Dr inż - Instytut Techniki Cieplnej

LABORATORIUM TECHNIKI CIEPLNEJ
INSTYTUTU TECHNIKI CIEPLNEJ
WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA
I ENERGETYKI
POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ
INSTRUKCJA LABORATORYJNA
Temat ćwiczenia:
ZASTOSOWANIE RACHUNKU WYRÓWNAWCZEGO DO
KORYGOWANIA WYNIKÓW POMIAROWYCH
URZĄDZEŃ CIEPLNYCH
1. WPROWADZENIE
Nie wszystkie wielkości występujące w równaniach bilansów substancji i energii można
łatwo zmierzyć. Wielkości trudne do zmierzenia staramy się obliczyć za pomocą równań
bilansowych. W przypadku gdy liczba niewiadomych jest mniejsza od liczby równań
warunków
występuje
nadmiar
informacji
pomiarowych.
Pomiary
są
obarczone
nieuniknionymi błędami pomiarowymi, co prowadzi do konsekwencji:
•
do obliczeń niewiadomych można wybrać kilka różnych zestawów równań; za każdym
razem uzyska się inne wyniki, mimo fizycznej poprawności wykorzystywanych równań,
•
podstawienie wyników pomiarów i obliczeń do nie wykorzystanych równań bilansowych
prowadzi do niespełnienia się tych równań,
Trudności wynikające z nadmiaru informacji pomiarowych można usunąć przez
odpowiednie skorygowanie wyników pomiarowych. Korygowanie wyników pomiarowych
występujących w bilansach substancji i energii nazywa się uzgadnianiem bilansów
substancji i energii. Korzyści wynikające z zastosowania uzgadniania:
•
zapewnia jednoznaczne obliczenie najbardziej prawdopodobnych wartości niewiadomych,
•
zapewnia zmniejszenie niedokładności wyników pomiarowych i umożliwia obliczenie
przedziału
niedokładności
wyników
uzgodnionych
oraz
obliczonych
wartości
niewiadomych,
•
umożliwia
skontrolowanie
dotrzymania
założonej
dokładności
pomiarów;
brak
dotrzymania tej dokładności może świadczyć o występowaniu systematycznych błędów
pomiarowych lub o błędności założeń przyjętych przy formułowaniu równań
bilansowych,
2. PROCEDURA UZGADNIANIA BILANSÓW SUBSTANCJI I ENERGII
Przeprowadzenie uzgadniania jest możliwe, jeżeli znana jest dokładność wyników
pomiarowych i odbywa się na podstawie kryterium największej wiarygodności. Prowadzi
ono do warunku minimum ważonej sumy kwadratów poprawek.
Stanek W.: Zastosowanie rachunku wyrównawczego do korygowania wyników pomiarowych urządzeń
cieplnych, 3.11.2006
2
2.1. Klasyczna metoda uzgadniania
W ogólnym przypadku funkcja celu przy doborze poprawek (kryterium największej
wiarygodności) przyjmuje postać:
n
v 2j
∑m
j =1
u
+∑
2
j
l =1
yl2
→ min.
ml2
(1)
W klasycznej metodzie uzgadniania przyjmuje się, że dokładność wstępnego
oszacowania niewiadomych nie jest znana, co jest równoznaczne z przyjęciem nieskończenie
dużych średnich błędów oszacowania niewiadomych:
ml → ∞
(2)
co w efekcie prowadzi w metodzie klasycznej do minimum ważonej sumy poprawek
wielkości mierzonych:
v 2j
→ min.
∑
2
j =1 m j
n
(3)
Po przyjęciu funkcji celu (r. 3), linearyzacji równań warunków poprzez rozwinięcie w szereg
Taylora oraz wykorzystaniu metody nieoznaczonych czynników Lagrange'a [1] uzyskuje się
układ równań do wyznaczenia poprawek wielkości mierzonych v j i poprawek wstępnie
wyznaczonych niewiadomych yl :
n
∑a
j =1
u
kj
v j + ∑ bkl yl = wk
(4)
l =1
vj
m 2j
r
r
= ∑ akj k k
∑b
k =1
(5)
k =1
k =0
kl k
(6)
gdzie:
 ∂F 
 ∂F
akj =  k  , bkl =  k
 ∂α 
 ∂βl
 j 0

 - pochodne równań warunków po wielkościach mierzonych α j i
0
niewiadomych βl ,
ν j , yl - poprawki wielkości mierzonych i niewiadomych,
przy czym indeksy w równaniach 2-4 przyjmują wartości:
k=1...r; r- liczba równań warunków,
Stanek W.: Zastosowanie rachunku wyrównawczego do korygowania wyników pomiarowych urządzeń
cieplnych, 3.11.2006
3
j=1...n; n - liczba wielkości mierzonych,
l=1...u; u - liczba niewiadomych.
W klasycznej metodzie uzgadniania powinna być spełniona nierówność
u<r<n
(7).
Jeżeli liczba wielkości mierzonych jest mniejsza od liczby równań, to przedstawiona metoda
uzgadniania nie może być zrealizowana.
2.2 Uogólniona metoda uzgadniania
Przyjęcie warunku (2) w klasycznej metodzie uzgadniania jest zbyt pesymistyczne.
Wstępne oszacowanie niewiadomych wynika bowiem z zebranych doświadczeń albo
wykorzystania praw fizyki. Uogólniona metoda uzgadniania opiera się na ocenie dokładności
wstępnego oszacowania wielkości nie mierzonych. Wstępne oszacowanie niewiadomych
wprowadza dodatkowe informacje i dlatego zwiększa dokładność uzgadniania. Metoda
uogólniona nie nakłada żadnych ograniczeń na liczbę równań bilansowych, podczas gdy
metoda klasyczna wymaga, liczba równań była mniejsza od liczby wielkości mierzonych
(równanie 7). W metodzie uogólnionej warunek minimum ważonej sumy kwadratów
obejmuje zarówno poprawki wielkości mierzonych jak również poprawki wstępnie
oszacowanych niewiadomych:
n
v 2j
∑m
j =1
2
j
u
+∑
l =1
yl2
→ min.
ml2
(8)
W takim przypadku układ równań do wyznaczenia poprawek wielkości mierzonych i
niewiadomych przyjmuje postać:
n
u
j =1
l =1
∑ akj v j + ∑ bkl yl = wk
(9)
r
vi
=
∑ akj kk
m 2j k =1
(10)
r
yl
=
bkl k k
∑
ml2 k =1
(11)
Stanek W.: Zastosowanie rachunku wyrównawczego do korygowania wyników pomiarowych urządzeń
cieplnych, 3.11.2006
4
2.
POSTĘPOWANIE W PROCEDURZE UZGADNIANIA
2.1. Przyjęcie oznaczeń
Procedurę uzgadniania należy rozpocząć od jednoznacznego przyjęcia oznaczeń:
α J - oznaczenie wielkości mierzonej (lj - wartość wielkości mierzonej),
βl - oznaczenie wielkości niewiadomej (xl - wstępnie wyznaczona wartość niewiadomej),
mj - błąd bezwzględny pomiaru j-tej wielkości mierzonej,
ml - błąd bezwzględny wstępnego oszacowania l-tej niewiadomej,
2.2 Przygotowanie układu równań warunków
Dla badanego procesu cieplnego zapisać równania warunków (bilanse substancji i
energii) zgodnie z oznaczeniami przyjętymi w punkcie 2.1. Ogólna postać równania warunku:
Fk (α1 Kα n ,β1 ,K ,βu ) = 0
(12)
2.3. Wyznaczenie pochodnych cząstkowych
Wyznaczyć pochodne cząstkowe wszystkich równań warunków po wielkościach
mierzonych i po niewiadomych:
 ∂F 
 ∂F
akj =  k  , bkl =  k
 ∂α 
 ∂βl
 j 0


0
(13)
2.4. Sprawdzenie niezależności układu równań warunków
Dla układu równań warunków zbudować macierz Jaccobiego J. Wyznaczyć rząd
macierzy Jaccobiego. W układzie równań warunków jest tyle równań niezależnych ile wynosi
rząd macierzy J. Z układu równań warunków wybrać układ równań niezależnych.
2.5 Wstępne wyznaczenie wartości niewiadomych
Przeprowadzić wyznaczenie wstępnych wartości niewiadomych i ocenić niedokładność
tego oszacowania. Błąd oszacowania wynikającego z prawa fizyki można wyznaczyć za
Stanek W.: Zastosowanie rachunku wyrównawczego do korygowania wyników pomiarowych urządzeń
cieplnych, 3.11.2006
5
pomocą prawa przenoszenia błędów, które określa niedokładność średnią mf funkcji f , jeżeli
znane są niedokładności mj zmiennych niezależnych xj:
 ∂f  2  ∂f  2
 m1 + 
 m2 + ...
m 2f = 
 ∂x1 0
 ∂x2 0
(14)
2.6 Wyznaczenie niezgodności równań warunków
Wstawiając do równań warunków wartości wielkości mierzonych lj oraz wstępnie
wyznaczonych (oszacowanych) wartości niewiadomych xl wyznaczyć można niezgodności
równań warunków:
Fk (l1 , K , l n , x1 , K , x u ) = − w k
(15)
2.7 Wyznaczenie poprawek wielkości mierzonych i niewiadomych
W celu wyznaczenia wartości poprawek wielkości mierzonych vj oraz poprawek wstępnie
wyznaczonych wartości niewiadomych yl należy dla rozpatrywanego przypadku rozpisać
układ równań (3),(4),(5) – metoda klasyczna, (9),(10),(11) – metoda uogólniona.
Rozwiązaniem układu równań są wartości poprawek wielkości mierzonych i wstępnie
wyznaczonych niewiadomych.
3.
PRZEBIEG ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie uzgadniania dla zadanego procesu cieplnego w
oparciu od dane uzyskane od prowadzącego ćwiczenia. Uzgadnianie należy przeprowadzić w
oparciu o klasyczną procedurę uzgadniania (p. 1.1) oraz powtórnie w oparciu o uogólniona
metodę uzgadniania (p. 1.2). Rezultatem ma być wyznaczenie skorygowanych wartości
wielkości mierzonych i niewiadomych oraz porównanie niezgodności równań po uzgadnianiu
dla obu omawianych metod uzgadniania.
Warunkiem dopuszczenia studenta do ćwiczenia jest opanowanie wiedzy na temat
uzgadniania bilansów substancji i energii z wykorzystaniem rachunku wyrównawczego
(minimalny zakres zawiera niniejsza instrukcja).
Stanek W.: Zastosowanie rachunku wyrównawczego do korygowania wyników pomiarowych urządzeń
cieplnych, 3.11.2006
6
W trakcie ćwiczenia studenci:
•
przygotowują układ równań warunków,
•
wprowadzają do równań oznaczenia i przekształcają równania do postaci (12),
•
(badają niezależność równań warunków),
•
przeprowadzają procedurę uzgadniania i obliczają poprawki wielkości mierzonych i
wstępnie wyznaczonych niewiadomych (dla obu opisanych metod uzgadniania),
•
obliczają skorygowane wielkości mierzone i skorygowane wstępnie wyznaczone
niewiadome (dla obu opisanych metod uzgadniania).
Efektem powinno być sprawozdanie z przeprowadzoną procedurą uzgadniania oraz dyskusją
uzyskanych wyników. Opis procedury uzgadniania dla metody klasycznej i uogólnionej oraz
uzyskane wyniki należy przedstawić w postaci jak w Załączniku 1.
Układ równań do wyznaczania poprawek wielkości mierzonych i niewiadomych należy
rozwiązać przy użyciu programu EES - Engineering Equation Solver.
[1] Szargut J., Ziębik A.: Podstawy energetyki cieplnej, PWN Warszawa 2000.
Stanek W.: Zastosowanie rachunku wyrównawczego do korygowania wyników pomiarowych urządzeń
cieplnych, 3.11.2006
7
Na rysunku 1 przedstawiono schemat instalacji parowej. W tablicy 1 przedstawiono zmierzone wartości
strumieni pary w poszczególnych punktach instalacji (1÷6), średnie błędy bezwzględne pomiarów oraz przyjęte
oznaczenia. Wyznacz uzgodnione wartości zmierzonych strumieni pary oraz wartość nieznanego strumienia pary
w punkcie 7.
I
II
1
2
III
4
3
7
5
6
Rys. 1 Schemat instalacji parowej
PROCEDURA UZGADNIANIA – metoda klasyczna
Tablica 1
Wyniki pomiarów, błędów pomiarowych oraz przyjęte założenia
Wyniki pomiarów
Wielkość
Ozn.
oznaczenie
wartość
Średnie błędy
bezwzględne
oznaczenie
wartość
Wielkości mierzone
- strumień G& 1 , kg/s
- strumień G& , kg/s
α1
l1
20,5
m1
0,30
α2
l2
10,9
m2
0,20
- strumień G& 3 , kg/s
α3
l3
5,4
m3
0,10
- strumień G& 4 , kg/s
- strumień G& , kg/s
α4
l4
5,9
m4
0,10
l5
2,4
m5
0,05
l6
6,9
m6
0,20
2
5
α5
- strumień G& 6 , kg/s
α6
- strumień G& 7 , kg/s
β1
Niewiadome
-
x1
-
-
1. Sporządzenie równań warunków (bilanse substancji węzłów I, II, III)
Dla przedstawionego przykładu jako równania warunków należy przyjąć bilanse substancji dla węzłów
oznaczonych na rysunku: I, II, III.
G&1 = G& 2 + G& 7 ,
(1)
&
&
&
G2 = G3 + G4 ,
(2)
G& = G& + G& ,
(3)
7
5
6
Każde dodatkowe równanie warunku (równanie bilansu substancji) będzie równaniem zależnym.
Po wprowadzeniu oznaczeń wielkości z tablicy 1:
F1 = α 1 − α 2 − β 1
Stanek W.: Zastosowanie rachunku wyrównawczego do korygowania wyników pomiarowych urządzeń
cieplnych, 3.11.2006
(1a)
8
F2 = α 2 − α 3 − α 4
F3 = β 1 − α 5 − α 6
(2a)
(3a)
2. Wstępne wyznaczenie wartości niewiadomej – strumienia pary G& 7
W rozpatrywanym zadaniu wstępną wartość niewiadomej można wyznaczyć z równania warunku nr 1 lub 3.
Wybór równania powinien być dokonany w oparciu o analizę wielkości błędu wyznaczenia niewiadomej. Na
niniejszym poziomie rozważań nie przeprowadzono wymienionej wyżej analizy.
Do wyznaczenia wstępnej wartości niewiadomej G& 7 wybrano równani nr 3:
x1 = l5 + l 6 = 2,4 + 6,9 = 9,3 kg/s .
3. Obliczenie niezgodności równań warunków
równanie nr 1:
− w1 = l1 − l 2 − x1 = 20,5 − 10,9 − 9,3 = 0,3kg/s,
w1 = -0,3 kg/s.
równanie nr 2:
− w2 = l 2 − l3 − l 4 = 10,9 - 5,4 - 5,9 = -0,4 kg/s,
w2 = 0,4 kg/s.
równanie nr 3:
w3 = 0.
4. Układ równań do wyznaczania poprawek
n
u

ak j v j +
bk l yl = wk ,
k = 1...r
I.
j =1
l =1


r
vj

II.
ak j k k ,
j = 1...n ,
=

m 2j
k =1


r
III.
bk l k k = 0,
l = 1...u ,

k =1
przy czym:
∂F
∂F
ak j = k ,
bk l = k .
∂α j
∂β l
∑
∑
∑
(4)
∑
(5)
W rozpatrywanym przypadku
• liczba równań r=3,
• liczba wielkości mierzonych n=6,
• liczba wielkości niewiadomych u=1.
5. Obliczenie wartości współczynników a k j ,bk l .
Tablica 2
Wartości pochodnych cząstkowych a k j ,bk l
ak j
Indeksy
k=1
k=2
k=3
j=1
1
0
0
j=2
-1
1
0
j=3
0
-1
0
bk l
j=4
0
-1
0
j=5
0
0
-1
j=6
0
0
-1
Stanek W.: Zastosowanie rachunku wyrównawczego do korygowania wyników pomiarowych urządzeń
cieplnych, 3.11.2006
l=1
-1
0
1
9
6. Sformułowanie układu równań do wyznaczania poprawek
Równania grupy (I.)
v1 − v 2 − y1 = w1
k=1:
v 2 − v 3 − v 4 = w2
k=2:
−v5 − v 6 + y1 = w3
k=3:
(6)
(7)
(8)
Równania grupy (II.)
v1
= k1
j=1:
m12
(9)
j=2:
v2
= − k1 + k 2
m22
(10)
j=3:
v3
= −k 2
m32
(11)
j=4:
v4
= −k 2
m42
(12)
j=5:
v5
= −k 3
m52
(13)
j=6:
v6
= −k 3
m62
(14)
Równania grupy (III.)
− k1 + k 3 = 0
l=1:
(15)
Z układu równań (6÷15) wyznacza się poszukiwane wartości poprawek
v1 , v 2 , v3 , v 4 , v5 , v6 , oraz y1 – poprawkę wstępnie wyznaczonej niewiadomej x1 .
Poprawione wartości wielkości mierzonych wylicza się z relacji:
l ′j = l j + v j .
wielkości
mierzonych
(16)
Poprawione wartości wstępnie wyznaczonych niewiadomych wyznacza się z relacji:
xl′ = xl + y l
Wyniki uzgadniania zestawiono w tablicy 3,4.
(17)
Tablica 3
Wyniki obliczeń uzgadniających
Wyszczególnienie
G& 1
G&
Niewiadoma
kg/s
Poprawki
oznaczenie
wartość
-0,0206
v1
Wartość po uzgodnieniu
oznaczenie
wartość
20,4794
l′1
l2
10,9
v2
0,2697
l′2
11,1697
G& 3
l3
5,4
v3
-0,0651
l′3
5,3349
G& 4
G&
l4
5,9
v4
-0,0651
l′4
5,8349
5
l5
2,4
v5
0,0006
l′5
2,4006
G& 6
l6
6,9
v6
0,0091
l′6
6,9091
β1
x1
9,3
y1
0,0097
x′1
9,3097
2
Wielkości
mierzone,
kg/s
Wartość przed uzgodnieniem
oznaczenie
wartość
20,5
l1
Wyszczególnienie
Przed uzgodnieniem
Po uzgodnieniu
Wartości niezgodności równań przed i po uzgodnieniu
Nr równania warunku
k=1
k=2
-0,30
0,40
0,0000
0,0001
k=3
0,00
0,0000
Stanek W.: Zastosowanie rachunku wyrównawczego do korygowania wyników pomiarowych urządzeń
cieplnych, 3.11.2006
10
PROCEDURA UZGADNIANIA – metoda uogólniona
Tablica 1
Wyniki pomiarów, błędów pomiarowych oraz przyjęte założenia
Wyniki pomiarów
Wielkość
Ozn.
oznaczenie
wartość
Średnie błędy
bezwzględne
oznaczenie
wartość
Wielkości mierzone
- strumień G& 1 , kg/s
- strumień G& , kg/s
α1
l1
20,5
m1
0,30
α2
l2
10,9
m2
0,20
- strumień G& 3 , kg/s
α3
l3
5,4
m3
0,10
- strumień G& 4 , kg/s
- strumień G& , kg/s
α4
l4
5,9
m4
0,10
l5
2,4
m5
0,05
l6
6,9
m6
0,20
m p1
1,0
2
α5
5
- strumień G& 6 , kg/s
α6
Niewiadome - oszacowane
- strumień G& 7 , kg/s
β1
9,1
x1
1. Sporządzenie równań warunków (bilanse substancji węzłów I, II, III)
(patrz punkt 1. – metoda klasyczna)
2. Obliczenie niezgodności równań warunków
równanie nr 1:
− w1 = l1 − l2 − x1 = 20,5 − 10,9 − 9,1 = 0,5kg/s,
w1 = -0,5 kg/s.
równanie nr 2:
− w2 = l2 − l3 − l4 = 10,9 - 5,4 - 5,9 = -0,4 kg/s,
w2 = 0,4 kg/s.
równanie nr 3:
− w3 = x1 − l5 − l6 = 9,1 − 2,4 − 6,9 = −0,2 kg/s
w3 = 0,2 kg/s.
3. Układ równań do wyznaczania poprawek
u
n

a
v
bk l yl = wk ,
I.
+

kj j
l =1
j =1


r
vj

ak j kk ,
=
II.
m 2j
k =1


r
yl
III.
bk l k k = 0,
=

ml2 k =1
∑
∑
k = 1...r
∑
j = 1...n ,
∑
(1)
l = 1...u,
przy czym:
ak j =
∂Fk
,
∂α j
bk l =
∂Fk
.
∂β l
(2)
W rozpatrywanym przypadku
• liczba równań r=3,
• liczba wielkości mierzonych n=6,
• liczba wielkości niewiadomych u=1.
Stanek W.: Zastosowanie rachunku wyrównawczego do korygowania wyników pomiarowych urządzeń
cieplnych, 3.11.2006
11
4. Obliczenie wartości współczynników a k j ,bk l .
(patrz punkt 5 – metoda klasyczna)
5. Sformułowanie układu równań do wyznaczania poprawek
Równania grupy (I.)
v1 − v 2 − y1 = w1
k=1:
v 2 − v 3 − v 4 = w2
k=2:
−v5 − v 6 + y1 = w3
k=3:
(3)
(4)
(5)
Równania grupy (II.)
v1
= k1
j=1:
m12
(6)
j=2:
v2
= − k1 + k 2
m22
(7)
j=3:
v3
= −k 2
m32
(8)
j=4:
v4
= −k 2
m42
(9)
j=5:
v5
= −k 3
m52
(10)
j=6:
v6
= −k 3
m62
(11)
Równania grupy (III.)
y1
− k1 + k 3
l=1:
m 2p1
(12)
Z układu równań (3-12) wyznacza się poszukiwane wartości poprawek wielkości mierzonych v1 , v 2 , v3 , v 4 , v5 , v6 ,
oraz y1 – poprawkę wstępnie wyznaczonej niewiadomej x1 .
Poprawione wartości wielkości mierzonych wylicza się z relacji:
(16)
l ′j = l j + v j .
Poprawione wartości wstępnie wyznaczonych niewiadomych wyznacza się z relacji:
xl′ = xl + y l
Wyniki uzgadniania zestawiono w tablicy 3,4.
(17)
Tablica 3
Wyniki obliczeń uzgadniających
Wyszczególnienie
G& 1
G&
Niewiadoma
kg/s
Poprawki
oznaczenie
wartość
-0,0259
v1
Wartość po uzgodnieniu
oznaczenie
wartość
20,4700
l′1
l2
10,9
v2
0,2705
l′2
11,1700
G& 3
l3
5,4
v3
-0,0648
l′3
5,3350
G& 4
G&
l4
5,9
v4
-0,0648
l′4
5,8350
5
l5
2,4
v5
0,0002
l′5
2,4000
G& 6
l6
6,9
v6
0,0034
l′6
6,9030
β1
x1
9,1
y1
0,2036
x′1
9,3040
2
Wielkości
mierzone,
kg/s
Wartość przed uzgodnieniem
oznaczenie
wartość
20,5
l1
Stanek W.: Zastosowanie rachunku wyrównawczego do korygowania wyników pomiarowych urządzeń
cieplnych, 3.11.2006
12
Wyszczególnienie
Przed uzgodnieniem
Po uzgodnieniu
Wartości niezgodności równań przed i po uzgodnieniu
Nr równania warunku
k=1
k=2
-0,30
0,40
0,00
0,00
k=3
0,20
0,00
Stanek W.: Zastosowanie rachunku wyrównawczego do korygowania wyników pomiarowych urządzeń
cieplnych, 3.11.2006
13