FILTRY CYFROWE – CZ.1

CPS
2006
FILTRY CYFROWE – CZ.1
Wprowadzenie
Filtracja jest procesem przetwarzania sygnału w dziedzinie czasu. Polega
na redukowaniu ( odfiltrowaniu ) niepożądanych składowych zawartych w
sygnale wejściowym.
x[n]
y[n]
FILTR
CYFROW Y
Ze względu na typ przetwarzanych sygnałów filtrację dzieli się na:
• Analogową
(filtr analogowy działa na sygnale ciągłym, filtr = układ elektroniczny,
np. RLC )
• Cyfrową
(przetwarzanie ciągu wartości próbek, filtr = program komputerowy,
np. w procesorze sygnałowym )
Ze względu na sposób przetwarzania sygnału, filtry cyfrowe dzieli się na:
Nierekursywne ( o skończonej odpowiedzi impulsowej SOI )
Rekursywne ( o nieskończonej odpowiedzi impulsowej NOI )
CPS
2006
Ograniczając się do systemów LTI filtry cyfrowe można opisać za pomocą
liniowego równania różnicowego:
N
M
k =0
l =0
∑ ak y ⎡⎣n − k ⎤⎦ = ∑ bl x ⎡⎣n − l ⎤⎦
przy czym
o dla N=0 równanie opisuje filtr nierekursywny ( SOI )
o dla N>0 równanie opisuje filtr rekursywny ( NOI )
Charakterystyki widmowe filtrów cyfrowych:
Transmitancję filtru cyfrowego definiuje się jako stosunek transformaty zet
sygnału wyjściowego do transformaty zet sygnału wejściowego.
H (z ) =
gdzie:
Y (z ) =
X (z ) =
∞
∑ y[n]z − n
n = −∞
∞
∑ x[n]z − n
n = −∞
Z {y[n]} Y ( z )
=
Z {x[n]} X ( z )
CPS
2006
Transmitancja filtru nierekursywnego ( SOI, N=0 ):
H ( z) =
Z { y ⎣⎡ n ⎦⎤}
Z { x ⎡⎣ n ⎤⎦}
M
=
bk z − k
∑
k =0
a0
M
= ∑ hk z − k
k =0
gdzie współczynniki
hk =
bk
a0
stanowią reakcję impulsową filtru, tj. odpowiedź na wymuszenie δ [n]
Transmitancja filtru rekursywnego ( NOI, N > 0 ):
M
bz
Z { y [ n ]} ∑
H ( z) =
=
Z { x [ n ]}
∑a z
k =0
N
k =0
−k
∞
k
k
−k
= ∑ hk z − k
k =0
gdzie współczynniki oblicza się z wykorzystaniem transformaty odwrotnej zet.
Wprowadzając podstawienie
z=e
jωT p
określamy przekształcenie Fouriera dla sygnałów dyskretnych (obszar
zbieżności transformaty musi zawierać okrąg jednostkowy).
CPS
2006
Odnosząc się do transmitancji filtru, otrzymujemy dla obu rodzajów filtrów
odpowiednie charakterystyki widmowe:
SOI - H ( jω ) = H ( z )
M
z =e
NOI - H ( jω ) = H ( z )
jωT p
z =e
= ∑ hk e
j ωT p
− jkωT p
k =0
=
∞
∑ hk e
− jkωT p
k =0
które umożliwiają bardzo efektywną analizę filtrów cyfrowych w dziedzinie
częstotliwości.
Charakterystyka widmowa
H ( jω ) = H (ω )e jφ (ω )
określa jednocześnie charakterystykę amplitudową
H (ω ) = H ( jω )
oraz charakterystykę fazową
φ (ω ) = arg H ( jω )
CPS
2006
Cyfrowe filtry nierekursywne
Filtry typu SOI (ang. FIR – Finite Impulse Response ) są najprostszym w
analizie typem filtrów cyfrowych. Do uzyskania próbki sygnału wyjściowego
wykorzystuje bieżącą i przeszłe próbki sygnału wejściowego.
Przykład
Rozparzymy bardzo prosty algorytm, którego zadaniem jest wygładzanie
przebiegu (np. zawierającego szum przypadkowy). Jednym ze sposobów
wygładzania jest uśrednianie sąsiednich próbek. Operację filtrowania (?!) można
zapisać jako:
y[k ] =
x[k ] + x[k − 1]
2
Równanie to opisuje system LTI.
W tabeli pokazano przykładowe próbki sygnału podanego na wejście filtru x[k]
oraz próbki wyjściowe y[k]:
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
x[k]
0.38
0.46
0.76
0.82
0.92
0.85
0.96
0.98
0.97
1.12
1.13
1.06
1.17
1.01
1.16
1.15
y[k]
0.42
0.61
0.79
0.87
0.89
0.91
0.97
0.98
1.04
1.12
1.10
1.12
1.09
1.09
1.15
CPS
2006
17
18
19
20
1.08
1.12
1.19
1.13
1.11
1.10
1.15
1.16
Z tabeli oraz wykresu możemy zauważyć, że sygnał wyjściowy jest
bardziej gładki niż wejściowy, a to oznacza wolniejsze zmiany w sygnału
wyjściowego. Możemy przypuszczać, że po przejściu sygnału przez układ ( filtr
), zostały wytłumione składniki o wyższych częstotliwościach.
x[k]
k
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Czy rzeczywiście mamy do czynienia z filtrem, i z jakim filtrem przekonamy się
określając jego charakterystykę widmową:
y[k ] = 0.5 ⋅ x[k ] + 0.5 ⋅ x[k − 1]
Transformata zet obu stron równania różnicowego:
CPS
2006
Y ( z ) = 0.5 ⋅ X ( z ) + 0.5 ⋅ z −1 X ( z )
(
)
Y ( z ) = 0.5 ⋅ 1 + z −1 X ( z )
Transmitancja filtru wynosi:
H ( z) =
Y (z )
= 0.5 ⋅ 1 + z −1
X (z )
(
)
Charakterystyka widmowa
Stosując podstawienie (dla okresu próbkowania Tp=1)
z=e
jωT p
= e jω
(
H ( jω ) = H ( z ) z = e jω = 0.5 ⋅ 1 + e − jω
H ( jω ) = e
− j 1ω
2
)
j 1ω
− j 1ω
⋅ 0.5⎛⎜ e 2 + e 2 ⎞⎟
⎠
⎝
H ( jω ) = e
− j 1ω
2
⋅ cos(ω2 )
Jeżeli założony okres próbkowania wynosi 1, to zgodnie z twierdzeniem o
próbkowaniu maksymalna częstotliwość charakterystyki ( odpowiedzi
impulsowej ) ze względu na zjawisko powielania widma wyniesie:
ω max = 12 ⋅ ω p = 12 ⋅ 2πf p =
Charakterystyka amplitudowa
π
Tp
=π
CPS
2006
H (ω ) = H ( jω ) = e
− j 1ω
2
cos(ω2 )
H (ω ) = cos(ω2 )
H (ω )
1
H (ω k )
ω
0
0
1
2
ωk
3
π
ω max
Charakterystyka fazowa
− jω
⎛
arg H (ω ) = arg⎜ e 2 cos(ω2 )⎞⎟
⎝
⎠
arg H (ω ) = −
ω
2
4
5
6
2π
ω
p
CPS
2006
arg H ( j ω )
0
ωk
ω max
π
ω
p
2π
ω
φ (ω k )
−
π
2
Charakterystyki amplitudową oraz fazową filtru nierekursywnego można
wyznaczyć w sposób graficzny, znając położenie wszystkich zer transmitancji
filtru za płaszczyźnie zet. Zakres częstotliwości charakterystyk jak pokazano
wcześniej dla okresu próbkowania Tp=1 wynosi od zera od π .
Poruszając się po półokręgu o promieniu jednostkowym, możemy dla
dowolnego punktu odpowiadającemu częstotliwości ω k wyznaczyć wartości
widma:
• amplitudowego (jako iloczyn długości odcinków łączących punkt ω k z
wszystkimi zerami transmitancji filtru)
• fazowego (jako sumę kątów jakie tworzą odcinki łączące punkt ω k z
zerami i osią rzeczywistych )
Należy zatem zauważyć, że istnieje ścisły, jednoznaczny związek między
położeniem zer transmitancji i kształtem charakterystyk amplitudowej i fazowej.
W literaturze poświęcono sporo uwagi zagadnieniom doboru zer filtru
cyfrowego ze skończoną pamięcią ( SOI ), pozwalającego osiągnąć zadane
charakterystyki amplitudowe i fazowe.
CPS
2006
Im ( z )
ωk
ω
H (ω k )
Re ( z )
ω max = π
− φ (ω k )
0
1 ω =0
zero
transmitancji
Przykład:
Na wykresach przedstawiony jest sygnał na wejściu oraz na wyjściu filtru.
Należy obliczyć charakterystyki widmowe:
x[k]
1
k
X ( z ) = 1 + z −1
CPS
2006
x[k]
2
1
k
(
Y ( z ) = 1 + 2 z −1 + z − 2 = 1 + z −1
)
2
Transmitancja
(
)
Y ( z ) 1 + z −1
= 1 + z −1
=
H (z ) =
−1
X (z ) 1 + z
2
Równanie różnicowe:
Y ( z ) = H ( z ) X ( z ) → y[k ] = x[k ] + x[k − 1]
Otrzymaliśmy równanie jak w poprzednim przykładzie.
Przykład:
Dla danych dwóch wcześniejszych położeń obiektu x[k-2], x[k-1],
przewidywane położenie obiektu y[k] znajduje się na linii prostej przecinającej
punkty x[k-2], x[k-1]. Należy znaleźć cyfrowy filtr predykcji sygnału (
przewidującego położenie obiektu ).
CPS
2006
y[k]
x[k-1]
x[k-2]
k
k-2
k-1
k
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
x[k − 1] − x[k − 2]
(k − (k − 1)) = y[k ] − x[k − 1]
(k − 1) − (k − 2)
x[k − 1] − x[k − 2] = y[k ] − x[k − 1]
2 ⋅ x[k − 1] − x[k − 2] = y[k ]
Transmitancja
H ( z ) = 2 ⋅ z −1 − z −2
Charakterystyka widmowa
H ( jω ) = 2 ⋅ e − jω − e −2 jω
CPS
2006
Projektowanie dolnoprzepustowych filtrów nierekursywnych
Procedura projektowania rozpoczyna się od założenia wymaganej
charakterystyki filtru ( funkcji transmitancji ). Następnie oblicza się
współczynniki filtru.
Najczęściej stosowane metody projektowania filtrów SOI to:
• metoda okien
( polega na obliczaniu odpowiedzi impulsowej filtru poprzez
wyznaczanie odwrotnej DFT oraz zastosowanie funkcji okien
wygładzających )
• metody optymalizacyjne (np. metoda Remeza)
(wykorzystują algorytmy wyznaczania współczynników filtru, na
podstawie zadanych warunków w dziedzinie częstotliwości, tj. dla
charakterystyki widmowej)
• metody ewolucyjne (algorytmy genetyczne)
( nowe metody wykorzystujące algorytmy wyszukiwania
współczynników metodami losowań i wyboru statystycznego )
Metoda okien:
Projektowanie rozpoczyna się od przyjęcia funkcji transmitancji filtru,
który będziemy konstruować. Zdefiniujemy idealną charakterystykę
analogowego filtru dolnoprzepustowego.
H(f)
funkcja transmitancji filtru
o zerowej fazie
1
częstotliwość
graniczna
f
-f p
-f p /2
0
f p /2
fp
CPS
2006
Przyjmujemy wartość jednostkową w paśmie dolnych częstotliwości, oraz zero
w paśmie powyżej częstotliwości granicznej, czyli w paśmie zaporowym.
Dyskretny odpowiednik funkcji transmitancji jest funkcją periodyczną z
okresem równym częstotliwości próbkowania. Zagadnienia związane z
powielaniem widma w wyniku dyskretyzacji funkcji czasu, omawiano na
wykładzie dotyczącym metod próbkowania sygnałów analogowych.
Rysunek przedstawia
dolnoprzepustowego.
dyskretną
funkcję
transmitancji
idealnego
filtra
H[m]
m
m=-N
m=-N/2
m=0
m=N/2
-f p /2
m=N
f p /2
fp
0
Po wybraniu funkcji transmitancji realizowanego filtru, należy
zdefiniować H[m] w pojedynczym okresie od 0 do fp. Na rysunku pokazano
dyskretną postać funkcji transmitancji, gdzie przyjęto przykładowo N=32
punkty reprezentacji w dziedzinie częstotliwości.
H[m]
1
0
4
f p /2
8
12
16
m
20
24
28
31
fp
CPS
2006
Stosując 32 punktowe odwrotne DFT ( lub odwrotne FFT ) otrzymujemy 32
wartości h[n], jak na rysunku indeksowane od n=-15 do n=16.
0.219
odwrotna DFT H[m]
n
-15
0
16
Współczynniki filtru wynikowego powinny być
symetrycznie z maksymalną wartością w środku okna filtru.
rozmieszczone
Opuszczamy zatem próbkę dla n=16 i przesuwamy wszystkie
współczynniki tak aby były numerowane od wartości zero. Zgodnie z
twierdzeniem o przesunięciu ciągu w dziedzinie czasu, charakterystyka
amplitudowa nie zmienia swojego kształtu, następuje jedynie zmiana
charakterystyki fazowej.
Przedstawione na rysunku wartości realizują dolnoprzepustowy filtr
nierekursywny 31 rzędu.
h[n]= przesunięta
odwrotna DFT H[m]
n
0
15
30
CPS
2006
Pokażemy jak zależy dokładność aproksymacji funkcji transmitancji od
liczby współczynników filtru.
Zdefiniujemy funkcję okna prostokątnego o zmiennej szerokości i jednostkowej
wysokości w[n]. Mnożenie odpowiedzi impulsowej filtru idealnego przez
funkcje w[n], pozwala za zmianę liczby współczynników filtru.
h[n] = h ∞ [n]⋅ w[n]
Użycie filtru 9 rzędu daje w wyniku filtr dolnoprzepustowy, ale jeżeli
porównamy jego charakterystykę amplitudową jest ona daleka od ideału.
h[k]
n=9
Sytuację poprawia zastosowanie filtru 19 rzędu. Charakterystyka
amplitudowa zbliża się kształtem do zakładanej, prostokątnej. Zauważmy
wyraźne nierównomierności w paśmie przepustowym.
h[k]
n=19
15
CPS
2006
Zastosowanie filtru 31 rzędu daje jeszcze lepszą charakterystykę znacznie zmniejszyliśmy pasmo przejściowe. Jednak nierównomierności
charakterystyki w paśmie przepustowym nadal są wyraźnie widoczne.
h[k]
n=31
0
15
30
Wnioski:
• Dalsze zwiększanie liczby współczynników powoduje zawężenie
obszaru przejściowego, ale nie likwiduje nierównomierności
charakterystyki amplitudowej w paśmie przepustowym.
• Efekt ten jest nazywany efektem Gibsa i występuje gdy nieciągłość
funkcji prostokątnej w[n] wyrażona jest w postaci szeregu Fouriera.
Inaczej można stwierdzić, że zbiór przebiegów sinusoidalnych nie
jest w stanie odwzorować nieciągłości.
• Nierównomierności w paśmie przepustowym można jednak
minimalizować stosując tzw. funkcje okien wygładzających.