1. Termokinetyka - Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych

Transkrypt

METODA ELEMENTU SKOŃCZONEGO
Termokinetyka
Paweł Witczak, Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych PŁ
Matematyczny opis ruchu ciepła (1)
Zasada zachowania energii
Wa – Ciepło akumulowane, [J]
Pwe – Moc wejściowa, [W]
Pwy – Moc wyjściowa , [W]
t – przedział czasu, [s]
Y
q
dS
V
V
S(V)
q – gęstość mocy cieplnej, [W/m3]
Y – gęstość strumienia mocy cieplnej, [W/m2]
– gęstość masy, [kg/m3]
c – ciepło właściwe, [J/kg deg]
– przyrost temperatury względem otoczenia
1
Przewodzenie ciepła
Prawo Fourier’a - Kirchoff’a
l
1
0
x
S
0
x=l
W ogólnym przypadku
Równanie przewodnictwa cieplnego (dyfuzji)
Objętość V jest dowolna
Dla ciał izotropowych
x= y= z=
Do rozwiązania jest niezbędna znajomość warunku brzegowego
oraz początkowego
(t=0)
(S)
2
Dowolność temperatury odniesienia
podstawiając do równania dyfuzji mamy
Niech
Wniosek:
Niezależnie od rzeczywistego, czasoprzestrzennego rozkładu
temperatury w analizowanym obiekcie, można ustalić za zerową
(odniesienia) temperaturę dowolnego jego punktu.
Różnice temperatur pomiędzy dowolnymi punktami obiektu,
decydujące o rozpływie strumienia mocy cieplnej, nie ulegają
zmianie.
Naturalne warunki brzegowe
1. Warunek brzegowy Dirichleta
Y
q
dS
V
V
Zwykle ustala się
Otoczenie o bardzo dużej pojemności cieplnej
SD(V)
2. Warunek brzegowy Neumanna (dla części brzegu SN
S)
Y
q
V
V
dS
Zwykle ustala się
Brak wymiany ciepła poprzez część brzegu SN
SN
3
Wykorzystanie symetrii obiektu do redukcji modelu obliczeniowego
Y
Y
SD)=0
SD)=0
q
q
Yn=-
Płaszczyzna
jednoczesnej symetrii:
- geometrycznej,
- materiałowej,
- żródeł ciepła.
n
Yn=-
SN)=0
n
SN)=0
Oddawanie ciepła poprzez konwekcję i promieniowanie
Y
3. Warunek brzegowy Hankela
q
dS
V
V
KP=
K
SKP(V)
=
P – współczynnik konwekcji i promieniowania
(1+1.2
v)
v – prędkość strugi powietrza
K0
K+
Konwekcja naturalna
Promieniowanie
Dla temperatur
Dla odprowadzania w kierunku
horyzontalnym i pionowym do góry
S=
(80-120) oC
Powierzchnie matowe
Y
K0
W/m2deg
Dla odprowadzania w kierunku
pionowym do dołu
K0
W/m2deg
Y
P
W/m2deg
Powierzchnie błyszczące
P
W/m2deg
4
Własności fizyczne wybranych materiałów
Przewodność
cieplna
[W/m deg]
Gęstość
masy
[kg/m3]
Ciepło
właściwe
[J/kg deg]
Miedź
385
8930
398
Aluminium
230
2700
900
Stal
25 - 50
7850
500
Blacha elektrotechniczna
45 - 65
7800
500
Żywica poliamidowa
0.16
1040
1500
Żywica poliestrowa
0.17 – 0.24
1230
1250
0.6
1200
1500
0.023 – 0.030
1.1
1170
Materiał
Żywica poliuretanowa
modyfikowana
Powietrze ( =75 oC)
Przykładowe obliczenia
=100
=100
=0
=0
x/ y=1
=100
x/ y=10
=0
x/ y=0.1
5
Analiza w przestrzeniach liniowych
Przestrzenią liniową rzeczywistą Y nazywamy pewien niepusty zbiór elementów y,
dla których określono operacje dodawania, mnożenia przez liczbę rzeczywistą
oraz wyróżniono element zerowy 0, jeśli dla dowolnych yk Y i
i są
spełnione
następujące aksjomaty:
• yk+ym= ym+ yk
• yk+ (ym+ yn) = (yk+ ym)+ yn
• yk+ 0 = yk
•
(yk+ ym) =
• (
i
• (
i
j
j
yk+
yk =
yk =
i
i
(
yk
j
ym
j yk
yk
Przykłady przestrzeni liniowych
1.
(y1 +y2)
Zbiór wektorów na płaszczyźnie E2
y2
y1
2.
Zbiór funkcji liniowych y(x) w przedziale [a,b]
y2
y1
y
a
b
x
(y1 +y2)
6
Wymiar i baza przestrzeni liniowej
Elementy yk (k=1...N) nazywamy liniowo niezależnymi, jeżeli żaden z
tych elementów nie może być przedstawiony za pomocą kombinacji
liniowej z pozostałych.
N
yk
i
yi
i 1
i k
Bazą przestrzeni liniowej {ei} Y nazywamy zbiór N liniowo niezależnych
elementów należących do przestrzeni Y, za pomocą którego można
przedstawić dowolny element y z tej przestrzeni.
N
y
i
ei
i 1
Liczbę N nazywamy wymiarem przestrzeni
Przykłady baz przestrzeni liniowych
Dla każdej przestrzeni liniowej rzeczywistej można znaleźć dowolnie
dużo układów elementów bazowych.
f1
1. Przestrzeń wektorów na płaszczyźnie E2
f2
e2
y
y = e1 + e2 =
f1 +
f2
f1
2. Przestrzeń funkcji liniowych na przedziale [a, b]
f1
y=
e1 +
e2 =
f1 +
e1
f2
y
f2
f2
b
a
e2
e1
7
Iloczyn skalarny i norma przestrzeni liniowej
Iloczynem skalarnym dwu elementów y, z należących do przestrzeni
liniowej rzeczywistej Y nazywamy funkcję < y, z > o wartościach
rzeczywistych, jeżeli spełnione są warunkiŁ
•
y, z+w = y, + y, w
•
y, w = w, y z
•
y, z =
y, z
•
y, y > 0 dla y 0
Norma przestrzeni i iloczyn skalarny są powiązane definicyjnie jako
Przestrzeń Euklidesowa n-wymiarowa
Bazą ortogonalną przestrzeni n-wymiarowej nazywamy taki zbiór
jej elementów{ek }jeżeli dla dowolnej pary zachodzi
Jeśli dodatkowo norma każdego z wektorów bazowych jest równa jedności
to bazę taką nazywamy ortonormalną.
Jeżeli iloczyn skalarny jest określony wyrażeniem
N
( i )2
y, y
y
2
i 1
to normę indukowaną przez ten iloczyn nazywamy Euklidesową
8
Cosinusy kierunkowe
Element przestrzeni liniowej nazywamy unormowanym oznaczając go
przez yN, jeżeli jego norma jest równa jedności.
Amplitudę i-tej składowej wektora yN nazywamy
i-tym cosinusem kierunkowym uni z własnością
y
2
e2
e1
1
Iloczyn skalarny w przestrzeniach funkcyjnych L2
Jeżeli dane są funkcje u, w określone i całkowalne nad pewną
dziedziną V (objętością, powierzchnią, odcinkiem), to iloczyn
skalarny tych elementów wynosi
Zadanie aproksymacji:
Wyznaczyć najlepsze przybliżenie ua funkcji u za pomocą
zbioru funkcji bazowych ei , i=1,2...N
9
Przykłady zadań aproksymacji/interpolacji
1. Szereg Fouriera.
Dana jest funkcja okresowa f(t) o okresie T.
Wyznaczyć jej rozwinięcie fa(t) w szereg funkcji cos , sin .
Przykłady zadań aproksymacji/interpolacji
2. Uogólnienie linii łamanej.
Dany jest zbiór punktów yi(xi), wyznaczyć funkcję ya ciągłą,
odcinkami liniową przechodzącą przez te punkty.
y
1
x4
x1
x
x3
x2
x5
ya(x)
ya ( x)
yi
i
( x)
i
10
Podstawy matematyczne metody elementu
skończonego (pole skalarne)
1. Poszukujemy przybliżonego rozwiązania pola temperaturowego (x),
x=[x1, x2, x3] w pewnym obszarze V o brzegu S spełniającego równanie
przewodnictwa cieplnego
z warunkiem brzegowym (x S)=
S.
2. Zakładamy rozwiązanie w postaci
o nieznanych amplitudach yi
3. Równanie przewodnictwa cieplnego
mnożymy obustronnie przez każdą z funkcji
i(x) i całkujemy nad obszarem V.
Podstawy matematyczne metody elementu
skończonego (pole skalarne)
4. Otrzymana tożsamość całkowa, będąca formalnie iloczynem skalarnym
funkcji i i równania przewodnictwa, przekształca się do
i=1 ... N
5. Przedstawiając poszukiwany rozkład temperatury w postaci kombinacji
liniowej funkcji bazowych otrzymujemy układ N równań względem
nieznanych amplitud funkcji bazowych yj
i=1 ... N
11
Kształty elementów skończonych i funkcji bazowych
(pierwszego rzędu)
Zagadnienie 1D – elementem jest odcinek
i
i-1
Zagadnienie 2D – elementem jest trójkąt
lub czworokąt
i
i+1
i
i
Zagadnienie 3D – elementem jest czworościan
lub sześciościan
i
(intensywność koloru pokazuje
wartość funkcji)
Przekształcenie tożsamości całkowej MES
do postaci macierzowej
1. Całkowanie odbywa się oddzielnie dla każdego elementu ek, k=1...M
(dla uproszczenia zapisu wprowadzono izotropową przewodność )
i=1 ... N
2. Analityczne wyrażenia dla poszczególnych funkcji bazowych są znane,
całki obliczane są na drodze numerycznej. Operatory sumowania
i całkowania mogą być wymienione miejscami.
i=1 ... N
12
Wektor wymuszeń równania macierzowego
1. Źródła mocy cieplnej
i=1 ... N
2. Warunki brzegowe
a. Dirichleta - znana jest temperatura brzegu yj
SD
i=1 ... N
Jeśli temperatura brzegu jest równa zeru - yj
SD =
0 ,to QSDi = 0
Wektor wymuszeń równania macierzowego
2. Warunki brzegowe
b. Neumanna - znany jest na brzegu strumień mocy cieplnej YSe
i=1 ... N
Jeśli strumień cieplny nie przenika brzegu Yk
temperatura brzegu nie jest znana a’priori.
SN =
0 ,to QSNi = 0,
c. Hankela - znana jest na brzegu intensywność wymiany ciepła przez konwekcję
i=1 ... N
13
Układ równań liniowych
równoważny tożsamości całkowej wymiany ciepła
Tożsamość całkowa
i=1 ... N
jest równoważna układowi równań
i=1 ... N
SD – część brzegu z warunkiem Dirichleta,
SN – część brzegu z warunkiem Neumanna,
SH – część brzegu z warunkiem Hankela.
14

1. Termokinetyka - Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych

Transkrypt

Podobne dokumenty

Ukrywanie danych w wielokrotnych strumieniach NTFS

Dyrektor Jerzy Goraziński Zastępca Dyrektora Robert Pardela

11.01.2012 r. (środa) odbędzie się spektakl pt.: ”Diabelski młyn

Zasady bezpieczeństwa w sieci

Pytania na egzamin z dydaktyki informatyki - BK-S

Technik mechatronik (przedmioty rozszerzone: matematyka, język

Wykaz tematów prac dyplomowych zatwierdzonych przez