tutaj - Instytut Matematyki UJ

Wykłady proponowane w roku akademickim 2014/2015
Na dalszych stronach zamieszczone są opisy wykładów.
Wykłady dla pierwszego roku proponowane w ramach „Współczesne techniki matematyczne”
oznaczone są strzałkami (►).
Interpolacja wielomianowa i jej zastosowania / Polynomial Interpolation and Applications
dr Leokadia Białas-Cież
Zbiory konfliktowe / Conflict sets
dr Maciej Denkowski
►Teoria wartości ekstremalnych / Extreme value theory
prof. dr hab. Armen Edigarian
►Teoria pluripotencjału / Pluripotential theory
prof. dr hab. Sławomir Kołodziej
►Teoria homologii i kohomologii II / Theory of homology and cohomology II
prof. dr hab. Wojciech Kucharz
Ergodyczna teoria liczb / Ergodic Number Theory
dr Dominik Kwietniak
Wnioskowanie bayesowskie w ekonomii i finansach / Bayesian inference in economics and finance
dr hab. Anna Pajor
►Topologiczna teoria punktów stałych / Topological fixed point theory
LUB
Metody topologiczne teorii równań różniczkowych / Topological methods of differential equations
prof. dr hab. Roman Srzednicki
Wybrane klasy operatorów / Selected classes of operators
prof. dr hab. Jan Stochel
►Geometria lipschitzowska zbiorów subanalitycznych / Lipschitz geometry of subanalytic sets
dr hab. Guillaume Valette
Tytuł (po polsku): Interpolacja wielomianowa i jej zastosowania
Tytuł (po angielsku): Polynomial Interpolation and Applications
Koordynator: Leokadia Białas-Cież
Język: polski
Liczba godzin i forma zajęć (wykład/konwersatorium): 30 godzin, wykład
Planowany termin zajęć (semestr, oraz ewentualnie dzień tygodnia i godziny):
semestr letni, proponowany termin: środy 14-16
Warunki zaliczenia kursu (egzamin ustny/pisemny):
egzamin ustny, do egzaminu obowiązują zagadnienia podstawowe dotyczące około 10
pierwszych wykładów oraz dowolnie wybrana jedna z pięciu grup zastosowań
Wymagania wstępne (w szczególności z programu studiów I i II stopnia):
Funkcje analityczne, Analiza matematyczna 1, 2 i 3.
Tematyka kursu (opis programu i jego skrót po angielsku):
• Podstawowe wzory interpolacyjne: Lagrange’a, Newtona, Hermite’a;
• Szacowanie błędu przybliżenia funkcji wielomianem interpolacyjnym;
• Funkcja i stała Lebesgue’a i ich znaczenie w interpolacji;
• Podstawowe węzły interpolacyjne: punkty Czebyszewa, Fejera, Feketego, Leji;
• Badanie szybkości aproksymacji funkcji wielomianami interpolacyjnymi;
• Związki interpolacji z teorią potencjału;
• Kryteria optymalności węzłów interpolacji: Twierdzenia Bernsteina-Walsha,
• Twierdzenie Blooma-Bosa-Christensena-Levenberga;
• Interpolacja Hermite’a, czyli z zadaniem wartości dla pochodnych funkcji;
• Zastosowania interpolacji:
w numerycznym rozwiązywaniu równań różniczkowych zwyczajnych
i cząstkowych,
w aproksymacji i w konstruktywnej teorii funkcji,
w teorii potencjału.
Interpolation formulas, Lebesgue’s functions and constants, classical knots of interpolation,
Bernstein-Walsh theorem, Bloom-Bos-Christensen-Levenberg theorem, Harmite’s
interpolation, selected applications of interpolation.
Literatura:
• T. Bloom, L. Bos, C. Christensen, N. Levenberg, Polynomial Interpretation of
Holomorphic Functions in C and C^N, Rocky Mountain J. Math. Volume 22, Number 2
(1992), 441-470.
• R. A. DeVore and G. G. Lorentz, “Constructive Approximation,” Grundlehren, Vol. 303,
Springer-Verlag, Berlin/New York, 1993.
• D. Gaier, Lectures on Complex Approximation, Birkhauser, Boston, 1987.
Uwagi: (poza doktorantami, jakie specjalności studiów II stopnia mogą wybierać ten kurs):
Kurs jest adresowany do doktorantów oraz studentów studiów II stopnia specjalności
teoretycznej, stosowanej i nauczycielskiej.
Tytuł (po polsku): Zbiory konfliktowe
Tytuł (po angielsku): Conflict sets
Koordynator: dr Maciej Denkowski
Język: polski/angielski/francuski (do wyboru)
Liczba godzin i forma zajęć: wykład 30 godz. (2 ECTS)
Planowany termin zajęć: semestr letni 2014/15,
Warunki zaliczenia kursu: egzamin ustny.
Wymagania wstępne: podstawowe wiadomości z analizy matematycznej i topologii.
Tematyka kursu (w skrócie):
Zbiory konfliktowe i samokonfliktowe: motywacje (P. Giblin i in. – rozpoznawanie obrazów,
J. Damon i tomografia komputerowa). Zbiór centralny, szkielet, cut-locus, podejście
różniczkowe (czoło fali i kaustyki). Funkcja kwadratu odległości a zbiór samokonfliktowy;
subgradient Clarke’a dla funkcyj lipschitzowskich, twierdzenie Poly’ego-Raby’ego.
Własności topologiczne: twierdzenia Fremlina. Podstawy teorii struktur o-minimalnych;
topologia ujarzmiona. Wyznaczanie stożka stycznego zbioru konfliktowego (twierdzenie
Birbraira-Siersmy). Przejścia graniczne i sparametyzowane rodziny zbiorów. Multifunkcja
samokonfliktowa. Twierdenie Yomdina o lokalnej strukturze zbioru centralnego. Zbiory
samokonfliktowe na płaszczyźnie.
Conflict and self-conflict sets: motivations (P. Giblin et al. - pattern recognition, J. Damon
and computer tomography). Central set, skeleton, cut-locus, differential approach (wavefronts
and caustics). The squared distance function and its relation to the self-conflict set; Clarke's
subgradient for Lipschitz functions, the Raby-Poly Theorem. Topological properties:
Fremlin's theorems. Basic facts about o-minimal structures and tame geometry, Computing
the tangent cone of a conflict set (the Birbrair-Siersma Theorem). Limits and parametrized
families of sets. The self-conflict multifunction. Yomdin's theorem on the local structure of
the central set. Self-conflict sets in the plane.
Wybrana literatura:
1. L. Bibrair, D. Siersma, Metric properties of conflict sets, Houston J. Math. 35 (1)
(2009)
2. L. Birbrair, M. P. Denkowski, Topological and metrical properties of middle axes,
preprint (2014)
3. Chazal, R. Soufflet, Stability and finiteness properties of medial axis and skeleton, J.
Dyn. and Control Syst., Vol. (2004)
4. F. Clarke, Generalized gradients and applications, Trans. A. M. S. 205 (1975)
5. M. P. Denkowski, On the points realizing the distance to a definable set, J. Math.
Anal. Appl. 378 (2011)
6. D. H. Fremlin, Skeletons and central sets, Bull. London Math. Soc. (1998)
7. J.-B. Poly, G. Raby, Fonction distance et singularités, Bull. Sci. Math. 108 (1984)
8. Y. Yomdin, On the local structure of a generic central set, Comp. Math. 43 no. 2
(1981)
Uwaga: Poza doktorantami, kurs jest przeznaczony również dla studentów specjalności
teoretycznej, stosowanej i ogólnej, czy informatyki.
Tytuł (po polsku): Teoria wartości ekstremalnych
Tytuł (po angielsku): Extreme value theory
Koordynator: Prof. dr hab. Armen Edigarian
Język: polski, w razie potrzeby angielski
Liczba godzin i forma zajęć: wykład, 30 godzin (2 ECTS)
Planowany termin zajęć: do uzgodnienia
Warunki zaliczenia kursu: egzamin ustny
Wymagania wstępne: Podstawy rachunku prawdopodoboieństwa.
Tematyka kursu:
Niech X1 , X2 , X3 , . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie.
Celem wykładu jest przedstawienie twierdzeń dotyczących zachowania max{X1 , . . . , Xn }
lub min{X1 , . . . , Xn } gdy n → ∞. Pokazujemy jak zastosować te wyniki teoretyczne w
praktycznych zastosowaniach w finansach (teorii ryzyka), ekonomii, meteorologii, itd.
Let X1 , X2 , X3 , . . . , be independent and identically distributed random variables. Our
aim is to analyze the limit behaviour of the sample extremes max{X1 , X2 , . . . , Xn } or
min{X1 , X2 , . . . , Xn } as n → ∞. We provide applications in finance (risk theory), economy,
meteorology.
Literatura: L. de Haan, A. Ferreira, Extreme value theory. Springer-Verlag, 2006.
Uwagi: Kurs ten jest także dedykowany dla studentów sekcji teoretycznej, ogólnej i
stosowanej.
1
Tytul (po polsku): Teoria pluripotencjalu
Tytul (po angielsku): Pluripotential theory
Koordynator: Prof. Slawomir Kolodziej
Jȩzyk: angielski
Liczba godzin i forma zajȩć: wyklad, 30 godzin (2 ECTS)
Planowany termin zajȩć: semestr letni 2014/15
Warunki zaliczenia kursu: egzamin ustny
Wymagania wstȩpne: analiza zespolona; wskazane też: analiza zespolona
wielu zmiennych, teoria dystrybucji.
Tematyka kursu: Poznanie wasności funkcji plurisubharmonicznych, jako
rozwia̧zań równania Monge’a-Ampère’a, w oparciu o teoriȩ pra̧dów (form uogólnionych).
Zastosowania w geometrii.
Treść:
1. Formy dodatnie.
2. Pra̧dy
3. Pra̧dy skojarzone z funkcjami plurisubharmonicznymi.
4. Pojemności.
5. Zasada porównawcza.
6. Problem Dirichleta dla równania Monge’a-Ampère’a.
7. Równanie Monge’a-Ampère’a na zwartych rozmaitościach Kählera.
8. Zastosowania w geometrii.
1. Positive forms
Contents:
2. Currents
3. Currents associated to plurisubharmonic functions
4. The relative capacity and the convergence of currents
5. Comparison principle
6. The Dirichlet problem for the Monge-Ampère equation.
7. The complex Monge-Ampère equation on a compact Kähler manifold.
8. Geometric applications.
Literatura:
1. S. Kolodziej, The complex Monge-Ampère equation and pluripotential
theory, Memoirs of AMS, Vol. 178, No. 840, 2005
2. D. H. Phong, Jian Song, J. Sturm, Complex Monge Ampère Equations,
arXiv:1209.2203
.
1
Tytuł (po polsku): Teoria homologii i kohomologii II
Tytuł (po angielsku): Theory of homology and cohomology II
Koordynator: Prof. dr hab. Wojciech Kucharz
Język: polski/angielski
Liczba godzin i forma zajęć: wykład, 30 godzin (2 ECTS)
Planowany termin zajęć: semestr letni 2014/2015
Warunki zaliczenia kursu: egzamin ustny
Warunki wstępne: znajomość podstawowych własności grup homologii i kohomologii
Tematyka kursu: Za twórców nowoczesnej teorii klas charakterystycznych uważa się Hopfa,
Stiefela, Whitneya, Cherna i Pontrjagina. Jednakże, podstawowe idee dotyczące klas Cherna są
obecne w pracach starej włoskiej szkoły geometrii algebraicznej. Klasy charakterystyczne to klasy
kohomologii w naturalny sposób skojarzone z wiązkami wektorowymi rzeczywistymi lub
zespolonymi. Pozwalają one oszacować stopień „skręcenia” rozważanych wiązek. Klasy
charakterystyczne są powszechnie używane w topologii algebraicznej i różniczkowej, K-teorii,
geometrii różniczkowej, geometrii algebraicznej, analizie globalnej i fizyce matematycznej.
Wprowadzimy klasy Stiefela-Whitneya dla wiązek wektorowych rzeczywistych oraz klasy Cherna
dla wiązek wektorowych zespolonych używając konstrukcji Grothendiecka. Zdefiniujemy także
klasę Eulera i klasy Pontrjagina. Udowodnimy podstawowe własności tych klas
charakterystycznych. Podamy również pewne zastosowania.
In its modern form the theory of characteristic classes originated with Hopf, Stiefel,Whitney,
Chern , and Pontryagin. However, the basic ideas related to the Chern classes go back to the old
Italian algebraic geometers. Characteristic classes are cohomology classes intrinsically associated
with real or complex vector bundles. They measure how 'twisted' the vector bundles under
consideration are. Characteristic classes are widely used in algebraic and differential topology, Ktheory, differential geometry, algebraic geometry, global analysis, and mathematical physics. We
will introduce the Stiefel-Whithey classes for real vector bundles and Chern classes for complex
vector bundles via the Grothendieck construction. Next we will define the Euler class and
Pontryagin classes. We will prove the main properties of these characteristic classes. Some
applications will be presented as well.
Literatura:
1. A. Hatcher, Vector Bundles and K-Theory, preliminary notes.
2. D. Husemoller, Fibre Bundles, Springer, 1966.
3. J. W. Milnor and J. D. Stasheff, Characteristic Classes, Princeton University Press, Princeton, NJ,
1974.
4. T. Tom Dieck, Algebraic Topology, European Mathematical Society, corrected 2nd printing,
2009.
Uwagi: Poza doktorantami wykład jest dedykowany dla studentów sekcji teoretycznej lub
studentów innych sekcji zainteresowanych topologią lub jej zastosowaniami.
Tytuł (po polsku): Ergodyczna teoria liczb
Tytuł (po angielsku): Ergodic Number Theory
Koordynator: Dominik Kwietniak
Język: polski lub angielski jeżeli takie będzie życzenie słuchaczy
Liczba godzin i forma zajęć: wykład 30 godz. (3 ECTS)
Planowany termin zajęć: semestr zimowy
Warunki zaliczenia kursu: egz. ustny
Wymagania wstępne: rachunek prawdopodobieństwa lub miara i całka.
Tematyka kursu (w skrócie): Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć i
narzędzi nowoczesnej teorii ergodycznej. Na wykładzie omówimy następujące zagadnienia:
Odwzorowania zachowujące miarę. Twierdzenie Poincarégo o powracaniu. Elementy
dynamiki topologicznej. Zastosowania powracania topologicznego w teorii liczb.
Podstawowe przykład: przekształcenie Gaussa i ułamki łańcuchowe, beta-przekształcenia
Ergodyczność i mieszanie oraz ich charakteryzacje. Statystyczne twierdzenie ergodyczne
(von Neumanna). Indywidualne twierdzenie ergodyczne (Birkhoffa). Ścisła ergodyczność i
twierdzenie Weyla o ekwipartycji. Zastosowanie do liczb normalnych. Entropia topologiczna
i metryczna. Zasada wariacyjna. Twierdzenie Shannona-Breimana-McMillana. Metryczne
własności ułamków łańcuchowych. Twierdzenia Chinczyna i Levy'ego.
Literatura:
[1] M. Einsiedler, T. Ward, Ergodic Theory with a View Towards Number Theory. Springer 2010.
[2] Peter Walters, An Introduction to Ergodic Theory. Springer 1982.
[3] Karma Dajani, Cor Kraaikamp Ergodic Theory of Numbers MAA 2002.
Uwagi: kurs adresowany jest do studentów i doktorantów wszystkich specjalności, ze
szczególnym uwzględnieniem sekcji teoretycznej
Wykłady dedykowane dla doktorantów Studiów doktoranckich z matematyki
na rok akademicki 2014/2015
Tytuł (po polsku): Wnioskowanie bayesowskie w ekonomii i finansach
Tytuł (po angielsku): Bayesian inference in economics and finance
Koordynator: dr hab. Anna Pajor, prof. UEK
Język: polski
Liczba godzin i forma zajęć: wykład, 30 godzin (2 ECTS)
Planowany termin zajęć: semestr zimowy 2014/15
Warunki zaliczenia kursu: egzamin pisemny
Wymagania wstępne: statystyka matematyczna, ekonometria II, ekonometria dynamiczna
i finansowa
Tematyka kursu: Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych zasad wnioskowania
bayesowskiego. Wykład zawiera następujące tematy:
1. Idea wnioskowania bayesowskiego, prawdopodobieństwo subiektywne.
2. Bayesowski model statystyczny.
3. Sprzężone rodziny rozkładów, nieinformacyjne rozkłady a priori, reguła Jeffreysa
4. Bayesowska estymacja, predykcja, testowanie hipotez, porównywanie modeli, łączenie
wiedzy.
5. Metody Monte Carlo: losowanie z funkcją ważności, próbnik Gibbsa, algorytm Metropolisa i
Hastingsa.
Obszary zastosowań wnioskowania bayesowskiego, np. modele zmienności, stochastyczne graniczne
funkcje produkcji.
The aim of the lecture is to explore the basic principles of Bayesian inference. The lecture includes the
following topics:
1. The basic idea of the Bayesian inference. Subjective probability.
2. Bayesian statistical model.
3. Conjugate families of distributions, non-informative priors, Jeffrey’s rule.
4. Bayesian estimation, prediction, hypothesis testing, model comparison, model averaging
(pooling approach).
5. Monte Carlo methods: Importance sampling, the Gibbs sampler, the Metropolis-Hastings
algorithm
Application areas of Bayesian inference, e.g.: volatility models, stochastic frontier production function
models.
Literatura:
1. Box G.E.P., Tiao G.C., [1973], Bayesian Inference in Statistical Analysis, Addison-Weseley
Publishing Company, London.
2. DeGroot M.H., [1970], Optimal statistical decisions, McGraw-Hill Book Company, London.
3. O’Hagan A., [1994], Bayesian Inference, Halsted Press, New York.
4. Osiewalski J., [1991], Bayesowska estymacja i predykcja dla jednorównaniowych modeli
ekonometrycznych, Seria: Monografie, Nr 100, Akademia Ekonomiczna, Kraków.
5. Osiewalski J., [2001], Ekonometria bayesowska w zastosowaniach, Wydawnictwo Akademii
Ekonomicznej w Krakowie, Kraków.
6. Pipień M., [2006], Wnioskowanie bayesowskie w ekonometrii finansowej, Wydawnictwo
Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków.
7. Zellner A., [1971], An Introduction to Bayesian Inference in Econometrics, J. Wiley, New York.
Uwagi: poza doktorantami wykład jest dedykowany dla studentów specjalności Matematyka
finansowa i Matematyka stosowana.
Tytuł: Topologiczna teoria punktów stałych (Topological fixed point theory)
Koordynator: prof. dr hab. Roman Srzednicki
Język: polski lub angielski
Liczba godzin i forma zajęć: wykład 30 godzin, ewentualne ćwiczenia 30 godzin
Planowany termin zajęć: dowolny
Warunki zaliczenia kursu: egzamin ustny
Wymagania wstępne kursu: podstawowe wiadomości z topologii algebraicznej
Tematyka kursu:
Celem wykładu będzie wprowadzenie pojęcia indeksu
punktu stałego i udowodnienie twierdzenia Lefschetza o punkcie stałym
wraz z niektórymi jego konsekwencjami.
Twierdzenie Lefschetza jest ważnym wynikiem z topologii, a w jego
dowodzie wykorzystywane są głębokie idee algebraiczne i geometryczne.
Literatura:
A. Granas, J. Dugundji: Fixed Point Theory, Springer-Verlag 2003
J. Jezierski, W. Marzantowicz: Homotopy Methods in Topological Fixed and Periodic Points
Theory,
Springer-Verlag 2005
Tytuł: Metody topologiczne teorii równań różniczkowych (Topological methods of differential
equations)
Koordynator: prof. dr hab. Roman Srzednicki
Język: polski lub angielski
Liczba godzin i forma zajęć: wykład 30 godzin, ewentualne ćwiczenia 30 godzin
Planowany termin zajęć: dowolny
Warunki zaliczenia kursu: egzamin ustny
Wymagania wstępne kursu: podstawowe wiadomości z topologii, analizy i równań
różniczkowych
Tematyka kursu:
W wykładzie zostaną przedstawione podstawy teorii niezmienników
topologicznych takich jak stopień Leray-Schaudera,
indeks punktu stałego, indeks Conleya, kategoria Lusternika-Schnirelmana itd.
oraz zostanie wskazana ich rola w dowodzeniu twierdzeń z zakresu równań
różniczkowych.
Przykładowa literatura:
R.F. Brown: A Topological Introduction to Nonlinear Analysis, Birkhauser 2004
C.C. Conley: Isolated Invariant Sets and the Morse Index, AMS 1978
J. Mawhin: Topological Degree Methods in Nonlinear Boundary Value Problems, AMS 1979
Tytuł(po polsku): Wybrane klasy operatorów
Tytuł (po angielsku): Selected classes of operators
Koordynator:Prof. dr hab. Jan Stochel
Liczba godzin i forma zajęć:wykład, 30 godzin (2 ECTS)
Planowany termin zajęć:semestr letni 2014/15
Warunki zaliczenia kursu:egzamin ustny
Wymagania wstępne:analiza funkcjonalna, podstawy teorii operatorów
Tematyka kursu:
Jednym z zagadnień teorii operatorów jest badanie ich własności spektralnych oraz budowanie modeli dla
wyselekcjonowanych klas operatorów. W pewnym sensie, z tego punktu widzenia, ideałem wśród
operatorów jest operator normalny. Mniej więcej od połowy ubiegłego wieku zaczęto wprowadzać i badać
nowe klasy operatorów których własności spektralne w mniejszym lub większym stopniu przypominają te dla
operatorów normalnych. Wśród nich są między innymi operatory subnormalne i hiponormalne. Takich klas
operatorów jest więcej. Jednym z narzędzi pozwalającym na znalezienie relacji pomiędzy nimi są
nierówności operatorowe. Nierówności te są interesujące same w sobie. Jednym z celów tego wykładu
będzie wykazanie nierówności Younga, Höldera-McCarty'ego, Löwnera-Heinza, Furuty oraz Selberga.
Tytuł: Geometria lipschitzowska zbiorów subanalitycznych (Lipschitz geometry of subanalytic
sets)
Koordynator: dr hab. Guillaume Valette
Język: polski lub angielski
Liczba godzin i forma zajęć: wykład 30 godzin
Planowany termin zajęć: dowolny
Warunki zaliczenia kursu: egzamin ustny
Wymagania wstępne kursu: nie jest konieczna znajomość‡innych wykładów; na początku
…
wykładu
‚ zostaną…przypomniane podstawowe własności
› funkcji analitycznych (the course will strive
to be self-contained; there is no prerequisite, all the basic facts that are needed will be recalled)
Tematyka kursu:
1) Zbiory analityczne i semianalityczne.
2) Zbiory subanalityczne. Podstawowe własności
‚
› globalnych zbiorów i funkcji subanalitycznych.
Twierdzenie Gabrielowa o dopełnieniu.
‚
3) Geometria lipschitzowska zbiorów subanalitycznych.
4) Zastosowania. Geometryczna teoria miary na zbiorach subanalitycznych. $L^p$ formy
różniczkowe na rozmaitościach z osobliwościami.
›
1) Analytic and semianalytic sets.
2) Subanalytic sets. Basic properties of globally subanalytic sets and functions. Gabrielov
complement theorem.
3) Lipschitz geometry of subanalytic sets
4) Applications. Geometric measure theory of subanalytic sets. $L^p$ differential forms on
singular varieties.