rozwiązywanie układów równań metodą wyznaczników

Projekt współfinansowany przez
Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego
Jednostka tematyczna L6.02 Zastosowanie rachunku macierzowego
Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie
Program Operacyjny Kapitał Ludzki – Priorytet 9 – Działanie 9.1 – Poddziałanie 9.1.2
Rozwiązywanie układów równań metodą wyznaczników
Wyznaczniki służą do rozwiązywania układów równań liniowych o różnej
liczbie niewiadomych.
Najbardziej przydają się przy rozwiązywaniu układów równań liniowych o
większej liczbie niewiadomych.
Dla poniższego układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi
tworzymy kolejno wyznaczniki drugiego stopnia: główny W oraz Wx i Wy
oraz stosując wzory Cramera otrzymujemy rozwiązanie
Dla układu równań liniowych z trzema niewiadomymi x, y, z
Opracowała mgr Anna Śliwińska
Strona 2
Jednostka tematyczna L6.02 Zastosowanie rachunku macierzowego
wyznaczniki wynoszą kolejno
Niewiadome oblicza się korzystając ze wzorów Cramera
Wyznacznik stopnia trzeciego najłatwiej jest obliczyć metodą Sarrusa,
dopisując dwa kolejne wiersze lub dwie kolejne kolumny i mnożąc wyrazy po
przekątnych, biorąc iloczyn ze znakiem plus idąc od lewego górnego naroża,
a ze znakiem minus od prawego górnego naroża.
Wyznacznik stopnia czwartego i wyższego można obliczyć "rozwijając go" na
podwyznaczniki, odpowiadające dowolnej kolumnie lub dowolnemu wierszowi,
mnożąc te wyznaczniki przez wyrazy tej kolumny lub wiersza, biorąc te wyrazy
ze znakami zmieniającymi się z plus na minus, poczynając od górnego lewego
naroża
Opracowała mgr Anna Śliwińska
Strona 3
Jednostka tematyczna L6.02 Zastosowanie rachunku macierzowego
Szczególne przypadki rozwiązywania układów równań
Twierdzenie Cramera:
Przypadek 1.
Jeżeli wyznacznik główny 𝑊 ≠ 0 to układ n równań liniowych z tą samą liczbą
niewiadomych ma dokładnie jedno rozwiązanie postaci
𝑊1
𝑊2
𝑊3
𝑊𝑛
𝑥1 =
; 𝑥2 =
; 𝑥3 =
; … … ; 𝑥𝑛 =
𝑊
𝑊
𝑊
𝑊
Układ równań nazywamy oznaczonym lub układem równań niezależnych.
Przypadek 2.
Jeżeli wyznacznik główny 𝑊 = 0, ale nie wszystkie wyznaczniki
𝑊1 ; 𝑊2; 𝑊3 ; … . 𝑊𝑛 jednocześnie są równe zeru to układ n równań liniowych z
tą samą liczbą niewiadomych nie ma rozwiązania i nazywa się układem równań
sprzecznym.
Przypadek 3.
Jeżeli wyznacznik główny 𝑊 = 0, i wszystkie wyznaczniki
𝑊1 = 0; 𝑊2 = 0; 𝑊3 = 0; … . 𝑊𝑛 = 0 jednocześnie są równe zeru to
przynajmniej jedno równanie wynika z pozostałych czyli jest kombinacją
liniową. Odrzucając równanie, które jest kombinacją liniową otrzymujemy
nowy układ równań z zawierający mniej równań niż niewiadomych. Układ jest
nieoznaczony.
Opracowała mgr Anna Śliwińska
Strona 4