prąd przemienny

Prąd zmienny
prąd zmienny -(ang.:alternating current, AC)
prąd elektryczny, którego natężenie zmienia się w
czasie.
1
Oś wartości
natężenia
prądu
Oś czasu
2
Definicja natężenia prądu zmiennego
dq
i=
≠0
dt
q – ładunek,
t – czas
„Natężeniem prądu nazywamy iloraz wartości ładunku
dq
przepływającego w jednostce czasu dt przez poprzeczny przekrój
przewodnika”
3
Prąd elektryczny o sinusoidalnym przebiegu w czasie
„prąd sinusoidalny”
Jest to prąd przemienny, czyli symetryczny względem osi
czasu, zmieniający się w czasie wg zależności
gdzie
i = I m sin(ωt )
i-natężenie prądu (prąd) -wartość chwilowa,
Im-amplituda prądu (największa wartość funkcji
sinusoidalnej),
ω - pulsacja
t – czas
4
15
10
prąd i
5
kąt ω t
0
0
90
180
270
360
-5
-10
-15
Wykres prądu sinusoidalnego w funkcji kąta. Strzałki pokazują umowny
kierunek ruchu ładunków.
5
15
10
prąd i
5
kąt ω t
0
0
90
180
270
360
450
540
630
720
810
900
990
1080
-5
-10
-15
6
Z wzoru wynika, że
i = I m sin (ωt )
wielkość zawarta w nawiasie (ωt) jest argumentem funkcji
trygonometrycznej, a więc jest kątem, czyli jest drogą kątową.
Droga kątowa = prędkość kątowa x czas
α = ω ⋅t
Oznacza to, że ω ma sens prędkości kątowej
7
Można również napisać
i = I m sin (α )
Jednostką α (kąta) jest radian lub stopień.
Zależność pomiędzy miarą kąta wyrażoną w stopniach i w
radianach jest następująca:
kąt w radianach = (kąt w stopniach/180). π
α = 45
o
π
 45 
α =
 ⋅π =
4
 180 
8
15
Im
10
prąd i
5
kąt ω t
0
0
90
180
270
360
-5
-10
π
-15
Wykres prądu sinusoidalnego w zależności od kąta wyrażonego w
stopniach i w radianach.
9
Okres
Okres T jest odstępem pomiędzy jednakowymi wartościami
prądu sinusoidalnego (rosnącego lub malejącego).
Np. pomiędzy odpowiednimi wartościami zerowymi (rysunek).
Miarą okresu jest czas., po którym następuje powtórzenie
przebiegu.
Miarą okresu jest również kąt (okres odpowiada kątowi 2π lub
360 stopniom).
10
15
Im
10
π
prąd i
5
T
T/2
kąt ω t
0
0
-5
90
180
270
360
π → 180 o → 1 /2 T
-10
2π
-15
Sinusoida z zaznaczonymi wielkościami na osi „czasu”.
½okresu (1/2T) odpowiada: 180 w stopniach
π w radianach
1 okres (T) odpowiada:
360 w stopniach
2π w radianach
11
Częstotliwość
Częstotliwość f jest wielkością określającą ile pełnych okresów przebiegu
sinusoidalnego przypada na 1 sekundę.
Częstotliwość
1
f =
T
T = 0,02 s
1
1
f = =
= 50 Hz
T 0,02
12
1kHz = 10 Hz
3
1MHz = 10 Hz
6
1GHz = 10 Hz
9
13
15
10
prąd i
5
kąt ω t
0
0
90
180
270
360
-5
-10
-15
Częstotliwość 50Hz i 150Hz
Częstotliwość 50Hz i 150Hz
14
15
10
prąd i
5
kąt ω t
0
0
90
180
270
360
-5
-10
-15
Częstotliwość 50Hz i 250Hz
15
15
10
prąd i
5
kąt ω t
0
0
90
180
270
360
-5
-10
-15
Częstotliwość 50Hz, 150Hz i 250Hz
16
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/Wave_frequency.gif
17
Fale radiowe
3kHz − 3THz
18
Podział pasma radiowego
Częstotliw
ość
Długość
Nazwa angielska
Skrót
angielski
3-30 Hz
10-100
tys. km
Extremely low
frequency
ELF
30-300 Hz
1-10 tys.
km
Super low
frequency
SLF
300-3000
Hz
100-1000
km
Ultra low
frequency
ULF
fale
myriametrowe,
fale bardzo
długie
3-30 kHz
10-100 km
Very low
frequency
VLF
fale
kilometrowe, f
ale długie
30-300
kHz
1-10 km
Low frequency
LF
Nazwa fal
19
Częstotliw
ość
Długość
Nazwa angielska
Skrót
angielski
fale
hektometrowe,
fale średnie
300-3000
kHz
1001000 m
Medium
frequency
MF
fale
dekametrowe,
fale krótkie
3-30 MHz
10-100 m
High frequency
HF
fale
metrowe, fale
ultrakrótkie
30-300
MHz
1-10 m
Very high
frequency
VHF
Nazwa fal
20
Nazwa fal
Częstotliw
ość
Długość
Nazwa angielska
Skrót
angielski
fale
decymetrowe
300-3000
MHz
1001000 mm
Ultra high
frequency
UHF
fale
centymetrowe
3-30 GHz
10-100
mm
Super high
frequency
SHF
fale
milimetrowe
30-300
GHz
1-10 mm
Extremely high
frequency
EHF
fale
submilimetrow
e
300-3000
GHz
1001000 µm
21
Faza początkowa
Pokazane dotychczas przebiegi sinusoidalne były narysowane w taki
sposób, że miejsce zerowe sinusoidy przypadało w początku układu
współrzędnych.
Jest to wygodny sposób prezentowania przebiegu sinusoidalnego,
bowiem w jego opisie matematycznym nie występuje tzw
„przesunięcie fazowe”, czyli dodatkowy kąt ilustrujący odłegłość
przejścia sinusoidy przez zero od początku układu wpspółrzędnych,
Przykłady:
22
Faza początkowa równa zeru
Wykres prądu sinusoidalnego w zakresie od kąta 0 do
360 stopni
1,5
1
0,5
0
0
30
60
90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390
-0,5
-1
-1,5
i = I m sin (ωt )
23
Faza początkowa równa zeru
Wykres prądu sinusoidalnego w zakresie od kąta -360 do +360
stopni
1,5
1
0,5
0
-360
-270
-180
-90
0
90
180
270
360
-0,5
-1
-1,5
i = I m sin (ωt )
24
Faza początkowa nie jest równa zeru
1,5
1
0,5
0
-360
-270
-180
-90
0
90
180
270
360
-0,5
-1
-1,5
Faza początkowa
ψ = 30
o
i = I m sin (ωt + 30)
25
Faza początkowa nie jest równa zeru
1,5
1
0,5
0
-360
-270
-180
-90
0
90
180
270
360
-0,5
-1
-1,5
ψ = −60
i = I m sin (ωt − 60)
o
Faza początkowa
26
Prezentacja fazy początkowej na wykresie wskazowym
Im
prąd i
15
kąt ωt
0
-180
-90
0
90
180
270
φ=450
-15
i = I m sin(ωt + ψ )
360
ψ = 45o
i = I m sin(ωt + 45)
27
Prezentacja fazy początkowej na wykresie wskazowym
prąd i
15
kąt ωt
0
-180
-90
0
90
180
270
360
φ=-450
i = I m sin(ωt − 45)
-15
ψ = −45o
i = I m sin(ωt − ψ )
Im
28
Zakres zmian
od ψ = 0 do ψ = 360
o
29
Przesunięcie fazowe
Dwie wielkości sinusoidalne mogą być w fazie tj. φ1=φ2 lub mogą
być przesunięte względem siebie w fazie φ1≠φ2.
2
1,5
1
0,5
0
-360
-270
-180
-90
-0,5
0
90
180
270
360
-1
-1,5
-2
Sinusoidy znajdujące się w fazie
ψ 1 = ψ 2 = −60
o
30
Sinusoidy przesunięte względem siebie w fazie
2
ψ 1 = 30
o
1,5
1
0,5
ψ 2 = −60
o
0
-360
-270
-180
-90
-0,5
0
90
180
270
360
-1
-1,5
-2
Różnica faz = przesunięcie fazowe
ϕ = ψ 1 −ψ 2
ϕ = 30 − ( −60 ) = 90
0
0
o
31
Ilustracja przesunięcia fazowego na wykresie wskazowym
I m1
Im2
ϕ = 30o
i1 = I m1 sin (ωt + ψ 1)
i2 = I m 2 sin (ωt + ψ 2 )
32
Modyfikacja poprzedniego wykresu
ψ 1 = 0o
i1 = I m1 sin (ωt + 30)
I m1
ϕ = 30o
Im2
i2 = I m 2 sin (ωt )
33
2
1,5
1
0,5
0
-360
-270
-180
-90
-0,5
0
90
180
270
360
-1
-1,5
-2
i1 = I m1 sin (ωt − 30)
i2 = I m 2 sin (ωt )
niebieski
czerwony
34
Wartości zastępcze prądu zmiennego
Operowanie wartością chwilową prądu zmiennego jest bardzo
kłopotliwe.
Wartość ta nie odzwierciedla bezpośrednio działania energetycznego
prądu, które jest efektem jego przepływu w dłuższym czasie.
W związku z tym wprowadzono bardzo wygodną metodę
zastępowania wielkości chwilowych przez wielkości uśrednione w
czasie.
Takimi wielkościami uśrednionymi są:
wartość skuteczna prądu sinusoidalnego,
wartość średnia prądu sinusoidalnego
35
Wartość skuteczna prądu sinusoidalnego
DEFINICJA
Wartością skuteczną prądu sinusoidalnego nazywamy taką
wartość prądu stałego, który płynąc przez rezystor w czasie t=T
wywołuje wydzielenie się takiej samej ilości energii cieplnej jak
prąd sinusoidalny.
Porównanie
I
R
Przy prądzie stałym można napisać:
A = RI 2T
36
R
i
Energia przy prądzie zmiennym zmienia się w czasie, wobec zmian
wartości prądu. Jej wartość chwilowa Jest proporcjonalna do kwadratu
wartości chwilowej prądu.
W dłuższym czasie przyjętym do rozważań, a mianowicie w czasie
okresu T, jej wartość jest równa:
T
T
A = ∫ Ri dt = R ∫ i dt
2
0
2
0
Założono tutaj, że rezustancja R=const.
37
Ponieważ dążymy do uzyskania równoważności obu przypadków
(prąd stały, prąd zmienne) z punktu widzenia energetycznego
przyjmujemy, że przy prądzie zmiennym i odpowiednim prądzie
stałym wydziela się taka sama energia cieplna.
T
R ∫ i dt = RI T
2
2
0
Otrzymujemy ogólną (niezależną od przebiegu prądu zmiennego) definicję
wartości skutecznej prądu zmiennego
T
1 2
I=
i dt
∫
T 0
38
W przypadku prądu o przebiegu sinusoidalnym podstawiamy
i = I m sin (ωt )
T
1
2
2
I=
I
sin
(ωt )dt
m
∫
T 0
T
I = Im
1
2
sin
(ωt )dt
∫
T 0
39
Wartość skuteczna prądu sinusoidalnego
I m2
Im
=
≈ 0 ,707 I m
2
2
I=
Interpretację wartości skutecznej prądu przedstawia rysunek
poniżej.
prąd i, kwadrat i
~i^2
kąt ω t
I
0
90
180
270
360
i
-20
40
Wartość średnia prądu zmiennego
Wartością średnią wielkości zmiennej w czasie nazywamy
wyrażenie
T
I sr
1
= ∫ idt
T 0
W przypadku prądu sinusoidalnego (przemiennego) wartość
średnia jest równa 0.
Wynika to z wykresu funkcji sinusoidalnej, która jest
symetryczna ( z przesunięciem o T/2) względem osi czasu.
W praktyce wielkość ta ma znaczenie nie dla pełnego
okresu, lecz dla T/2, co dotyczy przypadku prostowania
prądu zmiennego za pomocą tzw. prostowników. Wtedy
definicja wartości średniej jest następująca
41
I sr =
T
2
T
2
2
2
2
idt
I
sin
(
t
)
dt
I m ≈ 0 ,637 I m
ω
=
=
m
∫
∫
T 0
T 0
π
prąd i, I, Isr
10
I
Isr
ką t ω t
0
0
90
180
270
360
-1 0
42
Podsumowanie
1. Wielkości sinusoidalne mogą mieć różne częstotliwości, różne
fazy początkowe, różne przesunięcia fazowe oraz różne
amplitudy.
2. W praktyce, zwykle rozważamy sinusoidy o jednakowych
częstotliwościach (częstotliwość techniczna 50Hz) o różnych
amplitudach, przesunięte w fazie.
3. W celu uproszczenia możliwości operowania prądem
sinusoidalnym wprowadza się zastępczą wielkość o nazwie
„wartość skuteczna prądu”, która odpowiada prądowi
zmiennemu z punktów widzenia efektu energetycznego.
43
4. Uproszczenie ilustracji graficznych wartości prądów, ich przesunięcia
fazowego umożliwia przedstawienie prądów na wykresie wskazowym.
Wartość skuteczna (lub rzadziej maksymalna) prądu jest tu przedstawiana w
postaci strzałki o długości proporcjonalnej do wartości prądu.
5. Usytuowanie strzałki (wskazu) na płaszczyźnie w odniesieniu do osi
poziomej określa fazę początkową, zaś w odniesieniu do innego wskazu,
określa przesunięcie fazowe pomiędzy wskazami.
44
Podsumowanie dc.
Wszystkie dotychczas pokazane wykresy, zależności i metody
dotyczące prądów odnoszą się w tym samym stopniu napięć:
Wyróżniamy zatem w odniesieniu do prądów i napięć:
Wartości chwilowe
Wartości maksymalne
Wartości skuteczne
i, u
Im , Um
I, U
45
Sinusoida napięcia i sinusoida prądu
U
w
I
2
1,5
1
0,5
0
-360
-270
-180
-90
-0,5
0
90
180
270
360
-1
-1,5
-2
46
Elementy pasywne w obwodach prądu zmiennego
Rezystancja (rezystor, opornik)
Indukcyjność (cewka)
R[Ω]
L[H ]
Pojemność (kondensator)
C [F ]
47
Funkcje energetyczne elementów pasywnych
Rezystor (R):
W rezystorze następuje przetwarzanie energii elektrycznej na
energię cieplną.
Cewka (L)
W cewce, energia związana z przepływem prądu
elektrycznego, jest magazynowana w polu magnetycznym.
Kondensator (C)
W kondensatorze, energia związana z ładunkami na okładkach jest
magazynowana w polu elektrycznym.
48
Trzy elementy pasywne R, L, C odgrywają w obwodach prądu
zmiennego zasadniczą rolę przy tworzeniu pola magnetycznego
elektrycznego (elektromagnetycznego) i przekształcaniu energii
elektrycznej na energię cieplna.
Zależność wartości R, L, C elementów
pasywnych od ich parametrów materiałowych i
konstrukcji
49
Rezystor:
Rezystor (opornik) charakteryzuje wartość rezystancji (oporności). W
przypadku oporników wykonanych z drutu obowiązuje tu zależność:
l
R=ρ
s
ρ
S
[Ω]
l
l
R=ρ
S
50
Wartość rezystancji jest tym większa im dłuższy jest drut, z którego
wykonany jest rezystor, im większa jest jego rezystywność oraz im
mniejszy przekrój poprzeczny drutu.
Cewka
Cewka (solenoid) jest scharakteryzowana przez wartość jej
indukcyjności L.
Wielkość ta jest zależna od liczby zwojów cewki (z) jej wymiarów
geometrycznych (długość i przekrój) oraz od ośrodka, w którym
wytwarzane jest pole magnetyczne (rdzeń cewki)
z µoµr ⋅ l
L≡
S
2
[H]
51
µo −
µr −
przenikalność magnetyczna
względna przenikalność magnetyczna
Np. dla próżni (powietrze)
µr ≈ 1
Ferromagnetyk (np. żelazo)
µr ≈ 1000 ÷ 5000 − itp
52
Indukcyjność cewki z rdzeniem ferromagnetycznym jest wielokrotnie
większa od indukcyjności cewki bez rdzenia.
Przenikalność magnetyczna rdzenia jest zależna od natężenia pola
magnetycznego, jest więc zależna od natężenia prądu w cewce.
Dlatego też indukcyjność cewki z rdzeniem nie jest stała, lecz
zależy od prądu.
z 2 µo ⋅ µr (i ) ⋅ l
LFe ≡
s
53
Kondensator
S
d
Jest scharakteryzowany przez wartość pojemności C
Zależy ona od powierzchni „okładek” S, odległości pomiędzy
okładkami – d oraz o środowiska wypełniającego przestrzeń
między okładkami
C=
ε oε r S
d
[F ]
54
εo −
εr −
Stała dielektryczna
Względna przenikalność dielektryczna
ε r ≈ 1 ÷ kilkanascie
W celu uzyskania dużej pojemności należy umieszczać
okładki o dużej powierzchni (duże S), blisko siebie (małe d)
Podsumowanie
W obwodach padu zmiennego istotną rolę odgrywają trzy elementy
pasywne:
R, L, C
55
Reaktancje
Symbol ogólny
X
W obwodzie prądu zmiennego „na indukcyjności” L oraz „na
pojemności” C istnieją napięcia, zależne od przebiegu prądu w
czasie.
Na indukcyjności
Na pojemności
di
uL = L
dt
1
uc = ∫ idt
C
56
W przypadku prądu o przebiegu sinusoidalnym
i = I m sin (ωt )
Otrzymujemy dla indukcyjności
d [I m sin (ωt )]
uL = L
= I m (ωL ) cos(ωt )
dt
uL = I m X L cos(ωt )
57
X L = ωL
[Ω]
Stąd
Reaktancja indukcyjna
U L = IX L
„Prawo Ohma dla indukcyjności”
UL
I=
XL
58
Otrzymujemy dla pojemności
1
 1 
uc = ∫ I m sin (ωt )dt = − I m 
 cos(ωt )
C
 ωC 
uc = − I m X C cos(ωt )
59
1
XC =
ωC
[Ω]
Stąd
Reaktancja pojemnościowa
U C = IX C
„Prawo Ohma dla pojemności”
UC
I=
XC
60
Podsumowanie:
Przy prądzie zmiennym- sinusoidalnym, na indukcyjności i
pojemności istnieją napięcia UL i UC proporcjonalne do
wartości reaktancji XL i XC.
Reaktancje XL i XC zależą od pulsacji, czyli od częstotliwości
prądu.
ω = 2πf
X L = ωL
1
XC =
ωC
Związki pomiędzy wartościami skutecznymi napięć i prądów
można zapisać w postaci analogicznej do prawa Ohma.
UL
I=
XL
UC
I=
XC
61