Projektowanie ukladów regulacji w dziedzinie czestotliwosci

Projektowanie układów regulacji w dziedzinie
częstotliwości
dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ
Wprowadzenie
Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet:
stabilność i wymagania jakościowe są prezentowane na tym
samym wykresie
można używać rzeczywistych pomiarów zamiast modelu w
formie transmitancji
projektowanie jest niezależne od rzędu układu
regulatory dla układów z opóźnieniami mozna projektować bez
większych trudności
metody graficzne (analiza i synteza z użyciem odpowiednich
diagramów) jest relatywnie łatwa
Układ pierwszego rzędu
Rozważmy system opisany transmitancją
G(s) =
a
s+a
Własności:
Jeden biegun (s = −a)
Pasmo przenoszenia ωBW = |a|
Odpowiedź skokowa
Y (s) =
1
1
1 a
= −
ss+a
s s+a
y(t) = (1 − e−at )1(t)
Przykładowa transmitancja
G(s) =
2
s+2
Bode Diagram
Step Response
−4
0.9
ω =2[rad/sec]
0.8
BW
−6
0.7
−8
0.6
Amplitude
Magnitude (dB)
−2
−10
0
TR=0.5 sec
0.5
Phase (deg)
0.4
0.3
−45
0.2
0.1
−90
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time (sec)
1.2
1.4
1.6
1.8
2
częstotliwość graniczna: przegięcie charakterystyk amplitudowej i fazowej
stała czasowa: punkt przecięcia stycznej do odpowiedzi w punkcie zero z
linią maksymalnego wzmocnienia
Układ drugiego rzędu
Rozważmy system opisany transmitancją
G(s) =
ωn2
s2 + 2ζωn s + ωn2
gdzie
ζ - współ. tłumienia względnego
ωn - pulsacja drgań własnych (nietłumionych)
lokalizacja biegunów
q
s1,2 = −ζωn ± jωn 1 − ζ 2
dla ζ > 1 oba bieguny są rzeczywiste
dla ζ = 1 oba bieguny są identyczne i rzeczywiste
dla 0 < ζ < 1 bieguny są zespolone i sprzężone.
Charakterystyki częstotliwościowe dla przykładowego systemu
G(s) =
s2
1
+ 0.6s + 1
Bode Diagram
10
Magnitude (dB)
0
ωBW
−10
−20
M
R
−30
0
Phase (deg)
−45
−90
−135
−180
−1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
Własności układu
pulsacja rezonansowa (dla ζ ¬
√1 )
2
q
ωR = ωn 1 − 2ζ 2
Moduł rezonansowy (dla ζ ¬
MR =
√1 )
2
1
2ζ 1 − ζ 2
p
pasmo przenoszenia
r
ωBW = ωn (1 − 2ζ 2 ) +
q
4ζ 4 − 4ζ 2 + 2
Dla 0 < ζ < 1 to 0.64ωn < ωBW < 1.55ωn .
Dla ζ = √12 to ωBW = ωn .
Odpowiedź skokowa dla systemu
G(s) =
1
s2 + 0.6s + 1
MP - wartość (moduł)
przeregulowania
P OS = 100[(MP −y(∞))/y(∞)]
TP - czas max. przeregulowania
TS - czas regulacji
TR - czas narastania
Odpowiedź skokowa (dziedzina częstotliwości)
1
s + 2ζωn
1
Y (s) = G(s) = −
s
s (s + ζωn )2 + ωn2 (1 − ζ 2 )
Odpowiedź skokowa (dziedzina czasu)
e−t/τ
y(t) = 1 − p
cos(ωd t − ϕd ),
1 − ζ2
gdzie
|σ| = ζωn - tłumienie względne
τ = 1/|σ| - stała czasowa
p
ωd = ωn 1 − ζ 2 - pulsacja tłumiona
ϕ = sin−1 ζ
t>0
Pasmo przenoszenia
Zakres częstotliwości, dla których wzmocnienie układu zamkniętego nie
spada poniżej = −3dB.
Częstotliwość, dla której wzmocnienie spada o −3 dB nazywamy
częstotliwością graniczną
Korzystając z metod odpowiedzi częstotliwościowej oczekujemy
określenia odpowiedzi układu zamkniętego na podstawie odpowiedzi
układu otwartego.
Na podstawie odpowiedzi układu 2-go rzędu, możemy przyjąć, iż
częstotliwość graniczna odpowiada częstotliwości, dla której wzmocnienie
układu otwartego jest pomiędzy −6 i −7.5dB (przyjmując, że
przesuniecie fazowe dla tego wzmocnienia jest pomiędzy −135o i −225o )
Przykład
Transmitancja układu zamkniętego
Gcl =
s2
1
+ 0.5s + 1
Bode Diagram
20
Magnitude (dB)
0
−20
−40
−60
−80
0
ωBW=1.4[rad/sec]
Phase (deg)
−45
−90
−135
−180
−2
10
−1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
2
10
Pasmo przenoszenia
Przykład – cd
dla ω < ωBW
1.5
dla ω > ωBW
Wyjscie
Wymuszenie
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1
−1.5
50
Wyjscie
Wymuszenie
−1.5
60
70
80
90
100
90
92
94
96
98
100
Relacje ze współczynikiem tłumienia (ζ) i czasem ustalania(TS )
r
ωBW = ωn (1 − 2ζ 2 ) +
q
4ζ 4 − 4 ∗ ζ 2 + 2
4
Ts ζ
ωn =
140
120
ωBW*TS
100
80
60
40
20
0
0
0.2
0.4
ζ
0.6
0.8
1
Relacje ze współczynikiem tłumienia (ζ) i czasem max.
przeregulowania (TP )
r
ωBW = ωn (1 − 2ζ 2 ) +
ωn =
Tp
q
4ζ 4 − 4 ∗ ζ 2 + 2
π
1 − ζ2
p
7
6.5
ωBW*TP
6
5.5
5
4.5
4
0
0.2
0.4
ζ
0.6
0.8
1
Wpływ zmian położenia biegunów
Dla danej transmitancji
G(s) =
X
ωd2 + σ 2
ωn2
=
s2 + 2ζωn s + ωn2
s2 + 2σs + ωd2 + σ 2
+jwd
s1,2 = −ζωn ± jωn
θ = cos−1 ζ
-s
ζ = cos θ
wn
X
-jwd
p
1 − ζ2
Wpływ zmian σ
ωd = 1, σ = {0.5, 1, 1.5}
Step Response
Singular Values
1.4
2
σ=0.5
σ=1.0
σ=1.5
1.2
1.5
Singular Values (dB)
1
Amplitude
σ=0.5
σ=1.0
1
0.8
0.6
σ=1.5
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
0.4
−2
0.2
−2.5
0
0
1
2
3
4
5
Time (sec)
6
7
8
9
10
−1
10
Frequency (rad/sec)
0
10
Wpływ zmian ωd
σ = 1, ωd = {0.5, 2.5, 4.5}
Step Response
Singular Values
1.5
ωd=0.5
ωd=0.5
ωd=2.5
ωd=2.5
ωd=4.5
ωd=4.5
Singular Values (dB)
5
Amplitude
1
0.5
0
−5
−10
−15
0
0
1
2
3
4
5
Time (sec)
6
7
8
9
10
−1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
Wpływ zmian ζ
ωn =
√
2, θ = {30, 45, 60}
Step Response
1
Singular Values
θ=30
θ=30
θ=45
θ=60
2
θ=45
0
θ=60
−2
0.6
Singular Values (dB)
Amplitude
0.8
0.4
−4
−6
−8
−10
0.2
−12
−14
0
1
2
3
4
Time (sec)
5
6
7
8
0
10
Frequency (rad/sec)
Wpływ zmian ωn
ζ=
√1 ,
2
√
ωn = {
2
2 ,
√
√
2, 5 2}
Step Response
Singular Values
1.4
−5
1.2
−10
0.8
Singular Values (dB)
Amplitude
1
ωn=0.707
ωn=1.41
0.6
ωn=7
0.4
ωn=1.41
ωn=7
−15
−20
−25
−30
0.2
0
ωn=0.707
−35
−40
0
1
2
3
4
5
Time (sec)
6
7
8
9
10
−1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
Stabilność w dziedzinie częstotliwości
Problem
Czy badając transmitancję w otwartej pętli L(s) = K(s)G(s)
możemy ustalić stabilność układu zamkniętego?
Gcl =
K(s)G(s)
1 + K(s)G(s)
Uwagi:
Łatwo rozwiązać powyższy problem korzystając z linii
pierwiastkowych
Jak znaleźć warunek w dziedzinie częstotliwości
odpowiadający ulokowaniu wszystkich biegunów w lewej
półpłaszczyźnie zespolonej?
Zapas wzmocnienia i fazy
Zapas wzmocnienia
Zmiana wzmocnienia w układzie otwartym (K(s)G(s))
powodująca niestabilność układu zamkniętego. Układy z większym
zapasem wzmocnienia są bardziej odporne na zmiany parametrów
układu mogące spowodować niestabilność układu zamkniętego.
Zapas fazy
Zmiana fazy w układzie otwartym (K(s)G(s)) powodująca
niestabilność układu zamkniętego.
Zapas fazy określa tolerancję układu na opóźnienia. Opóźnienia
większe niż 180/ωpc (ωpc - częstotliwość przy którym przesunięcie
fazowe = 180o ) powodują niestabilność układu zamkniętego.
Przykład
K(s) = 50, G(s) =
s3
+
1
+ 30s + 40
9s2
Bode Diagram
Gm = 13.3 dB (at 5.48 rad/sec) , Pm = 101 deg (at 1.85 rad/sec)
20
Magnitude (dB)
0
−20
−40
−60
−80
Phase (deg)
−100
0
−90
−180
−270
−1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
2
10
Zmieniając wzmocnienie układu (K(s) = 5000(100×)) nie musimy
kreślić nowego wykresu Bodego, aby odczytać zapas fazy.
Wystarczy na utworzonym już wykresie sprawdzić zapas fazy dla
−40dB (40dB odpowiada wzmocnieniu 100 razy).
Bode Diagram
Gm = −26.7 dB (at 5.48 rad/sec) , Pm = −59.6 deg (at 16.9 rad/sec)
Magnitude (dB)
50
0
Phase (deg)
−50
0
−90
−180
−270
−1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
2
10
Wskaźniki jakościowe
Określanie wskaźników jakościowych układu zamkniętego:
musimy zapewnić stabilność układu otwartego jeśli będziemy
używać diagramów Bode’go.
sprawdzamy czy ωgc < ωpc ) aby stwierdzić czy układ
zamknięty będzie stabilny.
dla układu 2-ego rzędu , współczynnik tłumienia (układu
zamkniętego) jest w przybliżeniu równa PM/100 (jeśli
PM= 0 ÷ 60o .
dla układu 2-ego rzędu, istnieją zależności pomiędzy
współczynikiem tłumienia, pasmem przenoszenia i czasem
ustalania .
w przybliżeniu możemy przyjąć że pasmo przenoszenia będzie
równe częstotliwości drgań własnych.
Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym
Definicje sygnałów
r - sygnał referencyjny
d - zakłócenia
n - szum czujników
z - regulowane wyjście
y - mierzone wyjście
Problem: Uzyskanie najmniejszego błędu regulacji (r − z)
Wyjście układu
Z(s) =
K(s)G(s)
1
K(s)G(s)
R(s)+
D(s) −
N (s)
1+K(s)G(s)
1+K(s)G(s)
1+K(s)G(s)
Definiując bład regulacji e = r − z otrzymujemy
E(s) =
1
K(s)G(s)
1
R(s)−
D(s) +
N (s)
1+K(s)G(s)
1+K(s)G(s)
1+K(s)G(s)
oraz
U (s) =
K(s)
(R(s) − D(s) − N (s))
1+K(s)G(s)
Ograniczenia sterowania
Można pokazać, że
e = r − z = S(r − d) + T n
gdzie
S(s) = (1+G(s)K(s))−1 ; T (s) = 1−S(s) = (1+G(s)K(s))−1 G(s)K(s)
Głowne cele sterowania
Dobre śledzenie sygnału referencyjnego
(dla niskich częstotliwości < ωBW )
|G(jω)K(jω)| 1 ⇔ |S(jω)| 1 or |T (jw)| ' 1
Dobre tłumienie zakłóceń (dla wysokich częstotliwości)
|G(jω)K(jω)| 1 ⇔ |T (jω)| 1
Cele i ograniczenia regulacji (sterowania)
Cel regulacji
Zaprojektować regulator K tak aby błąd regulacji pozostawał
mały. Oznacza to, że będziemy dążyć aby S i T były małe w tych
zakresach częstotliwości gdzie spektrum sygnałów r i n są małe.
Ograniczenia
S + T = 1 (błąd e nie może być mały dla wszystkich
czestotliwości)
R∞
0 log |S(jω)|dω = 0 - jakość sterowania (ang. performance)
vs. odporność (ang. robustness)
I Sygnał z musi śledzić r (ang. tracking).
II Odporność na zmiany parametrów układu.
III Tłumić wpływ zakłóceń (oraz niemodelowanej dynamiki)
IV Tłumić wpływ szumu pomiarowego n
Ms =kS(jω)k∞
1
d =1 −
Ms
1
P M ­ ζ =2 sin−1
Ms
1
Ms
GM ­ =
d Ms − 1
Czyli
Ms < 2 ⇔ GM > 2 i P M > 30o