Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa dla Matematyki, lista 0

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa dla Matematyki, lista 0
Przypomnijmy pewne fragmenty Analizy, niezbędne w Rachunku Prawdopodobieństwa.
Zad.1 Jak dowodzi się wzoru Stirlinga? Oto ten wzór: Dla wszystkich n = 1, 2, 3, ... zachodzi
równość
n
√
n
n! = 2πn
eθn /(12n) , 0 < θn < 1.
e
Zad.2. Funkcja gamma: dla x > 0 określamy Γ(x) =
Z ∞
tx−1 e−t dt.
0
a) Sprawdź, że dla podanego zakresu zmiennej x całka jest zbieżna i wykaż, że Γ(x+1) = xΓ(x).
b) Oblicz Γ(1) i wykaż, że Γ(n + 1) = n! dla n = 1, 2, 3, ...
Zad.3. Wykaż prawdziwość lematu Kroneckera:
∞
X
a1 + a2 + ... + an
an
jest zbieżny, to lim
= 0.
jeżeli szereg liczbowy
n→∞
n
n=1 n
Zad.4. Najważniejsza funkcja w rachunku prawdopodobieństwa:
2
Jak wiemy z kursu Analizy, funkcja e−x ma nieelementarną pierwotną. Dlatego ważne są jej
dokładne oszacowania. Niech
1 Z x −t2 /2
√
Φ(x) =
e
dt.
2π −∞
Wykaż, że dla wszystkich x > 0 zachodzi podwójna nierówność
1
1
1
2
√ e−x /2
− 3
x x
2π
1
1
2
¬ 1 − Φ(x) ¬ √ e−x /2
x
2π
Oczywiście dla 0 < x < 1 to nie jest rewelacyjne oszacowanie. Spróbuj je poprawić.
Na wykładzie podamy nowoczesną definicję prawdopodobieństwa, warto jednak wiedzieć, co
rozumiano pod tym pojęciem kiedyś. W książce Ars Conjectandi (opublikowanej w roku 1713)
Jakub Bernoulli podał następującą definicję prawdopodobieństwa: prawdopodobieństwo to stopień przeświadczenia i odnosi się tak do pewności, jak część do całości.
Rachunek prawdopodobieństwa z kilku względów jest przedmiotem wyjątkowym spośród przedmiotów matematycznych nauczanych w czasie studiów. Jednym z nich jest jego powszechne
stosowanie na co dzień, niestety, w wielu przypadkach stosowanie błędne. Sprawdzianem tworzonych przez nas modeli teoretycznych MUSI być otaczająca nas rzeczywistość: modele takie
POWINNY pasować do tego, co widzimy wokół nas. A nie zawsze matematycy brali to pod
uwagę. Dlatego warto poświęcić nieco czasu na przeprowadzenie kilku doświadczeń, do których
modele teoretyczne będziemy budować w trakcie dalszej nauki.
Problem 1. Czy „ jednakowe” monety są rozróżnialne?
Na pierwszy rzut oka dwie monety jednozłotowe, które właśnie opuściły mennicę, są nie do
odróżnienia. Jeśli podrzucimy w górę dwie takie monety, to możemy spodziewać się trzech
różnych rezultatów: ukażą się dwie reszki RR lub dwa orły OO albo orzeł i reszka O+R. Jakie
są prawdopodobieństwa tych trzech zdarzeń?
Wykonaj 100 rzutów dwiema jednakowymi monetami, notując ile razy wypadły dwa orły, ile
razy dwie reszki, a ile para orzeł-reszka. Uwaga: zanotuj też kolejne wyniki: OOROOORRO...,
przydadzą się w następnym zadaniu.
Problem 2. Czy masz prawidłową intuicję losowości?
Wykorzystaj wyniki 200 rzutów monetą otrzymane w poprzednim zadaniu. Dopisz do nich
wymyślone przez siebie 200 wyników, jakie według Ciebie może dać realna moneta. Pokaż obie
serie tych wyników wykładowcy. Jeśli potrafi on odróżnić wyniki wymyślone od otrzymanych
podczas rzeczywistych rzutów, oznacza to, że ...
Przypuśćmy, że za chwilę wykonasz 10 rzutów prawidłową (=symetryczną) kostką do gry. Który
z podanych wyników jest bardziej prawdopodobny: 1111111111 czy 1263426251?
Kolega powiedział Ci, że właśnie wykonał 10 rzutów swoją kostką i uzyskał 10 jedynek. Co
można sądzić o takim wyniku? A gdyby powiedział, że otrzymał 1263426251?
Problem 3. Klasyczne zadanie o „ jednakowych dniach urodzin”
Zbadaj, czy w Twojej grupie ćwiczeniowej są osoby, obchodzące urodziny tego samego dnia.
Nie wykonując żadnych rachunków podaj, ile według Ciebie osób powinna liczyć losowo dobrana
grupa, aby prawdopodobieństwo tego, że znajdą się w niej dwie osoby o jednakowym dniu
urodzin, było wieksze niż 12 .
Fakt: Jak podaje Ian Stewart w swojej książce Co za traf !, na to pytanie zadane studentom
amerykańskim, średnia z uzyskanych odpowiedzi wyniosła 385. Korzystając z zasady szufladkowej Dirichleta wykaż, że 385 to czysty absurd. Ile co najmniej osób powinna liczyć grupa,
aby to prawdopodobieństwo było równe 1?
Problem 4. Rzucamy monetą do uzyskania dwóch orłów z rzędu. Przeprowadź i zapisz wyniki
20 takich doświadczeń (lub wykorzystaj wyniki z Problemu 1). Czy możemy mieć pewność, że
takie doświadczenie kiedyś się zakończy? Uwaga: co to znaczy „pewność”?
Problem 5. Z przystanku przy uczelni w kierunku domu Jacka kursują dwie linie autobusowe,
A i B, każda z nich co 10 minut. Po zakończeniu zajęć na uczelni Jacek przychodzi na przystanek (zakładamy, że chwila ta jest losowa, bo np. pogada chwilkę z kolegami) i wsiada do
pierwszego pasującego autobusu. Jacek ze zdziwieniem zauważył, że w czasie 100 dni zajęć w
semestrze, około 90 razy wracał linią A i tylko około 10 razy linią B. Czy ta obserwacja przeczy założeniu, że Jacek przychodzi w momencie losowym? A może przeczy całemu rachunkowi
prawdopodobieństwa?
Problem 6. Obliczanie liczby π za pomoca igły – zadanie Buffona
Przygotuj poliniowany papier i dokładnie zmierzoną igłę np. za pomocą suwmiarki. Jeśli na
przykład igła ma 3,52 cm, to przeprowadź na płaszczyźnie kilka równoległych linii, leżących
w odległości 4 cm jedna od drugiej (chodzi o to, aby leżąca na kartce igła nie mogła przeciąć
jednocześnie dwóch linii).
Wykonaj 100 rzutów igłą na tę kartkę (czyli płaszczyznę), obliczając liczbę tych doświadczeń,
w których igła przecięła którąkolwiek linię. Spróbujemy później obliczyć prawdopodobieństwo
takiego zdarzenia, a stąd liczbę π.
Problem 7. Spośród 4 kart (2 czerwone + 2 czarne) wyciągasz losowo dwie karty. Oczywiście
albo obie będą tego samego koloru albo różnych kolorów. Wykonaj 30 takich doświadczeń (dobrze tasując każdorazowo karty) i zapisz wyniki (jednakowe – różne). Czy prawdopodobieństwo
wyciągnięcia kart różnych kolorów jest równe 21 ?
Problem 8. The hat problem
Three players enter a room and a red or blue hat is placed on each person’s head. The color
of each hat is determined by a coin toss, with the outcome of one coin toss having no effect on
the others. Each person can see the other players’ hats but not his own.
No communication of any sort is allowed, except for an initial strategy session before the game
begins. Once they have had a chance to look at the other hats, the players must simultaneously
guess the color of their own hats or pass. The group shares a hypothetical $3 million prize if at
least one player guesses correctly and no players guess incorrectly.
The same game can be played with any number of players. The general problem is to find a
strategy for the group that maximizes its chances of winning the prize.
One obvious strategy for the players, for instance, would be for one player to always guess ”red”
while the other players pass. This would give the group a 50 percent chance of winning the
prize. Can the group do better?