ĆWICZENIA RACHUNKOWE Z FIZYKI Lista XIII Wydział Inż. Środ

ĆWICZENIA RACHUNKOWE Z FIZYKI
Wydział Inż. Środ./kierunek: IŚ
Lista XIII
Drgania
Physics makes you think
Na ćwiczeniach w pierwszej kolejności będą rozwiązywane zadania oznaczone gwiazdką. Pozostałe są przeznaczone do samodzielnego
rozwiązywania przez studentów i będą, jeśli czas na to pozwoli, krótko omawiane na zajęciach. Prowadzący zajęcia wskazuje studentów,
którzy w ramach pracy domowej przygotowywują pisemne rozwiązania wybranych zadań z gwiazdką.
*1. Ciało o masie 10 kg wykonuje drgania harmoniczne proste opisane wzorem x(t) = 6 cos[3πt + π/3] (zastosowano jednostki
SI). Ile wynosi okres i częstość drgań? Dla chwili t = 2 s wyznaczyć: przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, fazę i siłę
przyłożoną do ciała.
*2. Masa m jest przyczepiona do dwóch sprężyn o stałych sprężystości k1 i k2 (patrz rysunki). W obu przypadkach zostaje
ona wychylona z położenia równowagi iq
puszczona; porusza się
q bez tarcia. Pokazać, że wykonuje ona ruch harmoniczny
prosty o okresach odpowiednio TA = 2π
m(k1 +k2 )
k1 k2
i TB = 2π
m
k1+k2 .
*3. Wyznaczyć okresy małych drgań: (a) tarczy o pr. R zawieszonej w punktach odległych od środka masy o R i R/2;
(b) kulki metalowej zawieszonej na nitce o długości L = 0,25 m umieszczonej w cieczy o gęstości 3 razy mniejszej od
gęstości kulki (opory zaniedbać); (c) ciała o masie m zawieszonego pośrodku poziomej metalowej linki o dł. L naciąganej
siłą N ; (d) pręta o masie m i dł. L zgiętego w połowie długości pod kątem prostym i podpartego na ostrzu, jak na rys.
*4. Rysunek przedstawia tunel wewnątrz jednorodnej planety o masie M i promieniu R. Pokazać, że równanie ruchu ciała
w tunelu ma postać d2 x/dt2 + gx/R = 0, gdzie g — przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni planety. Oszacować
wartość okresu oscylacji dla ciała w tunelu we wnętrzu Ziemi. Otrzymany wynik porównać z okresem obiegu Ziemi przez
sztucznego satelitę poruszającego się po orbicie kołowej z prędkością v równą
I prędkości kosmicznej.
p
2
*5. (a) Równanie wymuszonych drgań: x(t) = A cos(Ωt + φ), gdzie A = F/ m (Ω 2 − ω2 )2 + β 2 Ω 2 . Obliczyć częstość rezonansową Ωrez oraz Arez . (b) Amplitudy drgań wymuszonych odbywających się pod działaniem dwóch sił zewnętrznych
o częstościach kołowych ω1 = 200 s−1 i ω2 = 300 s−1 są równe. Wyznaczyć częstość rezonansową ωr .
*6. Przy jakiej prędkości samochód poruszający się po drodze z betonowych płyt będzie silnie drgał w kierunku pionowym,
jeśli długość płyty wynosi L, a nacisk na resor, który ugina się o ∆x pod działaniem siły Fx, wynosi N1 ?
7. Układ złożony z dwóch klocków (m = 1 kg i M = 10 kg; lżejszy klocek spoczywa na cięższym) i sprężyny (k = 300 N/m)
ustawiono na poziomej idealnie gładkiej powierzchni. Współczynnik tarcia statycznego między klockami wynosi 0,4. Dla
jakich amplitud ruchu harmonicznego układu mniejszy klocek pozostanie nieruchomy?
8. Klocek o masie M spoczywający na poziomej idealnie gładkiej powierzchni połączony jest sprężyną z pionową ścianą.
W klocek ten uderza lecący poziomo z prędkością v pocisk o masie m, który grzęźnie w klocku. Wyznaczyć prędkość
klocka tuż po zderzeniu oraz amplitudę drgań harmonicznych, jeśli współczynnik sprężystości sprężyny wynosi k.
9. Wahadło fizyczne ma postać jednorodnej metrowej linijki zawieszonej na osi umieszczonej w małym otworku wywierconym
w odległości d od jej środka. Okres drgań wynosi 3 s. Wyznacz d.
10. (a) Energia mechaniczna ciała o masie m wykonującego ruch harmoniczny po gładkiej poziomej powierzchni pod działaniem sprężyny o współczynniku k wynosi E = 12 mv2 + 21 kx2 . Korzystając z zasady zachowania energii (dE/dt = 0),
wyprowadzić równanie ruchu harmonicznego. (b) Małe ciało ślizga się bez tarcia wewnątrz sferycznej powierzchni o promieniu R. Energia mechaniczna ciała wychylonego z położenia równowagi o kąt ϑ wynosi E = 21 mv2 + mgR(1 − cos ϑ).
p
Wyprowadzić równanie ruchu. Pokazać, że okres małych drgań jest równy T = 2π R/g.
p
11. (a) Sprawdzić, że rozwiązaniem równania ruchu ẍ + 2β ẋ + ω02 x = 0 jest x = Ae−βt cos(ω′ t − ϕ), gdzie ω′ = ω02 − β 2 oraz
ω0 > β (tzw. słabe tłumienie). (b) Sprawdzić, że rozwiązaniem równania drgań wymuszonych ẍ+2β ẋ+ω02 x = (f0 /m) cos ωt
jest x = A cos(ωt − ϕ), gdzie A = (f0 /m)[4β 2 ω2 + (ω02 − ω2 )2 ]−1/2 oraz tg ϕ = 2βω/(ω02 − ω2 ). (c) Pokazać, że w tym
ruchu dE/dt = −2mβ ẋ2 , gdzie E — energia drgań.
12. Na powierzchni pewnej planety wahadło fizyczne podwieszone w dwóch punktach odległych od siebie o L > 0 ma
identyczne okresy małych drgań równe T . Ile wynosi wartość natężenia (przyspieszenia) grawitacyjnego na tej planecie?
13. Tłumiony ocylator harmoniczny składa się z klocka o masie 2 kg i sprężyny z k = 10 N/m. Siła tłumienia ma postać F =
−bv. W pewnej chwili amplituda drgań wynosi 25 cm. W wyniku tłumienia amplituda maleje o 25% po wykonaniu przez
układ czterech pełnych drgań. Obliczyć wartość b. Ile energii stracił układ w tym czasie?
14. Naukowiec amator stara się wyznaczyć za pomocą wahadła fizycznego przyspieszenie ziemskie wykonując pomiary na
pokładzie podwodnej łodzi poruszającej się na równiku. Naukowiec zauważa, że jego pomiary dają nieco inne wyniki, gdy
łódź płynie na wschód, niż wtedy gdy płynie na zachód z prędkością 20 km/h w obu przypadkach. Wyjaśnij dostrzeżone
różnice i wyznacz ∆g/g0 dla każdego kierunku ruchu, gdzie g0 przyspieszenie w spoczywającej łodzi.
x
k1
k2
C C C C C C
C C C C
k1
k2
CCCCC C
m
Zadanie 2
Wrocław, 27 XII 2007
m
CCCC
C@
C @
C @
@
C
C
Zadanie 3d
s
RM
Zadanie 4
W. Salejda, M.H. Tyc & K. Tarnowski