PPS 2 kartkówka

PPS 2 kartkówka
1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE
Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki
rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu. Można je
rozwiązywać za pomocą równań charakterystycznych lub transformat.
2 TRANSFORMATA
Transformata Laplace’a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:
∞
𝐹(𝑠) = ℒ{𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
0
W teorii sygnałów oznacza ono przekształcenie funkcji sygnału w czasie na funkcję w dziedzicznie
częstotliwości.
Dzięki temu przekształceniu otrzymujemy przedstawienie funkcji na płaszczyźnie zespolonej. Często
stosowana transformata Fouriera jest szczególnym przypadkiem transformaty Laplace’a, mianowicie dla
DFT 𝑠 = 𝑗𝜔
3 TRANSMITANCJA
Transmitancją nazywamy stosunek transformaty sygnału po filtracji do transformaty sygnału przed
filtracją:
𝐻(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
Jest ona bezpośrednio powiązana z sygnałem impulsowym poprzez zależność:
ℎ(𝑡) = ℒ −1 [𝐻(𝑠)]
gdzie h(t) jest sygnałem impulsowym a ℒ −1 oznacza odwrotną transformatę Laplace’a.
4 ODPOWIEDŹ IMPULSOWA
System czy też w naszym przypadku filtr jest jednoznacznie określony przez swoją odpowiedź
impulsową. Jak wspomniano przy poprzednim punkcie, jest on jednoznacznie związany z transmitancją
za pomocą transformaty. Znając sygnał wejściowy oraz transmitancję (którą znamy mając daną
odpowiedź impulsową) jesteśmy w stanie znaleźć odpowiedź na taki sygnał.
Odpowiedzią impulsową h(t) układu nazywamy sygnał, jaki wystąpi na jego wyjściu, jeśli w chwili t = 0
przy warunkach początkowych będzie on pobudzany impulsem Diraca.
Odpowiedź impulsowa charakteryzuje układ – oznacza to, że znając odpowiedź impulsową umiemy
przewidzieć odpowiedź układu na dowolne pobudzenie wejściowe.
5 OKRĄG JEDNOSTKOWY
Uogólnieniem Dyskretnej Transformaty Fouriera (DFT) jest Transformata Z. Może być ona określona
przez wyznaczenie wartości transformaty Z 𝑋(𝑧) 𝑑𝑙𝑎 𝑧 = 𝑒 𝑗𝜔 czyli określenie jej wartości na okręgu
jednostkowym. Jeśli transformata Z nie da się określić na okręgu jednostkowym oznacza to, że DFT nie
istnieje.
Sam okręg jednostkowy to okrąg o promieniu równym 1. Korzystając z własności liczb zespolonych
można określić go postacią wykładniczą 𝑧(𝑡) = 𝑒 𝑖𝑡
6 ZERA I BIEGUNY
Transmitancję możemy zapisać w następującej postaci:
𝐻(𝑠) = 𝐻0
(𝑠 − 𝑧1 )(𝑠 − 𝑧2 ) … (𝑠 − 𝑧𝑙 )
(𝑠 − 𝑠1 )(𝑠 − 𝑠2 ) … (𝑠 − 𝑠𝑚 )
Gdzie


𝑧1 , … , 𝑧𝑙 nazywamy zerami transmitancji
𝑠1 , … , 𝑠𝑚 nazywamy biegunami transmitancji
Zera i bieguny mają bezpośredni wpływ na postać odpowiedzi impulsowej a co za tym idzie –
transmitancji.
Powyższy wzór można przedstawić również jako iloczyn dwóch wielomianów zespolonych
𝐻(𝑠) =
𝑏𝑚 𝑠 𝑚 + ⋯ + 𝑏1 𝑠 + 𝑏0
𝑎𝑛 𝑠 𝑛 + ⋯ + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0
Przy założeniu, że m<=n.
W takim przypadku możemy powiedzieć, że transmitancja jest określona w sposób jednoznaczny za
pomocą biegunów i zer na płaszczyźnie zespolonej.
7 FILTRY BUTTERWORTHA I CZEBYSZEWA
Poniżej porównanie graficzne filtrów:
Zauważamy, że moduł transmitancji filtra Butterwortha jest stosunkowo gładkim wykresem. W filtrach
Czebyszewa występują:


Typ 1 zafalowania modułu funkcji transmitancji w paśmie przepustowym
Typ 2 zafalowania modułu funkcji transmitancji w paśmie zaporowym
8 RÓŻNICA MIĘDZY FIR A IIR
Mówiąc o różnicach między filtrami należy przytoczyć pełne nazwy filtrów


FIR – finite impulse response
IIR – infinite impulse response
Widzimy zatem już z nazwy, że FIR to skończona a IIR nieskończona odpowiedź impulsowa. Układy
fizyczne realizujące filtr IIR są układami rekursywnymi.
9 CZĘSTOTLIWOŚĆ GRANICZNA FILTRU
Jest to wartość graniczna częstotliwości, dla której (umownie) kończy się pasmo przepustowe. Mówiąc
wprost, po przekroczeniu częstotliwości granicznej filtr „wycina” sygnał filtrowany. Poniższy obraz
przedstawia filtr dolnoprzepustowy, w tym przypadku częstotliwość graniczna (cutoff frequency) jest
maksymalną częstotliwością przepuszczaną przez filtr.
Umownie przyjmuje się, że częstotliwość graniczna to ta, dla której tłumienie filtru przekracza 3dB.
10 PRZYCZYNOWOŚĆ I STABILNOŚĆ FILTRU
Filtr "przyczynowy" używa wyłącznie poprzednich próbek wejściowych lub wyjściowych; podczas gdy
filtr "nieprzycznynowy" do obliczenia aktualnej próbki wyjściowej przyszłych próbek wejściowych.
Filtr nieprzyczynowy może być zmieniony w filtr przyczynowy poprzez dodanie do niego opóźnienia.
Stabilność


Filtry FIR są zawsze stabilne, gdyż w ich funkcji transmitancji występują tylko zera, nie ma
rekursywności.
Filtry IIR wprowadzają potencjalne zagrożenie utraty stabilności. Odpowiedź takiego filtru w
sposób niekontrolowany narasta do nieskończoności. Niestabilność może mieć miejsce, gdy
bieguny transmitancji znajdują się poza okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej.
11 OKNO CZASOWE
Jest to funkcja opisująca sposób pobierania próbek z sygnału. Obserwując sygnał 𝑢(𝑛) w skończonym
przedziale czasu wynikiem obserwacji jest:
𝑔(𝑛) = 𝑢(𝑛)𝑤(𝑛)
Gdzie 𝑤(𝑛) jest funkcją okna. Od postaci tej funkcji zależą różnice pomiędzy widmem obserwowanym a
faktycznym widmem sygnału.
Projektując filtr metodą okna mamy do czynienia z Efektem Gibbsa - rząd filtra nie wpływa na poziom
listków bocznych a jedynie na szerokość pasma przejściowego.