Różniczkowalność funkcji

Różniczkowalność funkcji
Zadanie 1
Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji:
dla
.
Wskazówka
Należy zbadać lewo- i prawostronną granicę funkcji w punktach, gdzie wykres się "skleja" i
porównać je z wartością funkcji, a następnie zbadać, czy istnieje granica ilorazu różnicowego w tych
punktach.
Rozwiązanie
Poza punktami
funkcja jest ciągła (jest to znana własność funkcji tangens i arcus tangens),
wiec zajmiemy się poniżej wyłącznie własnościami funkcji w tych punktach. Najpierw zbadamy
istnienie granicy. Dla
mamy:
Jednocześnie wartość funkcji w tym punkcie równa jest . Aby funkcja była ciągła, musi zachodzić
równość tych trzech wielkości, czyli
.
Ponieważ funkcja opisana wzorem (1) jest nieparzysta, więc nie musimy już analizować jej
zachowania w punkcie
, gdyż otrzymamy identyczny warunek.
Teraz zbadamy różniczkowalność funkcji (zakładając już jej ciągłość). Utwórzmy iloraz różnicowy dla
(poza punktami
najpierw
:
Ponieważ wiemy już, iż
, funkcja jest różniczkowalna w sposób oczywisty), przyjmując
, a wartość ta z kolei równa jest
, więc możemy skorzystać ze
wzoru:
Dzięki temu otrzymujemy:
Przyjmując teraz
obliczamy analogicznie:
gdzie wykorzystaliśmy formułę:
Gdy
, otrzymujemy:
Jak widzimy pochodne jednostronne w tym punkcie są różne, a zatem funkcja nie jest
różniczkowalna. Dzięki antysymetrii, ten sam wniosek otrzymamy dla
.
Zadanie 2
Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji:
dla
.
Wskazówka
Należy zbadać lewo- i prawostronną granicę funkcji w punktach, gdzie wykres się "skleja" i
porównać je z wartością funkcji, a następnie zbadać, czy istnieje granica ilorazu różnicowego w tych
punktach.
Rozwiązanie
Poza zerem funkcja jest ciągła, gdyż albo jest wielomianem, albo sumą wielomianu i funkcji
wykładniczej. Poniżej więc zajmiemy się własnościami funkcji jedynie dla
. Najpierw
sprawdzimy istnienie granicy w tym punkcie. Mamy:
Ponadto
. Ciągłość funkcji wymaga więc spełnienia równania
różniczkowalności, będziemy już to zakładać.
Utwórzmy teraz iloraz różnicowy dla
przyjmując najpierw
:
. Przy badaniu
(poza zerem funkcja naturalnie jest różniczkowalna),
Ponieważ
więc otrzymujemy:
Teraz założymy
Dla
i
, otrzymując:
, otrzymujemy:
Porównując pochodne lewo- i prawostronną, widzimy, że funkcja jest różniczkowalna, o ile
.
Zadanie 3
Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji:
dla
.
Wskazówka
Należy zbadać lewo- i prawostronną granicę funkcji w punktach, gdzie wykres się "skleja" i
porównać je z wartością funkcji, a następnie zbadać, czy istnieje granica ilorazu różnicowego w tych
punktach.
Rozwiązanie
Jedynym punktem, którym trzeba się szczegółowo zająć, jest
gdyż funkcja logarytm jest ciągła
i różniczkowalna tam, gdzie jest określona, a funkcja wielomianowa -- wszędzie. Obliczamy zatem:
Zachodzi także
parametrów
.
Iloraz różnicowy dla
. Wyniki te oznaczają, że funkcja jest ciągła niezależnie od wartości
i
ma postać:
Wiemy, że
skąd wynika:
Dla
rachunek jest jeszcze prostszy, gdyż mamy:
Aby funkcja była różniczkowalna, musi więc zachodzić:
.
Zadanie 4
Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji:
dla
oraz
.
Wskazówka
Należy zbadać lewo- i prawostronną granicę funkcji w punktach, gdzie wykres się "skleja" i
porównać je z wartością funkcji, a następnie zbadać, czy istnieje granica ilorazu różnicowego w tych
punktach.
Rozwiązanie
W tym zadaniu sę dwa punkty, którym należy poświęcić uwagę:
oraz
. W przedziałach
,
i
funkcja jest wielomianem, a zatem jest ciągła i różniczkowalna.
Rozpatrzmy najpierw punkt
. Granice jednostronne mają w nim następujące wartości:
Mamy też
. Ciągłość funkcji wymaga więc, aby
Natomiast w punkcie
Ponadto
a dla
mamy:
. Tym razem musimy zatem spełnić:
Iloraz różnicowy dla
.
i
.
ma postać:
:
gdzie skorzystaliśmy z faktu, iż
. Funkcja byłaby więc różniczkowalna w tym punkcie tylko
wtedy, gdyby
, co nie może być spełnione, gdyż
Dla
mamy:
a dla
i
.
:
Musi więc zachodzić
, ale już wcześniej stwierdziliśmy, że
oznaczają, że funkcja jest różniczkowalna dla
tylko wtedy, gdy
. Oba te warunki łącznie
.