenisa 150g z
prędkością 30 m/s [7.3*10-11m]
Zadanie 6
Przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem. Pokazać, że przyporządkowanie parze funkcji liczby
jest iloczynem skalarnym.
Zadanie 7
Niech o,q – operatory w przestrzeni funkcji z zadania 6. q jest sprzężeniem hermitowskim o
(q=o+) jeśli dla dla każdej pary funkcji a,b całkowalnych z kwadratem: (a,ob)=(qa,b)
Znaleźć operatory sprzężone po hermitowsku do
a) operatora położenia x=x.
b) operatora parzystości P zdefiniowany jako parzystości P f(x)=f(-x).
c) operatora translacji o wektor a : Ta f(x)= f(x-a)
d) operatora pochodnej d/dx. (całkowanie przez części, funkcje całkowalne z kwadratem znikają w
nieskończoności).
e) operatora drugiej pochodnej.
Zadanie 8
Niech A,B operatory , f – funkcja. Komutatorem nazywamy operator budowany jako
[A,B]f=(AB-BA)f.
a) Operator położenia: x=x, operator pędu: p=-iћ d/dx. Pokazać, że [x,p]= iћ.
Policzyć komutatory:
b) Operatora pędu i kwadratu pędu : (p2=-ћ2 d2/dx2)
c) Operatora translacji i pędu
d) Operatora translacji i parzystości
e) Operatora parzystości i pędu
f) Operatora położenia i translacji
Zadanie 9
Pokazać, że [A,A]=0, [A,B]=-[B,A], [A,[B,C]]+ [B,[C,A]]+ [C,[A,B]]=0,
[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]
Zadanie 10
Operator hermitowski jest swoim własnym sprzężeniem hermitowskim. Pokazać, że wartości
własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste, a funkcje odpowiadające ich wartościom
własnym są ortogonalne.
Zadanie 11
Przyjmując reguły kwantyzacji z zadania 8 skonstruować operator energii kinetycznej i momentu
pędu
Zadanie 12
Operator A ma formę macierzy 3x3
1 2 0
= 2 1 0
0 0 1
Stan układu dany jest wektorem
=
0
1
√2 1
1
Znaleźć możliwe wyniki pomiaru wielkości fizycznej A. Znaleźć rozkład zmiennej losowej –
wyniku pomiaru A w stanie w. Znaleźć wartość oczekiwaną pomiaru A w stanie w.
Zadanie 13
Zaleźć funkcje własne operatora pędu oraz kwadratu pędu.
Zadanie 14
Pokazać, że wartości własne operatora parzystości to +1 oraz (-1) (wykorzystać hermitowskość
operatora parzystości). Znaleźć funkcje własne tego operatora.
Zadanie 15
Wskazać wspólne funkcje własne operatora parzystości oraz pędu