c l c

MOiPP
Wykład 3
Matlab
• Przykłady prostych metod
obliczeniowych
1
Zliczanie warunkowe w tablicy 1-wymiarowej
Ile w tablicy jest elementów dodatnich?
M=-3:0.1:2
ile=0;
%koniecznie inicjujemy zmienną!
N=length(M)
% funkcja length zwraca liczbę kolumn wektora
for i=1:N
% pętla
if M(i)>0
% test warunku
ile=ile+1;
end
end;
disp(ile)
2
Zliczanie elementów dodatnich w tablicy
dwuwymiarowej
clear; clc
a=rand(5,5)-0.5
%elementy dodatnie i ujemne
iledod= 0;
%inicjujemy zmienną
for i= 1:1:5,
for j = 1:1:5,
if a(i , j)>0
iledod=iledod+1;
end
end
end
disp(iledod)
3
Sumowanie warunkowe (elementów
dodatnich) w tablicy 1-wymiarowej
M=-3:0.1:2
suma_d=0;
N=length(M)
for i=1:N
if M(i)>0
suma_d=suma_d+M(i);
end
end;
disp(suma_d)
4
Sumowanie warunkowe elementów tablicy
2-wymiarowej
clear; clc
a=rand(5,5)-0.5
suma_d= 0;
suma_u=0;
for i= 1:1:5,
for j = 1:1:5,
if a(i , j)>0
suma_d=suma_d+a(i,j);
else
suma_u=suma_u+a(i,j);
end
end
end
fprintf('suma dodatnich:%f\n',suma_d)
disp('suma ujemnych:%f\n',suma_u)
5
Sumowanie warunkowe elementów tablicy
2-wymiarowej
clear; clc
a=rand(5,5)-0.5
suma_p= 0;
for i= 1:1:5,
for j = 1:1:5,
if a(i , j)>=-0.2 && a(i , j)<=0.2
suma_p=suma_p+a(i,j);
end
end
end
fprintf('suma [-0.2, 0.2]:%f\n',suma_d)
Można używać pojedynczy znak koniunkcji &
6
Sumowanie elementów przekątnej i
przeciwprzekątnej
clear; clc
a=rand(5,5)-0.5
suma_p= 0; suma_pp= 0;
for i= 1:1:5,
suma_p=suma_p+a(i,i);
suma_pp=suma_pp+a(i,6-i);
end
fprintf('suma elementów przekątnej:%f\n',suma_p)
fprintf('suma elementów przeciwprzekątnej:%f\n',suma_pp)
Rozwiązanie lepsze niż podwójna iteracja
z warunkiem w==k
Można używać także pojedynczy znak koniunkcji &
7
Obliczenia kinematyczne
Ruch jednostajnie przyspieszony(opóźniony)
v=v0+a*(t-t0)
8
Ruch jednostajnie przyspieszony
Wykres v(t) – prędkość jest funkcją
liniową, więc wystarczą dwa punkty dla
wykresu
t0=0, v0=0, tk=5,vk=20
%tworzymy dwa wektory
t=[t0 tk]
v=[v0 vk]
plot(t, v, 'k')
xlabel('t'), ylabel('v')
20
18
16
14
v
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
t
4
5
9
Ruch jednostajnie przyspieszony
s(t) to parabola, więc potrzebujemy więcej punktów
s(t)-czerwony v(t) - czarny
50
t0=0, v0=0, tk=5,vk=20
a=(vk-v0)/(tk-t0)
% "gęsta" oś czasu
t=t0 : 0.1 : tk
s=v0*t+a*t.^2/2
plot(t, s,'r')
hold on %zatrzymanie wykresu
v=v0+a*(t-t0)
plot(t, v, 'k')
title('s(t)-czerwony v(t) - czarny')
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
10
5
Ruch jednostajnie opóźniony
40
s (t )
30
20
10
0
0
0.5
1
1.5
2
t
2.5
3
3.5
4
0
0.5
1
1.5
2
t
2.5
3
3.5
4
20
15
v (t )
t0=0, v0=20, tk=4, vk=0
a=(vk-v0)/(tk-t0)
t=t0 : 0.1 : tk;
s=v0*t+a*t.^2/2;
subplot(2,1,1),plot(t, s)
xlabel('t'),ylabel('s(t)')
v=v0+a*(t-t0);
subplot(2,1,2),plot(t, v)
xlabel('t'),ylabel('v(t)')
10
5
0
11
Wykorzystanie macierzy w ruchu złożonym – odcinki czasowe
- jednostajnie przyspieszony,
- jednostajny,
- jednostajnie opóźniony,
v(t)
25
t0=0, t1=t0+5, t2=t1+2*60, t3=t2+4
20
a1=4, a2=0, a3=-5
v0=0
15
v1=a1*(t1-t0)+v0
v2=a2*(t2-t1)+v1
10
v3=a3*(t3-t2)+v2
t=[t0 t1 t2 t3] %kolejne punkty czasowe5
v=[v0 v1 v2 v3] %odpowiednie prędkości
0
0
plot(t, v)
title('v(t)')
axis([0 140 0 25])
20
40
60
80
100
120
12
140
… na marginesie … czasem wygodniejsza skala logarytmiczna
[x,y] = fplot('1/sqrt(1+2e-7*x^2)',[1,1e6]);
figure(1)
plot(x,y)
grid on
figure(2)
semilogx(x,y) %skala logarytmiczna dla osi x
grid on
semilogx
plot
Wykres w skali półlogarytmicznej osi x
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
5
x 10
13
6
10
Trochę inaczej tworzymy wykres przyspieszenia
t0=0, t1=t0+5, t2=t1+2*60, t3=t2+4
a1=4, a2=0, a3=-5
t=[t0, t0, t1, t1, t2, t2, t3, t3]
a=[0, a1, a1, a2, a2, a3, a3, 0]
figure(2)
plot(t,a), grid
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
20
40
60
80
100
120
140
14
A jak narysować wykres s(t) ?
Zadanie: Trzy przedziały czasowe:
1) t(0,10)
v0=0 v1=60
2) t(10 20) v1=60 v2=60
3) t(20 30) v2=60 v3=0
15
clc,clear
%dane
t0=0;t1=10;t2=20; t3=30;
v0=0; v1=60; v2=60; v3=0;
%1-szy przedział
T01=t0:0.1:t1;
a01=(v1-v0)/(t1-t0);
S01=a01*T01.^2/2;
%2-gi przedział – tylko 2 punkty!
a12=0; T12=[t1 t2];
S12=S01(length(S01))+v1*(T12-t1)+a12 *(T12-t1).^2/2;
%3-ci przedział
S(length(S)) – to ostatni element wektora
a23=(v3-v2)/(t3-t2); T23=t2:0.1:t3;
S23=S12(length(S12))+v2*(T23-t2)+a23*(T23-t2).^2/2
%scalamy wektory z przedziałów
uwaga: dużymi literami nazwano
T=[T01 T12 T23 ];
zmienne wektorowe, a małymi dane
S=[S01 S12 S23];
plot(T,S)
elementarne (skalarne)
sk=S(length(S)) %końcowa droga
hold on, plot([t1 t1],[S01(length(S01))-50 S01(length(S01))+50])
hold on, plot([t2 t2],[S12(length(S12))-50 S12(length(S12))+50])
ah=(v3-v2)/(t3-t2)
sh=-v2^2/2/ah
16
1200
1000
800
600
400
200
0
0
5
10
15
20
25
30
.. a teraz bardziej "elegancki" kod…do samodzielnej analizy
clc,clear
%dane
t=[0 10 20 30]; v=[0 60 60 0]; s0=0;
N=100; %liczba podprzedziałów, na jakie dzielimy każdy przedział jazdy
%====="pętla" dla 3-ch przedziałów
for k=1:3
fprintf('Przedzial:%d\n',k)
T(k,:)=t(k):(t(k+1)-t(k))/N:t(k+1); %podwektor czasu w wierszu k-tym
a(k)=(v(k+1)-v(k))/(t(k+1)-t(k)); % przyspieszenie w k-tym przedziale
% teraz podwektor drogi w k-tym wierszu
S(k,:)=s0(k)+v(k)*(T(k,:)-t(k))+a(k)*(T(k,:)-t(k)).^2/2;
%przechowanie ostatniej wartości drogi dla następnego przedziału
s0(k+1)=S(k,N+1);
fprintf('Przebyto w tym etapie drogę:%0.1f\n', s0(k+1))
end %koniec pętli
%przygotowanie danych do wykresu
T=reshape(T',1,3*(N+1)); % rekonfiguracja 3-wierszowej macierzy T w 1-wierszową
S=reshape(S',1,3*(N+1)); % to samo dla macierzy S
plot(T,S) %rysujemy wykres
%całkowita przebyta droga- ostatni element tablicy S
fprintf('Przebyto całkowitą drogę:%0.1f\n metrów', S(length(S)))
17
Zróżnicowanie metod obliczeniowych
Zadanie:
Obliczyć wartości drogi wykonanej przez ciało od prędkości
początkowej V0=0, poruszającym się z przyspieszeniem
a=4m/s2, w przedziale czasu t=[0, 5] s.
Utworzyć wykres s(t).
18
Sposób 1:
dwie tablice
t=0 : 0.1 : 5
a=4
s=a*t.^2/2
plot(t,s)
19
Sposób 2: podział przedziału czasu
i wykorzystanie iteracji
a=0; b=5; n=50;
h=(b-a)/n;
for i=1:n+1
t(i)=a+(i-1)*h;
s(i)=2*t(i)^2;
end
plot(t,s)
20
Sposób 3
Obliczenia przy pomocy tzw. funkcji anonimowej
Składnia funkcji anonimowej:
nazwa_funkcji=@(
nazwa_funkcji=@(lista_argumentów
=@(lista_argumentów)(wyrażenie)
lista_argumentów)(wyrażenie)
21
Przykład
1
0.8
0.6
sinusoida=@(t)(sin(t))
fplot(sinusoida,[0,4*pi])
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
Nasze zadanie
a=4;
t=0:0.1:5
f = @(t)(a*t.^2/2);
s=f(t)
plot(t, s)
-1
0
2
4
6
8
10
12
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
22
Można tworzyć funkcję anonimową o wielu argumentach
f=@(x,y)(sin(x)^2+cos(y)^2)
wynik=f(pi/2, 0)
f=
@(x,y)(sin(x)^2+cos(y)^2)
wynik =
2
23
Sposób 4
Tworzymy osobny m-plik funkcyjny o nazwie fs.m:
function y = fs(t)
y=2*t^2;
Teraz możemy wykorzystać naszą funkcję z pliku:
t=[0:0.5:5];
n=length(t);
for i=1:n
s (i)=fs(t(i));
end
plot(t,s), grid
24
Aby wykorzystać naszą funkcję w poniższy
sposób:
t=[0:0.5:5];
s=fs(t);
plot(t,s), grid
argumentem funkcji jest tutaj wektor
funkcja w m-pliku o nazwie fs.m musiałaby być
zdefiniowana następująco:
function y = fs(t)
y=2*t.^2;
bo elementowe podnoszenie do kwadratu
25
Zapis wielomianu w matematyce:
w(x)=a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ···+ aixn-i + ···+ an-2x2 + an-1x + an
Matlab – zmiana indeksowania współczynników
ponieważ w Matlabie indeksy macierzy zaczynają się od 1
26
Poznany przykład ilustrujący indeksowanie tablicy
5x4 + 4x2 – x + 2 = 0
Wektor współczynników:
A= [5 0 1 -1 2]
X=roots(A)
%sprawdzenie
S= A(1)*X(1)^4+ A(3)*X(1)^2+ A(4)*X(1) +A(5)
%albo
S=0;
for k=1:5
S=S+A(k)*X(1)^(5-k);
end
disp(S)
27