Składanie drgań

SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH
Składanie drgań odbywających się wzdłuż jednej prostej
Punkt
materialny
jednocześnie
uczestniczy
w
dwóch
drganiach
harmonicznych, które odbywających się wzdłuż jednej prostej z jednakową
częstością ω. Do składania tych drgań stosuje się metodę graficzną.
Drgania określone są za pomocą równań:
x1 = A1 cos( ω t + ϕ 1 ) ,
x 2 = A 2 cos( ω t + ϕ 2 ) .
Drganie wypadkowe zachodziło będzie wzdłuż tej samej prostej i opisane
równaniem
x w = x1 + x 2 = A w cos( ω t + ϕ w )
gdzie amplituda:
A 2w = A12 + A 22 + 2A1A 2 cos( ϕ 2 − ϕ 1 )
oraz faza
tgϕ w =
A1 sin ϕ 1 + A 2 sin ϕ 2
A1 cos ϕ 1 + A 2 cos ϕ 2
Amplituda drgania wypadkowego zależy od różnicy początkowych faz (φ2- φ1)
drgań składowych.
Przypadki:
1)
Różnica faz drgań składowych równa się zeru albo całkowitej wielokrotności 2
π:
ϕ 2 − ϕ 1 = k ⋅ 2π
k = 0,1,2,...
Maksymalna amplituda drgań jest sumą amplitud drgań składowych.
io
2)
Różnica faz drgań składowych równa się nieparzystej wielokrotności π:
ϕ 2 − ϕ 1 = k ⋅ ( 2π + 1)
k = 0,1,2,...
Maksymalna amplituda drgań jest różnicą amplitud drgań składowych.
Jeżeli amplitudy dwóch ruchów harmonicznych są jednakowe a ich
częstotliwości kątowe nieznacznie się różnią to takie drgania nazywa się
dudnieniem.
x w = A cos( ω t ) + A cos( ( ω + ∆ ω ) t ) ≈
 ∆ω
≈ 2A cos
 2

t  cos( ω t )

Składanie drgań wzajemnie prostopadłych
Jeżeli punkt materialny uczestniczy jednocześnie w dwóch drganiach
harmonicznych, odbywających się z jednakowymi częstościami ω w dwóch
kierunkach wzajemnie prostopadłych:
x ( t ) = A x sin ( ω t + ϕ x ) ,
(
y( t ) = A y sin ω t + ϕ
y
)
to możliwe są następujące przypadki:
1) Początkowe fazy obu drgań są jednakowe (np. równe zeru):
ϕx= ϕy= 0
Dzieląc stronami te równania otrzymuje się równanie toru punktu:
2
io
y( x ) =
Ay
Ax
x.
Takie drgania nazywamy liniowo spolaryzowanymi.
2) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa π:
ϕx− ϕy= π
Wtedy torem punktu jest też linia prosta :
y( x ) = −
Ay
Ax
x.
3) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa π/2. Równania drgań mają
postać:
x ( t ) = A x sin(ω t +
π
) = A x cos( ω t ) ,
2
y( t ) = A y sin ( ω t ) .
Ostatecznie równanie toru wypadkowego ruchu drgającego:
x 2 y2
+
=1
A 2x A 2y
jest elipsą. Punkt porusza się po tej elipsie przeciwnie do ruchu wskazówek
zegara.
4) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa 3π/2, to punkt porusza się po
elipsie w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.
5) Dowolna różnice faz, to punkt porusza się po również po elipsie, ale o osiach
nie pokrywających się z osiami układu współrzędnych.
Różne krzywe otrzymane przy składaniu drgań wzajemnie prostopadłych
nazywa się figurami Lissajous. Kształt tych krzywych zależy od ilorazu amplitud,
częstości i początkowych faz drgań.
3