W(x)

Mechatronika sem.2
Wykład 10
Matlab
• Aproksymacja
• Interpolacja
• Inne metody obliczeniowe
1
Aproksymacja
Metoda aproksymacji polega na znalezieniu funkcji
f(x), której wykres przechodzi w pobliżu zbioru
zadanych punktów, zaś sama funkcja minimalizuje
wartość pewnego kryterium dopasowania
Wykorzystanie np. gdy mamy wiele dyskretnych
punktów pomiarowych i chcemy znaleźć funkcję
aproksymującą.
Funkcja aproksymująca nie musi wcale przyjmować identycznych
wartości jak funkcja aproksymowana.
Kryteria aproksymacyjne są różne, np. kryterium średniokwadratowe
jak w metodzie najmniejszych kwadratów.
2
Niech w naszym przypadku funkcją aproksymującą f(x) będzie
wielomian n-tego stopnia w(x).
Do znalezienia współczynników wielomianu używamy w
Matlabie funkcji polyfit, której składnia ma postać:
p=polyfit(x,y,n)
gdzie:
x - jest zbiorem N posortowanych rosnąco wartości
współrzędnych zmiennej niezależnej,
y - jest zbiorem N odpowiadających wartości zmiennej zależnej,
n - jest zadanym stopniem wielomianu aproksymującego,
p - jest wektorem poszukiwanych wartości współczynników
wielomianu aproksymującego.
3
x1=0, y1=0
x2=5, y2=1
x3=10, y3=0
% Obliczenie współczynników paraboli y(x)=p(1)*x^2 p(2)*x+p(3)
x=[0,5,10];
y=[0,1,0];
plot(x,y,'o')
%wykres punktów
p=polyfit(x,y,2)
% sprawdzenie paraboli na wykresie
x1=0:0.1:10;
y1=p(1)*x1.^2+p(2)*x1+p(3);
hold on
plot(x1,y1)
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
p=
-0.0400
0.2
0.4000
0.0000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
x1=0, y1=0
x2=2, y2=1
x3=3, y3=2
x4=10, y4=0
Nierównomierność kroku dla x – 4 punkty
% Obliczenie współczynników paraboli y(x)=p(1)*x^3+p(2)*x1^2+p(3)*x1+p(4)
clc; x=[0, 2, 3, 10]; y=[0, 1, 2, 0];
plot(x,y,'o') %wykres punktów – "kółeczka"
p=polyfit(x,y,3) %teraz wyznaczamy wielomian 3-go stopnia
% sprawdzenie paraboli na wykresie
x1=0:0.1:10;
y1=p(1)*x1.^3+p(2)*x1.^2+p(3)*x1+p(4); %taki zapis niewygodny
hold on %zamrożenie wykresu
plot(x1,y1) % wykres funkcji f(x)
5
4
p=
-0.0327
3
0.3304 -0.0298
0.0000
2
1
0
5
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p1(0 0), p2(1 1) , p3(2 1) , p4(3 1) , p5(4 1) p6(5 0)
clc, clear
N=input('Podaj rząd wielomianu:')
%interakcja: rząd wielomianu
x=[0 1 2 3 4 5]
y=[0 1 1 1 1 0]
p=polyfit(x, y, N) %współczynniki wielomianu
x1=0:0.1:5;
y1=0;
%Inny sposób: pętla sumująca elementy wielomianu
for m=1:N
y1=y1+p(m)*x1.^(N-m+1);
end;
%wykres punktów i funkcji
plot(x, y, 'o', x1, y1)
axis([0 5 -1 2])
2
2
N=2
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
N=5
1.5
5
6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Wnioski:
Wielomian aproksymujący powinien mieć rząd
mniejszy niż liczba punktów – inaczej ostrzeżenie o
niejednoznacznym rozwiązaniu
reduce the degree of the polynomial
7
Wygodna metoda wstawiania wielu punktów do
wielomianu o znanych współczynnikach - polyval
Wartości otrzymanego wielomianu, w dowolnych zadanych
punktach wektorem xx oblicza funkcja polyval
ypi = polyval(p, x)
gdzie:
x - tablica punktów zmiennej niezależnej
p - wektor współczynników wielomianu
ypi - wektor wartości wielomianu w zadanych punktach x
8
clc
N=15
x=1:N
y=round(10*rand(1,N)) %losowe wartości y
plot(x, y, 'o')
for k=4:7 % pętla stopni wielomianu od 4 do 7
hold on
p=polyfit(x,y,k)
xx=0:0.1:N;
yy=polyval(p,xx);
plot(xx,yy,'Color',[rand rand rand],'LineWidth',k-3)
end
25
20
Przykładowe
rozwiązanie
15
10
5
0
0
5
10
15
9
Aproksymacja - błędy
clc,clear
x = [0: 0.1: 2.5];
y=x.^6;
p1 = polyfit(x,y,3)
p2 = polyfit(x,y,6)
f1 = polyval(p1,x);
f2 = polyval(p2,x);
subplot(2,1,1)
plot(x,y,'o',x,f1,x, f2)
subplot(2,1,2)
plot(x,y-f1,'-',x, y-f2,'r-')
300
200
100
0
-100
0
0.5
1
1.5
2
2.5
błąd
15
10
5
n=3
0
n=6
-5
-10
0
0.5
1
p1 =
53.0000 -126.3856 80.8523 -9.3899
p2 =
1.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000
1.5
2
2.5
0.0000
10
Jeszcze o wykresach…
clc,clear
for k=1:100
x(k)=k;
y(k)=5*rand;
end
%wykres punktowy
plot(x,y,'.','Color','k','MarkerSize',5)
hold on
%figura konturowa
x=[10 10 90 90 10]
y=[1 4 4 1 1]
fill(x,y,'r', 'Linewidth',5)
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
20
40
60
80
100
11
Interpolacja
Interpolacja to przybliżanie przy pomocy funkcji z pewnej
klasy, np. wielomianami, funkcjami trygonometrycznymi,
funkcjami sklejanymi itp.
Znane są dokładne wartości funkcji w
punktach węzłowych.
Zadaniem interpolacji jest wyznaczenie funkcji
interpolującej, co daje możliwość znalezienia
przybliżonych wartości funkcji w punktach nie będących
węzłami oraz oszacowanie błędów tych przybliżonych
wartości.
12
W tym celu należy znaleźć funkcję W(x), nazywaną
funkcją interpolującą, która w węzłach interpolacji
przyjmuje takie same wartości co funkcja y=f(x).
Interpolacja jest w pewnym sensie zadaniem odwrotnym do
tablicowania funkcji.
Przy tablicowaniu mając analityczną postać funkcji budujemy
tablicę wartości, przy interpolacji natomiast na podstawie
tablicy wartości funkcji określamy jej postać analityczną.
13
Interpolacją funkcji
nazywa się wyznaczenie przybliżonych wartości funkcji
f(x) dla dowolnego argumentu
przy znanych jej wartościach
w ustalonych punktach
zwanych węzłami interpolacji.
14
Metody interpolacji
'nearest' - interpolacja "najbliższy sąsiad"
'linear' - liniowa
'spline' - przy pomocy funkcji sklejanych
'pchip' lub 'cubic' - sześcienna
15
1
Przykłady metod interpolacji
0.8
0.6
0.4
clc
clear
x = 0:10; %węzeł
y = sin(x); %węzeł
xi = 0:0.25:10; %inne x
figure(1)
yi = interp1(x,y,xi,'linear');
plot(x,y,'o',xi,yi)
figure(2)
yi = interp1(x,y,xi,'cubic');
plot(x,y,'o',xi,yi)
figure(3)
yi = interp1(x,y,xi,'spline');
plot(x,y,'o',xi,yi)
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
16
Teraz dowolne węzły
4
clc
clear
x = 0:10;
y = [1 2.5 3 2.5 1 0 -1 -2.5 -3 -2.5 -1];
xi = 0:0.25:10;
subplot(3,1,1)
yi = interp1(x,y,xi,'linear');
plot(x,y,'o',xi,yi)
subplot(3,1,2)
yi = interp1(x,y,xi,'cubic');
plot(x,y,'o',xi,yi)
subplot(3,1,3)
yi = interp1(x,y,xi,'spline');
plot(x,y,'o',xi,yi)
2
0
-2
-4
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
4
2
0
-2
-4
4
2
0
-2
-4
17
EKSTRAPOLACJA
– rozszerzenie poza przedział węzłów
2
clear
x = 0:10;
y = sin(x);
xi = -3:0.25:3; %szerszy przedział x
subplot(3,1,1)
yi = interp1(x,y,xi,'linear','extrap');
plot(x,y,'o',xi,yi)
subplot(3,1,2)
yi = interp1(x,y,xi,'spline','extrap');
plot(x,y,'o',xi,yi)
subplot(3,1,3)
yi = interp1(x,y,xi,'pchip','extrap');
plot(x,y,'o',xi,yi)
0
-2
-4
-5
0
5
10
15
0
5
10
15
0
5
10
15
2
0
-2
-4
-6
-5
5
0
-5
-5
18
Interpolacja powierzchni
30
25
20
15
10
[X,Y]=meshgrid(-3:0.4:3)
Z=5*sin(X).*cos(Y)
[XI,YI]=meshgrid(-3:0.1:3)
ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,'linear')
mesh(X,Y,Z)
hold
mesh(XI,YI,ZI+25)
hold off
axis([-3 3 -3 3 -5 30])
5
0
-5
2
0
-2
-3
-2
-1
0
1
2
19
3
Iteracje ciągów
factorial(n) = n!
%Obliczenie liczby Eulera
clc,format compact
k=0:1000;
e=sum(1./factorial(k))
%to samo z pętlą for
e=0;
for k=0:1000
e=e+1/factorial(k);
end
disp(e)
%inny sposób
k=0:1000;
a=k+1;
b=factorial(k);
e=0.5*sum(a./b)
e=
2.7183
e=
2.7183
e=
2.7183
20
a nawet gdy nie znamy funkcji
factorial, można sobie poradzić z
liczeniem silni:
N=6;
S=1;
for k=2:N
S=S*k;
end
disp(S)
720
21
Iteracja (pętla) warunkowa while (dopóki)
while warunek_logiczny
instrukcje
end
1. Badanie warunku (true/false)
2. Jeśli warunek==true to instrukcje są wykonywane,
jeśli warunek==false to koniec działania pętli
warunkowej
3. Ponowne sprawdzenie warunku
4. … itd.
22
Algorytm iteracyjny z połowieniem
przedziału dla znalezienia
interval bisection method
12=1
22=4
1.52=2.25
1.252=1.5625
1.3752=1.5625
itd.
za małe
za duże
za duże
za małe
a
b
xi
xi+1
jeśli za
duże
xi+1
jeśli za
małe
23
Realizacja
M=2
a=1
b=2
k = 0;
disp(eps) % dokładność Matlaba
while b-a > eps
x = (a + b)/2;
if x^2 > M
b = x;
else
a = x;
end
k = k + 1;
end
a
b
2.2204e-016
a=
1.4142
b=
1.4142
24
Badanie zmiany znaku funkcji –
też połowienie przedziału
warunek: sign(f(a))~=sign(f(b))
clc,clear
k = 0;
a = 3;
b = 4;
if sign(sin(a))~=sign(sin(b))
while abs(b-a) > 1e-10
x = (a + b)/2; %środek
if sign(sin(x)) == sign(sin(b))
b = x; % koniec=środek
else
a = x; % początek=środek
end
k = k + 1;
end
a
b
else
disp('Ustal inne a i b')
end
funkcja (signum) - znak
sign(x)= (-1 || +1)
a=
3.1416
b=
3.1416
Warunek
sign(f(a))~=sign(f(b))
można też zapisać:
f(a)*f(b)<0
25
Metoda Newtona
Zadaniem jest znalezienie pierwiastka
równania zadanej funkcji ciągłej f(x)
W metodzie Newtona przyjmuje się następujące założenia:
1. W przedziale [a,b] znajduje się dokładnie jeden pierwiastek
2. Funkcja ma różne znaki na krańcach przedziału, tj. f(a)*f(b)<0
3. Pierwsza i druga pochodna funkcji mają stały znak w tym przedziale.
minus bo f(x)<0
26
u
α
f(x1)
-f(x1)/u = tg(α) = f '(x1)
u = x2-x1= -f(x1)/f '(x1)
x2 = x1-f(x1)/f '(x1)
27
Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji ln(x)
f=
log(x)
clc, clear, format compact, format long
syms x
f=log(x)
df=diff(f)
a=0.1;
b=4;
x=a;
xp=b;
while abs(x - xp) > eps
xp = x;
x = x - subs(f)/subs(df)
end
df =
1/x
x=
0.330258509299405
x=
0.696145164463784
x=
0.948286903858718
x=
0.998639213816122
x=
0.999999073710225
x=
0.999999999999571
x=
1
x=
1
>>
28
Paproć Barnsley'a
85%
7%
7%
1%
29
Realizacja w Matlabie
krok=500000;
x=zeros(1, krok);
y=zeros(1, krok);
for n=1:krok
r=rand(); %liczba losowa
if r<=0.01
x(n+1)=0;
y(n+1)=0.16*y(n);
elseif r<=0.08
x(n+1)=0.2*x(n)-0.26*y(n);
y(n+1)=0.23*x(n)+0.22*y(n)+1.6;
elseif r<=0.15
x(n+1)=-0.15*x(n)+0.28*y(n);
y(n+1)=0.26*x(n)+0.24*y(n)+0.44;
else
x(n+1)=0.85*x(n)+0.04*y(n);
y(n+1)=-0.04*x(n)+ 0.85*y(n)+1.6;
end
end
plot(x,y,'.','Color','g','MarkerSize',1)
30
31
Metoda Monte Carlo
"Strzelamy" losowo N razy w kwadratową
tarczę o boku A.
Liczymy liczbę trafień k w koło wpisane w kwadrat.
Pole kwadratu: A*A
Pole koła: π A2/4
stąd
π=4*k/N
32
Realizacja w Matlabie
%Monte Carlo pi
clc,clear
N=1000000;
x=zeros(1,N);
y=zeros(1, N);
k=0;
for n=1:N
r1=rand()-0.5;
r2=rand()-0.5;
if r1^2+r2^2<=0.25
x(n+1)=r1;
y(n+1)=r2;
k=k+1;
end
end
plot(x,y,'.','Color','g','MarkerSize',1)
naszePI=4*k/N
33
naszePI =
3.1411
34
Transformacje geometryczne
Kontur zamknięty
opisany
współrzędnymi
punktów w postaci:
x1 x2 x3 …….
y1 y2 y3 …….
1 1 1 …..
Macierz przesunięcia Prz
1 0 px
0 1 py
0 0 1
Macierz obrotu Ska
sx 0 0
0 1 py
0 0 1
Macierz skalowania Obr
cos(kat) sin(kat) 0
-sin(kat) cos(kat 1
0
0
1
Przekształcenie= Psz*Ska*Obr
35
Realizacja w Matlabie
clc,clear
x=[0 0 1 1 3 3 0; 0 5 5 1 1 0 0; 1 1 1 1 1 1 1]
x(1,:)
fill(x(1,:),x(2,:),'c')
%axis([-1 6 -1 6])
axis equal
syms px py sx sy kat
Prz=[1 0 px;0 1 py;0 0 1]
Ska=[sx 0 0;0 sy 0; 0 0 1]
Obr=[cos(kat) sin(kat) 0; -sin(kat) cos(kat) 0; 0 0 1]
Cal=Prz*Ska*Obr;
x=Cal*x
px=2; py=2; sx=0.5; sy=0.5; kat=pi/4;
x=subs(x)
hold on
fill(x(1,:),x(2,:),'r')
36
37