modelowanie wielostopniowych przekładni zębatych metodą

M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I STOSOWANA
3, 16 (1978)
M OD ELOWAN IE WIELOSTOP N IOWYCH PRZEKŁAD N I ZĘ BATYCH METOD Ą SZTYWNYCH
ELEM EN TÓW SKOŃ CZON YC
H
STEFAN B E R C Z Y Ń
S K , I HENRYK M A Ć K O W I A K,
KRZYSZTOF M A R C H E L E K (SZCZECIN)
Metoda sztywnych elementów skoń czonyc
h (SES) może być efektywnie wykorzystana
do obliczeń gię tno- skrę tnych drgań swobodnych i wymuszonych napę dów wielostopniowych z przekł adniami zę batymi. W monografii [1], która jest najpełniejszym opracowaniem
metody SES, problem ten nie został poruszony. W niniejszej pracy przedstawiony jest
algorytm obliczeń, który stanowi rozwinię cie metody SES w jej zastosowaniu do obliczeń
napę dów z przekł adniami zę batymi. Algorytm opracowano dla modelu przekładni zę batej przenoszą cej ś rednie moce (np. napę dy obrabiarek), w której nie wystę puje luz
obwodowy.
a)
t . _i
r - i
1
- element jprę ż yjł o -
r~
L ~>
r —ł
«-
_i
».
r
U
j
ttumą cy
Rys. 1
Przy tworzeniu przedstawionego modelu pominię to takie zjawiska, jak zmiana ką ta
przyporu1* na skutek odkształ ceń zę bów, wpływ nierównomiernoś ci rozkładu obcią ż enia
wzdłuż linii styku zę bów oraz zazę bienia krawę dziowego powstają cego wskutek zwichrowania kół pod obcią ż eniem, błę dów wykonawczych i montaż owych oraz zjawiska girosJ)
Definicje poję ć zwią zanych z geometrią zazę bienia znaleźć moż na np. w [4].
280
S. BERC Z YŃ SKI
, H . M AĆ KOWI AK
, K . M AR C H E LE K
kopowe. Wpł yw tych czynników na procesy dynamiczne zachodzą ce w napę dzie jest
z reguł y lokalny i moż na go w pierwszym przybliż eniu przy analizie cał oś ci napę du pominą ć.
N a rys. 1. pokazano model przykł adowej dwustopniowej przekł adni zę batej zbudowany ze sztywnych elementów skoń czonych, poł ą czonych mię dzy sobą elementami sprę ż ysto- tł umią cymi o liniowych charakterystykach. Koł a zę bate są przedstawione za pomocą SES n r 2, 5,pir.
Rys. 2
N a rys. 2 przedstawiono sposób modelowania zazę bienia dla przypadku trzech współ pracują cych kólp, r, s. Przyję to zał oż enie, że koł a współ pracują ze sobą n a linii przypora.
Punkty styku Ppr- P, Ppr- r oraz Prs_ r i P r s _ j tylko w stanie równowagi pokrywają się
tworzą c odpowiednio punkty Ppr i Prs (rys. 2). W czasie ruchu punkty Ppr- P, Ppr- r oraz
P M _ r i P „ _ s muszą cią gle znajdować się n a odpowiednich pł aszczyznach zazę bienia, których ś lady przecię cia z pł aszczyzną rysunku oznaczono przez / „ i lpr. Jest to równoznaczne
z nał oż eniem na ukł ad wię zów geometrycznych. W punktach styku Ppr i Prs zaczepiono
ukł ady współ rzę dnych Ppr>Z prl,Z pr2,Z vri oraz Prs, Z fsi, Z rs2, Z rs3. M acierze współ rzę dnych punktów Ppr- P> Ppr^r i Prs- r, Prs- s w tych ukł adach mają postać:
. Pr~P. = Ł >PT- r —
; .. • - . . CO
H ^ p r - p l> Z pr_ vi, Z pr_ p3j,
VT~T ~
gdzie Ż j„._
p — macierz kolumnową współ rzę dnych pun ktu P p i ._ p w ukł adzie Zpn, Z Pr3, Z p r _ p i —współ rzę dna.punktu Ppr~ pna. osi Z p r _ t , (i = 1^2, 3);
Ppr,Z trl,
281
MODELOWANIE WIELOSTOPNIOWYCH PRZEKŁADNI ZĘ BATYCH
M acierze wektorów kierunkowych pł aszczyzn zazę bienia mają postać
Upr = C0\ {Apr, Bpr, Cpr}', ^rs = C ol{^ r s , Brs, Crs}.
Równania wię zów geometrycznych (pł aszczyzn zazę bienia) wyraż one są wzorami:
(1) (2) fpr == Apr{Zpr- pl — Zpr- n) + Bpr{Zpr- p2 — Zpr- rz) + Cpr(Z pr _ p 3 — Zpr- ri) ~ 0)
frs = Ar.(Z„- n- Z„- sl) + B„(Z r,_ Ta~Z„- l3 + Cr,(Z n- r3- Z„- ta) = 0.
U kł ady współ rzę dnych są ukł adam i prawoskrę tnymi, przy czym osie Z pr2 i Z r s 2 są zwrócone do osi obrotu kół napę dzanych w danej współ pracują cej parze.
Przy wyprowadzaniu wzorów ustalono nastę pują ce reguł y:
litera stoją ca n a pierwszym miejscu w indeksie oznacza koł o napę dzają ce, litera
stoją ca n a drugim miejscu — koł o napę dzane, n p. indeks pr oznacza, że koł o napę dzają ce
m a num er p zaś koł o napę dzane m a numer r,
— kierunek obrotów koł a napę dzają cego (np. p) jest prawy, gdy ukł ad z nim zwią zany
obraca się zgodnie z reguł ą ś ruby prawoskrę tnej wokół osi xpi,
— kierunek pochylenia linii zę bów koł a napę dzają cego (np. p) jest prawy, gdy rzut
linii zę bów na pł aszczyznę osi xpl, xp3 tworzy z osią x p l ką t od 0° do 90°.
Rys. 3
Współ rzę dne ApT , Bpr, Cpr wektora kierunkowego pł aszczyzny zazę bienia kół p i r
opisują zależ nośi c
+1
Apr = ( - i y c o sa „ sm / 3 p r , Bpr = ( - l ) ' si n a n )
w
Cpr = cosa n cos/ 9 p r ,
przy czym
y czym
jO — gdy kierunek obrotów koł a p jest prawy,
jO —
~ \ l —gdy kierunek obrotów koł a p jest lewy.
(00 — gdy kierunek; pochylenia linii zę bów koł a p jest prawy,
\\ l
gdy kierunek pochylenia linii zę bów koł a/ ) jest lewy,
gdzie «„ oznacza nominalny ką t przyporu koł a zę batego, zaś / 3pr ką t pochylenia linii zę ba
ko ł a p. • y ..
282 S. BERCZYŃ SKI
, H . M AĆ KOWIAK
, K. M ARCH ELEK
Zależ nośi c(1) i (3) są także sł uszne dla przekł adni utworzonej z kół stoż kowych (rys. 3)»
U kł ad współ rzę dnych Ppr! Z prl, Z pr2, Z pr3 powinien być tak zorientowany, aby oś Z prl
pokrywał a się ze wspólną tworzą cą stoż ków podział owych obu kół p i r, zaś oś Z p P 2 zwrócona był a w kierunku osi obrotu koł a napę dowego r.
Równania wię zów (1) i (2) należy wyrazić w tych samych współ rzę dnych, w których
opisany jest ruch sztywnych elementów skoń czonych.
Jako współ rzę dne uogólnione opisują ce ruch sztywnych elementów skoń czonych przyję to trzy wzajemnie prostopadł e przemieszczenia translacyjne d wzdł uż osi xf oraz trzy
ką ty obrotów f wokół tych osi. N a przykł ad przemieszczenia uogólnione SES /• i s wyraż one
są zależ noś ciami
:
qP = col{qn, qr2, ... qrS , qr6} = col{8 r , <J>P},
( 4) , r • > ,,»: , i
q 5 = c o % s l , qs2) ... qsS , qs6} = col{S s , <|>s},
gdzie qri, qsi oznacza przemieszczenia uogólnione kół r i s w ukł adach 0P , x P l , xr2, xr3 i
Przemieszczenia punktów Prs kół r i s w ukł adzie Z P S l , Z „ 2 , Z r s 3 wyrazić moż na za
pomocą współ rzę dnych uogólnionych, korzystają c z wzorów:
q, s_ P = U r s - P VP S - P q P ,
q rs- s = U,,_,V„_,q„
przy czym ( 4b) >
r s
" ~ r U " " ' * ' ' "~ r5> ~ r 6 1 . fi **, ""' , '
r
q M _ P = C O li^ r s_ s i, qrs- s2> • • qrs- sS, qrs- s6S — C Ol{O P S _ s , 4*rs- s/ »
gdzie qrs- ri—qrs- si oznaczają przemieszczenia kół r i s w ukł adzie Prs, Z P S 1 , Z r s 2 , Z „ 3 .
Wystę pują ce w równaniach (4a) macierze U „ _ P i U „ _ s transformacji przemieszczeń
z ukł adów 0 r , xn, xr2, xr3 i 0 s , xsl, xs2, xs3 do ukł adu P r s , Z, sl, Z rs2, Z ta3 wyraż one są
nastę pują co:
(5) U P S _ P = T
, U P S _ S = „ r ,
przy czym
oraz macierze wersorów osi ukł adów
h = col {jP i, j P 2 , j P 3 }, j s = col {j s l , j s 2 , j s 3 },
J r «- C 0l{jP S l , jP s2 , i"P s3 }.
"Wyraz C P S_ P < I )t| macierzy C P S_ P zdefiniowany jest nastę pują co:
C„-
P(
u, = cos(Xrl, Zrsk), h k = 1, 2, 3,
gdzie (XH, Z rsk) — oznaczają ką t zawarty mię dzy / - tą osią ukł adu zwią zanego z koł em r
a k- tą osią ukł adu Prs, Z m , Z P s 2 , Z P s 3 , do którego transformuje się przemieszczenia.
Macierze vr j _ r , vP,_ 5 przenoszenia przemieszczeń z ukł adów Or, Xrl, Xr2, Xr3 i O, i,
^si>^s2,^s3 do ukł adu PrB) Z rst, Z„2) Z ra3 są wyraż one w postaci
(7) V - v
284 S. BERCZYŃ SJU
, H . MAĆ KOWIAK
, K. MARCHELEK
przedstawić moż na w postaci: . .
(15a) fpr = n J r Z p r _ p - < , . Z p r _ r = 0,
(16a) / „ - n r s Z r s _ r - n ? ; Z „ _ s = 0.
T
Podstawiają c do równań (15a) i (16a) zależ nośi c (12) uzyska się :
fpr = nT ptC^_ py^ pqp- nT prC^ rV^ rą r = 0,
Wprowadzają c oznaczenia:
i _ T r*T V * Tpr—p — "pr^pr- p ' pr *• ' n
T
T
• pi T
T — n C V*
*pr—r — "pr^pr—r 'p r—rj
T
T — n r v * 1- rs—r — "r s^ T i — r ' rs— r >
T x
rs—s — n T T V*
"rs^rs—s " rs—s?
równania (17) przyjmują postać
fpr = T p r _ p q p - T p r _ r q , . = 0,
1 j
fn = T r s _ r q , - T r s _ s q s = 0.
Wyraż enia (19) są liniowymi formami współ rzę dnych uogólnionych. Wyrazy macierzy
T p P - p, T p r _ r , T r s _ , 5 T r s _ s są pochodnymi równań wię zów wzglę dem odpowiednich współ rzę dnych uogólnionych, czyli
T,r P ~ \
8fpr
>
8f r
"
r hŁ
(20)
L ^ " ' 8qr2'- ' 8qr6\ '
rs s
- ~
Przy zał oż eniu, że wię zy są idealne, równania ruchu modelu napę du skł adają cego siC*
z SES i uwzglę dniają cego wię zy geometryczne nał oż one n a zazę bienia moż na zapisać w postaci •
(21) Mq + Lq + K q = P + gX,
gdzie M oznacza diagonalną macierz współ czynników bezwł adnoś ci sztywnych elementów
skoń czonych modelu, Lkwadratową macierz tł umienia, K kwadratową macierz sztywnoś ci,
q kolumnową macierz współ rzę dnych uogólnionych, X kolumnową macierz nieoznaczonych mnoż ników Lagrange'a, zaś g prostoką tną macierz pochodnych równań wię zów
wzglę dem współ rzę dnych uogólnionych.
Sposób budowania macierzy g (wzór (22)) przedstawiono dla nastę pują cych zał oż eń:
jeś i w kolejnoś
l
ci SES w modelu para kół o numerach p i / 'jest pierwszą parą współ pracują cą , para kół r i s — drugą parą współ pracują cą (koł o r jest koł em poś redniczą cym —
patrz rys. 2) — zaś para kół o numerach t i w jest k- tą parą współ pracują cą oraz / oznacza
M OD E LOWAN I E WIELOSTOPN IOWYCH P R Z EKŁ AD N I ZĘ BATYC
H
285
liczbę współ pracują cych par kół , a n- liczbę stopni swobody cał ego modelu, wówczas:
1
1 2 3 Jfc- 1 k
0
0
0... 0
0
0...
Lpr- p
0
0
0
0
0... 0
0... 0
0...
0...
0... 0
0... 0
0
- T£ _. 0... 0
0
0
0
0... 0
0
0
0
TT
x
tw- t
0
0
0... 0
0... 0
0
0
0
0
r
r
np5T
1
rs- r
0
(22)
g= s
w
0
0
0
0...
0...
0
0...
0...
0
0...
0...
0... 0 - T r
0... 0
0
0...
0...
nxl
Kolumnową macierz nieoznaczonych mnoż ników Lagrange'a przedstawia wzór
(ZJ) A = G O l ^ / l p r j / l f S , n i , A f W , . . . , / L u z / ,
1 2 k 1
gdzie lpr jest nieoznaczonym mnoż nikiem Lagrange'a przyporzą dkowany
m wię zom
geometrycznym nr 1 (pierwszej parze współ pracują cych kół , tj. p i r), Xty) — nieoznaczonym
mnoż nikiem Lagrange'a przyporzą dkowany
m wię zom geometrycznym nr k (ifc- tej parze
współ pracują cych kół , tj. t i w).
Równania (21) moż na rozwią zać przy uż yciu ETO, jednakże konieczne jest wyrugowanie nieoznaczonych mnoż ników Lagrange'a.
W tym celu wykorzystano metodę podaną w pracy [2]. Róż niczkując dwukrotnie
wzglę dem czasu t równania wię zów geometrycznych uzyska się równania warunkowe
o postaci
Jpr = =
*- pr—pHP Jrs ~ *rs — rHf *- pr— rQr ~ *- rs — sHs ^s
*- N
(24)
Równania (24) w notacji macierzowej przyjmują postać
(25) Tq = 0.
g
Kolumnowy wektor przyspieszeń wyznaczony z równań (21) wyraż ony jest wzorem
(26) q' = M -
286 S. BERCZYŃ SKI
, H . MAĆ KOWIAK
, K. MARCHELEK
Podstawiają c (26) do (25) i dokonują c prostych przekształ ceń, otrzym a się m acierz
nieoznaczonych mnoż ników Lagran ge'a:
T
1
1 r
1
X = ( g M - g) - g M - ( L q + Kq- P ).
(27) T
Aby macierz (g M ~ *g) był a odwracalna speł niony musi być warun ek jej nieosobliwoś ci. Analizują c budowę macierzy g ł atwo stwierdzić, że rzą d macierzy ( g T M ~ 1 g) jest
równy / co implikuje jej nieosobliwoś ć.
M acierz X wyraż oną wzorem (27) podstawia się d o równ ań (21)
T
1
1 r
1
(28) M q + L q + K q = P + g ( g M - g ) - g M - ( L q + K q - P ) .
Oznaczają c w równaniu (28):
T
(29) L
(30) Kr=
• (31) P/ =
/ =
1
1
r
1
- g( g M - g) - g M - L ,
uzyska się równanie ruchu w postaci
(32) M q+ (L+ L / )q + ( K + K / ) q= P + P r .
Podstawiają c
L = L +L f; K= K+ K/ ; P ^ P + P ,
- do równania (32) uzyska się
(33) Mq+ tq+ Kq= P.
Macierze L, K i P tworzy się zgodnie z zasadami uję tymi w pracy [1].
Równania (33) opisują ruch liniowego modelu wielostopniowej przekł adni zę batej
I mogą być rozwią zane przy uż yciu metod i programów zamieszczonych w pracy [1].
Przedstawiona w niniejszej pracy metoda modelowania wielostopniowych przekł adni
• zę batych przy uż yciu metody sztywnych elementów skoń czonych może być stosowana
•w tych przypadkach, gdy w ukł adzie wystę puje wstę pne napię cie o wartoś ci gwarantują cej,
le w trakcie jego pracy nie bę dzie zachodzić odkrywanie luzów. W porównaniu z dotychczas stosowanymi w praktyce obliczeniowej matematycznymi modelami drgań skrę tnych
[5,6,7,9], model zbudowany z SES umoż liwia wyznaczenie charakterystyk dynamicznych zarówno drgań skrę tnych jak i gię tnych poszczególnych wał ków napę du. Wprawdzie
"w metodach przedstawionych w pracach [5, 7] uwzglę dnia się wpływ ugię ć wał ków i promieniowych odkształ ceń, ł oż ysk na charakterystyki drgań skrę tnych, lecz tylko statycznie,
przez wprowadzenie tzw. skrę tnej podatnoś ci równoważ nej. Model matematyczny drgań
gię tno- skrę tnych powinien zatem dać dokł adniejsze wyniki. D odatkową zaletą modelu
wielostopniowej przekł adni zę batej zbudowanego z SES jest moż liwość wykorzystania
programów metody SES [1].
Literatura cytowana w tekś cie
1. J. KRUSZEWSKI i in., Metoda sztywnych elementów skoń czonych, Warszawa, 1975.
2. G . K. SUSŁOW, Mechanika teoretyczna, Warszawa 1960.
3. W. L. WEJC, A. E. KOCZURA, A. M. MARTYNIENKO, Obliczanie dynamiki napę dów maszyn, Warszawa 1975. ' - ,
MODELOWANIE WIELOSTOPNIOWYCH PRZEKŁADNI ZĘ BATYCH 287
4. K. OCHĘ DUSZKO, Kola zę bate, tom. I, Konstrukcja, Warszawa 1966.
5. Wilson W. KER, Precical Solution of Torsional Vibration Problems, Volume II, London 1963.
6. K. MARCHELEK, Dynamika obrabiarek, Warszawa 1974.
7. W. NADOLSKI, Modelowanie dynamiczne przekł adni zę batych jednostopniowych, Prace IPPT, Warszawa
1972.
8. M. MIELCZAREK, Moż liwoś wykorzystania ci
systemowego modelu matematycznego do badania charakterystyk dynamicznych wielostopniowej przekł adni zę batej, Arch. Bud. Masz., 3, 22 (1975).
P e 3 io M e
M OflEJIH POBAH KE M H O rO C T Yn E H 'qAT BI X 3YB^ATBIX I I E P E JWJ
n O M E TOD Y 3KECTKHX K OH E ^H LI X 3JI E M E H T 0B
H3jioJKeH MeTOfl onpeaejieH H H H3rH6HO- KpyTiuii>Hbix KOJieSamiH rjiaBHMX npHBo^oB MeTajinopeH<ymnx craHKOB. <E>n3iwecKaH MOflejit n o d p o e n a ii3 wcecrctHX Korie- rawx sjieMeitroB, coeflMieirabix
c noM omtio ynpyro- ffeMn(J)HpyioinHX ajieiweirroB c JiHHeiłHbiMH xapai<TepHCTHKaMH. Ka>Kflbift 3neirteHT,
yn pyraii HJIH fleiwncbHpyiomHH, onpefleneH mecTbio K03cb({)HUHeHTaMH ynpyrocTH H fleMm})HpoBaHHfi.
KOHeifflbie 3JieMeHTbi, MOflejiupyiomne syS^iaTŁie nepe^a^JH , HaxoflHTCH uop, fleiicTBHeM r eo H anropHTM ee peuieHHH npeflcraBjieH bi B npocTOM BH«e, npnroflHOM RJIK 3 I | B M .
Summary
MOD ELLIN G OF M U LTIPLE TOOTH ED G EARS BY RIG ID FIN ITE ELEMEN TS
A method of calculating the f lexural and torsional vibrations of the machine tool main drives is presented. The physical model was constructed of rigid finite elements connected with elasticdamping elements
of linear characteristics. Each elastic or damping element is defined by six rigidity or damping coefficients.
The rigid finite elements modelling the gear are subjected to geometrical constraints resulting from the
conditions of constant gearing. Both the mathematical model and the corresponding solution algorithm
are presented in the form suitable for computations.
POLITECH N IKA SZCZECIŃ SK
A
Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 3 stycznia 1977 r. ponownie dnia 10 marca 1978 r