Lista 1

Lista 1 / I rok NE
1. Dla danych funkcji f : R → R zbadać, czy f jest „na” (surjekcją), czy jest
róŜnowartościową (iniekcją): f ( x ) = 2 x , f ( x ) = x3 − x , f(x) = x3, f ( x ) = x ,
2x + 1
dla x ≠ 1 i f(1)=2.
x −1
2
2. Funkcja f : [ −2,3] → [0,10] , f ( x ) = ( x − 1) nie jest wzajemnie jednoznaczna.
f ( x) =
Zaproponuj obcięcie tej funkcji, które będzie miało tę własność.
3. Dla danych funkcji wzajemnie jednoznacznych znaleźć funkcje odwrotne:
f : R → ( 0, ∞ ) , f ( x ) = 3x ; f : R → R , f ( x ) = x3 ; f : [ 0, ∞ ] → [ 0, ∞ ] , f ( x ) = x 2 ;
 π π
f : R → R , f ( x ) = 2 x ; f : R → R , f ( x ) = 2 x − 1 ; f :  − ,  → R , f ( x ) = tg ( x ) .
 2 2
Dla kaŜdej z funkcji narysować na jednym rysunku wykres funkcji oraz jej funkcji
odwrotnej.
4. Zbadać monotoniczność ciągów:
an = (2n+3)/(n+2), bn = (n2+1)/(2n-1), cn = 2n, dn = (-2)n, en = 2·3n – 1, fn = (2n/(n!)).
5. Obliczyć granice ciągów:
−2n3 + 3n − 1
 3
 2n − 3 
 n+3
, cn = 1 +  , d n = 
 , en = 
 ,
3
2
4n + 3n + 1
 n
 2n 
n−2
sin ( n )
c ⋅ n −1
f n = 4n 2 + 3 − 2n , g n = 9n 2 + 4n − 3n , hn = n 2n + 3n , in =
, jn =
, c∈R .
n
n
n
n
2n
an = −5n3 + 3n 2 − n + 2 , bn =
6. Wykazać, Ŝe ciąg zbieŜny nie moŜe mieć dwóch róŜnych granic.
7. Wykazać, Ŝe ciąg zbieŜny jest ograniczony.
8. Znaleźć sumę liczb naturalnych dwucyfrowych niepodzielnych przez 3.
9. Firma zakłada, Ŝe sprzedaŜ pewnego towaru będzie wzrastać o 5% miesięcznie (w
stosunku do poprzedniego miesiąca). O ile wzrośnie sprzedaŜ
a) po 3 miesiącach,
b) po pół roku,
c) po roku?
10. Jaki powinien być miesięczny procentowy przyrost kapitału inwestora, aby po
trzech latach podwoić kapitał ?