Metody numeryczne w przykładach

Transkrypt

Bartosz Ziemkiewicz
Wydział Matematyki i Informatyki
UMK, Toruń
Regionalne Koło Matematyczne
8 kwietnia 2010 r.
Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK)
1/13
Metody numeryczne
Co to są metody numeryczne?
2/13
Metody numeryczne
Metody numeryczne są to metody rozwiązywania problemów
matematycznych za pomocą operacji na liczbach.
2/13
Metody numeryczne
W większości działów matematyki problemy rozwiązuje się za
pomocą operacji na symbolach, są to tzw. obliczenia
symboliczne.
2/13
Metody numeryczne
symboliczne.
2/13
Metody numeryczne
symboliczne.
Kiedy stosujemy metody numeryczne?
2/13
Metody numeryczne
symboliczne.
Kiedy nie umiemy rozwiązać problemu za pomocą obliczeń na
symbolach. Potocznie mówiąc – „Kiedy nie znamy wzoru”.
2/13
Metody numeryczne
symboliczne.
Kiedy znane wzory są zbyt skomplikowane i niepraktyczne w
użyciu.
2/13
Metody numeryczne
symboliczne.
Kiedy znane wzory są zbyt skomplikowane i niepraktyczne w
użyciu.
Kiedy chcemy, żeby problem rozwiązał komputer.
2/13
Charakterystyczne cechy metod numerycznych
Zazwyczaj uzyskujemy tylko wyniki przybliżone.
3/13
Dokładność obliczeń może być z góry określona i można ją
dobrać w zależności od potrzeb.
3/13
Metody te zazwyczaj generują pewien ciąg liczb, którego
kolejne wyrazy są coraz bliższe dokładnego rozwiązania.
3/13
Metody te najczęściej maja postać iteracyjną, tzn. polegają na
wielokrotnym wykonywaniu tego samego zestawu operacji.
3/13
Metody te powinny działać szybko, często za ich pomocą
rozwiązuje się całe zestawy problemów.
3/13
Metody te zazwyczaj mają postać prostych algorytmów, choć
stoi za nimi zaawansowana matematyka.
3/13
Metody te zazwyczaj mają postać prostych algorytmów, choć
stoi za nimi zaawansowana matematyka.
Obliczenia za pomocą tych metod rzadko wykonuje się
„ręcznie”, najczęściej wykonują je komputery.
3/13
Rozwiązywanie równań wielomianowych
Równania wielomianowe, to równania postaci:
an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 = 0.
4/13
an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 = 0.
Dla równań liniowych i kwadratowych
ax + b = 0,
ax 2 + bx + c = 0
znamy proste wzory na rozwiązania.
4/13
an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 = 0.
ax + b = 0,
ax 2 + bx + c = 0
Dla równań stopnia trzeciego i czwartego
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0,
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0
również znane są wzory na rozwiązania, ale są one
skomplikowane i rzadko się z nich korzysta.
4/13
an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 = 0.
ax + b = 0,
ax 2 + bx + c = 0
Dla równań stopnia trzeciego i czwartego
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0,
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0
również znane są wzory na rozwiązania, ale są one
skomplikowane i rzadko się z nich korzysta.
Dla równań stopnia wyższego niż cztery udowodniono, że takie
wzory nie istnieją.
4/13
Pewna uwaga terminologiczna
Oznaczmy najpierw lewą stronę równania przez f (x):
a x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 = 0.
{z
}
|n
f (x)
f jest wówczas pewną funkcja wielomianową
f (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 .
Używamy wówczas zamiennie określeń:
„rozwiązać równanie f (x) = 0”,
„znaleźć miejsce zerowe funkcji f ”, (tzn. znaleźć takie x0 , że
f (x0 ) = 0).
5/13
Metoda bisekcji (połowienia przedziału)
Metoda ta opiera się na następującej własności.
Twierdzenie
Jeżeli funkcja wielomianowa f jest określona na przedziale [a, b]
i na końcach tego przedziału przyjmuje wartości przeciwnych
znaków (tzn. f (a)f (b) < 0), to istnieje przynajmniej jeden punkt
r ∈ (a, b) taki, że f (r ) = 0.
6/13
Metoda bisekcji (połowienia przedziału)
Dane: Funkcja wielomianowa f i przedział [a, b] taki, że
f (a)f (b) < 0.
Wynik: Przybliżone rozwiązanie równania f (x) = 0.
Algorytm:
Obliczamy środek przedziału [a, b] (c = (a + b)/2).
Jeżeli f (c) = 0, to c jest poszukiwanym rozwiązaniem
równania.
Jeżeli f (a)f (c) < 0, to rozwiązanie leży w przedziale [a, c],
wtedy pod b podstawiamy c.
Jeżeli f (b)f (c) = 0, to rozwiązanie leży w przedziale [c, b],
wtedy pod a podstawiamy c.
Otrzymaliśmy nowy przedział [a, b] dwa razy krótszy od
poprzedniego, zawierający poszukiwane rozwiązanie.
Postępowanie powtarzamy aż do osiągnięcia żądanej
dokładności, (tzn. aż przedział zawierający rozwiązanie będzie
odpowiednio krótki).
7/13
Jak obliczyć pole?
Problem. Dana jest funkcja f : [a, b] → R+ . Jak obliczyć pole
figury ograniczonej osią OX prostymi x = a i x = b oraz krzywą
y = f (x)?
8/13
Metoda prostokątów
Figurę tą możemy przybliżyć za pomocą sumy figur, których pola
potrafimy policzyć, np. prostokątów.
9/13
Metoda prostokątów
Dane: Funkcja f : [a, b] → R i przedział [a, b].
Wynik: Przybliżone pole figury ograniczonej osią OX prostymi x = a
i x = b oraz krzywą y = f (x).
Algorytm:
Dzielimy przedział [a, b] na n równych części o długości
(b − a)/n każda.
Niech x1 , x2 , . . . , xn będą punktami leżącymi pośrodku każdej z
tych części.
Pole pod krzywą y = f (x) przybliżamy sumą n pól prostokątów
Pole figury ≈
b − a
f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) .
n
Powyższy wzór nazywamy „wzorem prostokątów” (lub
„złożonym wzorem prostokątów”).
10/13
Metoda trapezów
Zamiast prostokątów do przybliżania figury możemy użyć trapezów.
11/13
Metoda trapezów
Zamiast prostokątów do przybliżania figury możemy użyć trapezów.
Wówczas
Pole figury ≈ Pole trapezu = (b − a)
f (a) + f (b)
.
2
11/13
Metoda trapezów
Aby uzyskać dokładniejszy wynik możemy zwiększyć liczbę trapezów.
12/13
Metoda trapezów
Dane: Funkcja f : [a, b] → R i przedział [a, b].
Wynik: Przybliżone pole figury ograniczonej osią OX prostymi x = a
i x = b oraz krzywą y = f (x).
Algorytm:
Dzielimy przedział [a, b] na n równych części o długości
(b − a)/n każda.
Niech x1 , x2 , . . . , xn−1 będą punktami podziału.
Pole pod krzywą y = f (x) przybliżamy sumą n pól trapezów
b − a
f (a) + 2f (x1 ) + 2f (x2 ) + · · · + 2f (xn−1 ) + f (b) .
Pole ≈
2n
Powyższy wzór nazywamy „wzorem trapezów” (lub „złożonym
wzorem trapezów”).
13/13

Metody numeryczne w przykładach

Transkrypt

Podobne dokumenty

Rozwiązywanie numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych

Telematyka przemysłowa

1 690 000 337.24 m2 - Bartosz Piwowarski Inwestycje w

SŁOWNIK ATRYBUTÓW Encja Atrybut Typ pola Ilość znaków Uwagi

Trenuj swój umysł czyli jak obudzić w sobie potencjał / Simon

Kierunek: BUDOWNICTWO

Pobierz - ePrasa.pl