I Rok LOGISTYKI, LISTA 1 - repetytorium 1. Rozwia˙z równania i

I Rok LOGISTYKI, LISTA 1 - repetytorium
1. Rozwia̧ż równania i nierówności kwadratowe i wielomianowe:
a) x8 − 15x4 − 16 = 0,
b) x2 − 9 ≥ 0,
c) − x2 − 1 ≤ 0,
d) (2x2 + 3x − 1)2 − 5(2x2 + 3x − 1) + 24 = 0,
e) x3 − 3x2 + 3x − 9 > 0,
f ) x3 − 6x2 + 5x < 0, .
2. Przedstaw w postaci kanonicznej trójmiany kwadratowe, nastȩpnie
ogranicz dziedzinȩ do takiego przedzialu, w którym dana funkcja jest
różnowartościowa i wyznacz wzór oraz narysuj wykres funkcji odwrotnej:
a) y = x2 + 2x + 1,
b) y = x2 + 3x c) y = x2 + 6x + 5,
3. Wyznacz dziedzinȩ funkcji i narysuj jej wykres:
√
√
√
a) y = x − 2 b) y = − x + 1 + 2, c) y = 3 x,
d) y =
√
3
d) y = −x2 + 4x + 1.
x − 2 + 1.
4. Rozwia̧ż równania i nierówności wymierne:
2
1
x−4
x3 + x2 + x
2x − 3
−
+
= 0, b)
= 0, c) 2
≥ 2,
− 4 x(x − 2) x(x + 2)
9x2 − 25
x −1
x2 − 5x + 9
x+3
x−1
1 − 2x
1+x
d) 2
≤ 1,
e)
≥
, f)
−
≥ 1,
x − 6x + 5
x−3
x+5
x+1
1 + 2x
3
x+1
≤
.
g) − 1 <
x−1
x−3
a)
x2
5. Narysuj wykres funkcji:
x+2
a) y = 2
,
x
b) y = |2 −1|,
x−1
1
c) y =
+1,
2
|x|
d) y = 2 ,
x
1
e) y = −
−1.
3
6. Rozwia̧ż równania i nierówności wykladnicze:
x+5 x+1
3
4
5x−9
x+1
a) 2
= 8 , b)
=
, c) 4x−5 · 16x+3 = 64, d) 25x − 5x+1 + 5 = 5x ,
4
3
x−1
1
1
2
2
x
> 4, g) 7x −9 ≤ 1, h) (0, 5)x · 22x+2 ≥ .
e) 3 < 81, f )
2
64
7. Oblicz
a) log2 8,
b) log 3
4
27
c) log8 2,
64
d) log√27 81,
√
e) log 1 81 3.
3
8. Oblicz x, jeżeli:
2
b) log 1 x = −2 c) log2 x = − , d) log2 x = 10, e) log5 x = 3,
2
3
1
1
g) logx 27 = 3 h) logx
= 3, i) logx 2 = , j) log2x 87 = 7.
125
3
a) log3 x = −1,
f ) logx 36 = 2,
9. Narysuj wykres funkcji:
c) y = log2 |x|,
a) y = log2 (x−1) b) y = log 1 (1−x),
2
d) y = | log 1 x|
2
10. Rozwia̧ż równania i nierówności logarytmiczne:
a) log4 [log3 (log2 x)] = 0,
b) log(x + 1) ≤ 3,
c) log 1 (2x − 5) ≥ −4,
2
e) log 1 (5 + 4x − x2 ) ≥ −3,
d) log3 (2 − x) ≤ 1,
f ) logx 4 ≤ 2.
2
11. Narysuj wykres funkcji:
a) y = | cos x|,
b) y = sin 2x c) y = 1 − sin x,
12. Rozwia̧ż równania:
√
3
a) sin x =
,
2
π
d) y = cos x −
.
2
√
b)
√
2
1
+ cos(x − 10o ) = 2 c) sin 2x = ,
2
2
π 1
d) cos x +
= .
3
2
13. Z jakich funkcji elementarnych zlożone sa̧ nastȩpuja̧ce funkcje:
q
n
3
a) y = sin x; b) y = (1 + x)2 ; c) y = log(tg x);
2
d) y = sin3 (2x + 1); e) y = 5(3x+2) ; f ) y =
p
3
log2 (x + 1) − 2.
14. Oblicz:
1
a) arcsin −
2
,
b) arcsin
√ !
3
,
2
√ !
2
c) arccos −
,
2
√
d) arctg 3,
15. Oblicz wartość wyrażenia: arcsin(−x) + arctg(2x) + arccos(2x) jeżeli
arccos x = 23 π.
16. Zbadać parzystość funkcji
a) f (x) = x3 + 5x;
d) i(x) = 2x +2−x ;
b) g(x) = 2x2 cos x;
e) j(x) = | sin x|;
c) h(x) = √
f ) k(x) =
sin x
;
x3
x
;
x2 + 1
f ) l(x) =
x
.
arcsin x
e) arctg(−1).