Logika - zadania powtórzeniowe

Logika - zadania powtórzeniowe
1. Które z poni»szych zda« s¡ zdaniami logicznymi:
(a) 2 jest liczb¡ pierwsz¡.
(b) Na sªoncu zachodz¡ reakcje termoj¡drowe.
(c) Id¹ do sklepu!
(d) Czy mog¦ zrobi¢ Ci kaw¦?
(e) Pies jest ssakiem.
(f) Kaziemierz Wielki pochodziª z dynastii Jagiellonów.
2. Oce« warto±¢ logiczn¡ zda«:
(a) Arystoteles byª lozofem.
(b) Woªga jest najdªu»sz¡ rzek¡ Europy.
(c) 144 jest kwadratem liczby naturalnej.
(d) Niemcy s¡ wschodnim s¡siadem Polski.
(e) 'kg' jest jednostk¡ ukªadu SI.
(f) 1 TB wynosi 106 MB.
3. Które z poni»szych zda« s¡ zdaniami logicznymi:
(a) n jest liczb¡ zªo»on¡.
(b) Suma k¡tów ostrych trójk¡ta prostok¡tnego wynosi 1800 .
(c)
√
3 jest liczb¡ wymiern¡.
(d) Na dowolnym czworok¡cie mo»na opisa¢ okr¡g.
(e) Liczba 1542 jest podzielna przez 6.
4. Napisz zaprzeczenia zda« i okre±l warto±¢ logiczn¡ tych zaprzecze«:
(a) 33 ≤ 32
1
(b) (2 + 9) 2 6= 2 2 + 3 2
1
1
(c) 131 jest liczb¡ pierwsz¡.
(d) Suma k¡tów wewn¦trznych trójk¡ta wynosi 3600 .
5. Zapisz u»ywaj¡c notacji logicznej nast¦puj¡ce zdania:
(a) Kraków jest historyczna stolica Polski i siedzib¡ Uniwersytetu Jagiello«skiego.
(b) Liczby 2 i 3 s¡ dzielnikami liczby 36.
(c) Radek b¦dzie studiowaª matematyk¦ lub informatyk¦.
(d) Stolic¡ Ukrainy jest Lwów lub Kijów.
(e) 40 = 0 lub 4 · 0 = 0.
6. Oce« warto±¢ logiczn¡ zda«:
(a) Je±li 2 jest liczb¡ zªo»on¡, to 4|7.
(b)
√
49 = 7 wtedy i tylko wtedy gdy, 9 jest liczb¡ zªo»on¡.
(c) Je±li ksi¦»yc jest planet¡, to sªo«ce jest gwiazd¡.
(d) 3|6 i 2|16.
(e) Stolic¡ Norwegii jest Trondheim lub Oslo.
(f) Mt Blanc jest najwy»szym szczytem Europy wtedy i tylko wtedy gdy,
Kilimand»aro jest najwy»szym szczytem Ameryki Pªn.
7. Wykaza¢, »e poni»sze wyra»enia s¡ tautologiami:
(a) (p ∧ q) ⇔ p
(b) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] ⇔ (p ⇔ q)
(c) ¬[p ∧ (¬q)] ⇔ [(¬p) ∨ q]
(d) [(p ⇒ q) ⇒ p] ⇒ p
8. Sprawd¹, które z poni»szych zda« jest prawem logicznym.
(a) p ⇒ (p ∧ q)
(b) [(p ⇒ q) ∧ ((¬p) ⇒ q)] ⇒ q
(c) (¬p) ⇒ (p ⇒ q)
(d) [(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ (¬q))] ⇒ q
9. Zapisz nast¦puj¡ce zdania za pomoc¡ kwantykatorów i oce« warto±¢ logiczn¡
tych zda«:
(a) Dla ka»dej liczby naturalnej n speªniona jest nierówno±¢ n >
1
n
(b) Istnieje taka liczba caªkowita k , »e
√
k jest liczb¡ caªkowit¡.
(c) Dla ka»dej liczby naturalnej k liczba postaci 2k jest liczb¡ parzyst¡.
(d) Istnieje liczba naturalna n, »e
√
3
n=
√
7
n.
(e) Dla ka»dej liczby caªkowitej k liczba k 3 − k jest podzielna przez 3.
10. Podane wyra»enie poprzed¹ kwantykatorem, aby otrzyma¢ zdanie prawdziwe:
(a) x2 > 0
(b) 2|n2 + 1
(c) x2 = 25
(d) 5x − 5 = 5(x − 1)
(e) 3|k
11. Roztrzygnij, czy poprawne jest rozumowanie:
"`Je±li wiesz, »e umarªe±, to umarªe± i je±li wiesz »e umarªe±, to nie umarªe±,
wi¦c nie wiesz, »e umarªe±."
12. Podczas przesªuchania zapytano ±wiadka:
"`Czy to prawda, »e je»eli Iksi«ski byª na miejscu zbrodni, to Zeci«ski te» byª
na miejscu zbrodni?",
ten za± odpowiedziaª:
"`Je±li to prawda, to Iksi«ski byª na miejscu zbrodni. "
Który z pary podejrzanych byª na pewno na miejscu zbrodni?
13. * W ±ledztwie w sprawie przemytu heroiny ustalono,co nast¦puje:
• w przemycie braª udziaª co najmniej jeden z podejrzanych: Andrago, Ben-
itez, Cordoba,
• je»eli Cordoba braª udziaª w przemycie, to przynajmniej jeden z pary:
Andrago, Benitez te» braª udziaª w przemycie,
• Benitez ma niepodwa»alne alibi.
Czy z ustale« tych wynika, »e Andrago braª udziaª w przemycie.
14. * Osiem zªotych monet zewn¦trznie jest jednakowych. Jedna z nich jest faªszywa
i l»ejsza od pozostaªych. Wykryj faªszyw¡ monet¦, dwukrotnie u»ywaj¡c szalkowej wagi bez odwa»ników.
15. * Mamy nieograniczony dost¦p do wody oraz 2 pojemniki 3-litrowy i 5-litrowy.
Za ich pomoc¡ nale»y nala¢ dokªadnie 4 litry wody.