Zad 3.

3.1. Przykład liczbowy
Ocenić nośność i sztywność belki podsuwnicowej jednoprzęsłowej, o przekroju
poprzecznym monosymetrycznym, spawanym z blach: pas górny 400 x 30, pas dolny
300 x 30, środnik 440 x 15, szyna 50 x 40 połączona z pasem górnym rozłącznie.
Długość przęseł belki l = 7,5 m , materiał belki stal S235.
Na torze pracuje suwnica o rozstawie kół a = 3,0 m i udźwigu Qh = 170,0 kN .
Oddziaływania kół suwnicy:
gr. 1
Qr. max = 129,0 kN , H T 1 = 27,2 kN ,
gr. 2
Qr. max = 110,0 kN , H S = 25,66 kN .
H L = 8,61 kN ,
3.1.1. Nośność belki jednoprzęsłowej
1) Cechy geometryczne: bez współpracy przekroju belki (rys. 3.9) i szyny
Pole przekroju:
A = (40 + 30) ⋅ 3,0 + 44,0 ⋅ 1,5 = 276 cm 2 .
Rys. 3.1. Wymiary przekroju poprzecznego i blach czołowych belki podsuwnicowej
Moment bezwładności:
− względem osi y
połoŜenie środka cięŜkości
eG , z =
(40 − 30) ⋅ 3,0 ⋅ 23,5 ≅ 2,6 cm ,
276
I y = 40 ⋅ 3 ⋅ 20,9 2 + 30 ⋅ 3 ⋅ 26,12 +
1,5 ⋅ 44 3
+ 1,5 ⋅ 44 ⋅ 2,62 = 124820 cm 4 ,
12
− wycinkowy
Iω =
I zt I zb hd2 16000 ⋅ 6750 ⋅ 47 2
=
= 10480700 cm 6 ,
Iz
22763
− swobodnego skręcania
IT =
1
1
(
bt tt3 + bb tb3 + hw tw3 ) = (40 ⋅ 33 + 30 ⋅ 33 + 44 ⋅ 1,53 ) = 679,5 cm 4 ,
3
3
− względem osi z
pasa górnego:
I zt =
3 ⋅ 403
= 16000 cm 4 ,
12
pasa dolnego:
I zb =
3 ⋅ 303
= 6750 cm 4 ,
12
całego przekroju:
I z = 16000 + 6750 + 44 ⋅
1,53
= 22763 cm 4 .
12
Współrzędna środka ścinania
z s = eb −
I zb
6750
hd = 20.9 −
⋅ 47 = 6,96 cm .
Iz
22763
Parametr monosymetryczności przekroju
ky =
hd (I t − I b ) 47,0 ⋅ (16000 − 6750)
=
= 9,55 cm .
2 Iz
2 ⋅ 22763
Klasa przekroju: pas
środnik:
2) Siły wewnętrzne
− od cięŜaru własnego
c bt − t w 40 − 1,5
=
=
= 6,41 < 9 ε = 7,29 kl. 1,
t
2 tt
2 ⋅ 3,0
c 44,0
396 ε
396 ⋅ 0,81
=
= 29,3 <
=
= 51 kl. 1.
t
1,5
13 α − 1 13 ⋅ 0,56 − 1
cięŜar własny belki z szyną – 2,4 kN/m.
V A = 2,4 ⋅ 7,5 ⋅ 0,5 = 9,0 kN
M y = 9,0 ⋅ 3 − 2,4 ⋅ 32 / 2 = 16,2 kNm
− od kół suwnic
z rys. 2.11a, c M y = 309,6 kNm ,
gr. obc. 1:
M z = 32,64 kNm ,
gr. obc. 5:
z rys. 2.12
M y = 309,6 ⋅
110,0
= 264,0 kNm ,
129,0
M z = 25,66 ⋅ 4,5 ⋅
3,0
= 46,20 kNm ,
7,5
M y = 247,5 kNm ,
lub
M z = 25,66 ⋅
7,5
= 48,1 kNm .
4,0
Moment skręcający:
M T = Qr e + H T zT = 110 ⋅ 0,02 + 33,9 ⋅ (0,04 + 0,1544 ) = 8,62 kNm .
Bimoment (tabl. 3.1 poz. 1):
Bx =
M T sinh (k a ) sinh [k (l − a )] 8,62 2,13 ⋅ 4,69
=
⋅
= 8,10 kNm 2 ,
k
sinh (k l )
0,5
21,25
k=
G IT
I
679,5
= 0,62 T = 0,62
= 0,5 m -1 .
E Iω
Iω
10480700 ⋅ 100
3) Współczynnik zwichrzenia χ LT
Moment krytyczny zwichrzenia według (3.46):
M cr = Z1
π 2 E I z 
2
L

1 I ω G I T L2 
2
+
Z 2 g + Z 3 k y + (Z 2 g + Z 3 k y ) + 2
β o I z π 2 E I z 


dla
a
= 0,4 Z1 = 1,19, Z 2 = 0,47, Z 3 = 0,51,
l
ky =
hd (I t − I b ) 47,0 ⋅ (16000 − 6750)
=
= 9,55 cm ,
2 Iz
2 ⋅ 22763
g = −19,44 cm ,
0, 5



µω2 = β o2 = 1 −
0,5
0,5
= 1−
= 0,98 ,
2 E Iω
2 ⋅ 2,1 ⋅ 104 ⋅ 10480700
1+
1+
Sω
17131500 ⋅ 750,0
Sω = G I Tb hd = 8,1 ⋅ 103 ⋅ 45 ⋅ 47 = 17131500 kNcm 3 ,
I Tb =
1
1
bt tb3 = ⋅ 40 ⋅ 1,53 = 45 cm 4 ,
3
3
M cr = 1,19
+
3,14 2 ⋅ 2,1 ⋅ 104 ⋅ 22763
{0,47 ⋅ (− 19,44 ) + 0,51 ⋅ 9,55 +
750 2
(− 4,26)2 +
1 10480700
8100 ⋅ 679,5 ⋅ 7502  −2
+
 ⋅ 10 =
0,98 22763
3,14 2 ⋅ 21000 ⋅ 22763 
{
}
= 9920,7 ⋅ − 4,26 + 18,15 + 469,8 + 660,9 = 2940 kNm.
Wartość momentu krytycznego zwichrzenia bez uwzględnienia wpływu blach czołowych
(βo = 1) jest 2926,2 kNm.
Smukłość względna przy zwichrzeniu:
Wy f y
λLT =
M cr
=
5579 ⋅ 0,355
= 0,82 ,
2940
gdzie:
Wy =
124820
= 5579 przyjęto jak dla przekroju kl. 3.
22,4
Współczynnik zwichrzenia:
z wykresu 3.8 przyjęto χ LT = 0,75.
4) Ocena nośności belki zgodnie ze wzorem (3.35)
Przyjęto działanie
γ ψQ = 0,9 ⋅ 1,5 = 1,35 ,
M y ,Ed = 1,35 (16,2 + 309,6 ) = 439,8 kNm ,
M z ,Ed = 1,35 ⋅ 32,64 = 44,1 kNm
Bx ,Ed = 8,1 ⋅ 1,35 = 10,94 kNm 2 ,
M y ,Rk =
124820
⋅ 235 ⋅ 10 −3 = 1309,5 kNm ,
22,4
M z ,Rk =
1,25 ⋅ 22763
⋅ 235 ⋅ 10 −3 = 334,3 kNm ,
20
Bw,Rd =
10480700
⋅ 235 ⋅ 10 −5 = 88,3 kNm 2 .
278,8
Przyjęto γ M 1 = 1,1 .
Sprawdzenie nośności:
grupa obc. 1
439,8
44,1
10,94
+
+
= 0,493 + 0,144 + 0,136 = 0,773 < 1 .
0,75 ⋅ 1309,5 / 1,1 334,3 / 1,1 88,3 / 1,1
grupa obc. 5
przypadek obc. a)
1,35(16,2 + 264 )
46,1
⋅ 0,494 +
⋅ 0,144 + 0,13 = 0,424 + 0,204 + 0,13 = 0,758 < 1 ,
439,8
32,64
przypadek obc. b)
1,35(16,2 + 247,5)
48
⋅ 0,494 +
⋅ 0,12 + 0,13 = 0,400 + 0,213 + 0,13 = 0,743 < 1 .
439,8
32,64
Przypadek a) obciąŜeń grupy 5 jest najbardziej miarodajny w ocenie nośności tej belki.
5) Ocena nośności zgodnie ze wzorem (3.37)
M zT,Ed = 1,35 ⋅ (32,69 + 2 ⋅ 8,1 / 0,47 ) = 67,14 kNm ,
0,494 +
67,1
= 0,715 < 1.
334,3 / 1,1
6) Ocena nośności zgodnie z (3.38)
M z , f ,Rk = 2 ⋅ 1,25 ⋅ 16000 ⋅ 235 ⋅ 10 −3 / 40 = 235 kNm ,
0,494 +
44,1
= 0,700 < 1.
235 / 1,1
7) Ocena nośności zgodnie ze wzorem (3.39)
Cechy geometryczne przekroju A f (rys. 3.9):
A f = 40 ⋅ 3,0 + 8,8 ⋅ 1,5 = 120 + 13,2 = 133,2 cm 2 ,
S y , f = 120 ⋅ 20,9 + 13,2 ⋅ 15 = 2706 cm 3 , I z , f = 16000 cm 4 , Wz , f = 800 cm 3 ,
iz , f =
16000
= 10,96 cm , k c = 0,86
133,2
smukłość względna
z tabl. 3.2,
λz , f =
0,86 ⋅ 750
= 0,63 ,
10,96 ⋅ 93,9
λ1 = 93,9
235
= 93,9 ,
235
współczynnik wyboczenia
φ = 0,5 [1 + 0,49 (λz , f − 0,2 ) + λz2, f ] = 0,8 ,
1
χz =
0,8 + (0,8 − 0,632 ) 2
1
2
= 0,773 .
Współczynnik k zz :
wartość współczynnika interakcyjnego obliczono jak dla stanu spręŜystego (tabl. A1
normy [4]):
k zz =
µz
N
1 − Ed
N cr ,z , f
=
0,957
= 1,09 ,
1 − 0,121
N Ed
N cr , z
1 − 0,121
0,879
=
=
= 0,957 .
µz =
N Ed
1 − 0,681 ⋅ 0,121 0,918
1− χz
N cr ,z , f
1−
Siła ściskająca obliczona od momentu zginającego M y :
NF =
32650
32650
⋅ 2706 = 707,8 kN lub N F =
= 694,6 kN ,
124820
47
N Ed = 707,8 ⋅ 1,35 = 955,5 kN ,
N cr ,z , f =
π 2 E I z, f
(k c l )2
=
π 2 ⋅ 21000 ⋅ 16000
(0,86 ⋅ 750)2
= 7923 kN ,
N Ed
955,5
=
= 0,121 .
N cr , z , f
7923
Sprawdzenie nośności
955,5
44,1 ⋅ 1,09
+
= 0,434 + 0,206 = 0,640 < 1 .
0,773 ⋅ 133,2 ⋅ 23,5 / 1,1 235 / 1,1
8) NapręŜenia lokalne w środniku od skupionego nacisku koła suwnicy
Szerokość efektywna pasa
beff = b fr + hr + t f .
Przyjęto:
b fr = 5,0 cm , hr = 0,75 ⋅ 4,0 = 3,0 cm , t f = 3,0 cm ,
beff = 5,0 + 3,0 + 3,0 = 11,0 cm ,
I r ,eff = 11,0 ⋅ 3,03 / 12 = 24,75 cm 4 ,
I r = 5,0 ⋅ 33 / 12 = 11,25 cm 4 ,
I rf = I r ,eff + I r = 24,75 + 11,25 = 36,0 cm 4 .
Zgodnie ze wzorem (3.11a) długość efektywna strefy docisku koła jest równa
leff = 3,25 (I rf / t w ) = 3,25 (36 / 1,5) = 8,65 cm .
13
13
NapręŜenia ściskające obliczono zgodnie ze wzorem (3.10a)
σ oz ,Ed ( z ) =
Fz ,Ed
[1 − 2 z / hw ] = 193,5 ⋅ 10 = 149 MPa ,
Leff tw
8,65 ⋅ 1,5
Fz ,Ed = Qr ,max γ Q , przyjęto γ Q = 1,5 ,
Fz ,Ed = 1,5 ⋅ 129,0 = 193,5 kN ,
z = 0,
Leff = leff = 8,65 .
Nośność środnika pod obciąŜeniem skupionym koła
obliczona według wzorów (3.13-3.18) długość strefy docisku
Leff = 33,6 cm ,
FRd = 33,6 ⋅ 1,5 ⋅ 23,5 = 1184 kN ,
η2 =
Fz ,Ed 193,5
=
= 0,163 < 1 .
FRd
1184
9) Lokalne napręŜenia ścinające obliczono zgodnie ze wzorem (3.19)
τ oxz ,Ed = 0,2 σ oz ,Ed (z ) = 0,2 ⋅ 149,0 = 29,8 MPa .
10) Lokalne napręŜenia normalne od zginania środnika wywołane mimośrodowym
oddziaływaniem kół
M T ,Ed = γ Q Qr ,max e y = 1,5 ⋅ 129,0 ⋅ 0,25 ⋅ 5 = 242 kNcm .
Moment bezwładności pasa na skręcanie
IT =
1
1
b f t 3f = ⋅ 30,0 ⋅ 3,03 = 270 cm 4 .
3
3
Przyjęto rozstaw Ŝeber poprzecznych środnika a = 6,0 m .
π hw
a
=
3,14 ⋅ 44,0
= 0,23 ,
600
 π hw 
sinh 
 = sinh (0,23) = 0,232 ,
 a 
 2π hw 
sinh
 = sinh (2 ⋅ 0,23) = 0,4764 ,
 a 
1/ 2
 0,75 a tw3

sinh 2 (π hw / a )
sinh(2 π hw / a ) − 2 π hw / a 
 IT
η=
NapręŜenia ściskające (rozciągające) obliczono zgodnie ze wzorem (3.19a):
σ T ,Ed =
6 M T ,Ed
6 ⋅ 2,42
η tgh (η ) =
⋅ 5,92 ⋅ 10 ⋅ 10 = 63,7 MPa ,
2
a tw
600 ⋅ 1,52
tgh (η ) = 10 .
11) NapręŜenia normalne w środniku od zginania belki
Maksymalny moment zginający
M y ,max = M y ,Ed = 440,8 kNm .
NapręŜenia na krawędzi środnika
σ wx =
M y ,Ed
Iy
z=
440,8 ⋅ 103
⋅ 19,4 = 68,5 MPa ,
124820
od ścinania przekroju
τ wxz =
Vz
103,2
=
⋅ 10 = 15,64 MPa .
Aw 44 ⋅ 1,5
12) Interakcje obciąŜenia skupionego, momentu zginającego i siły podłuŜnej
Nośność sprawdzono zgodnie ze wzorem (3.23):
Przyjęto M pl ,Rd = 1,14 W y f y = 1,14 ⋅
η1 =
12482
⋅ 23,5 = 1724 kNm ,
19,4
M Ed
440,8
=
= 0,26 ,
M pl ,Rd 1724
0,163 + 0,8 ⋅ 0,26 = 0,371 < 1,4 .
13) Sprawdzenie ugięć belki
•
ugięcie pionowe
Ugięcie pionowe belki obliczono zgodnie ze wzorem (2.29):
przyjęto: Qr = 110 kN , ξ =
a 3,0
=
= 0,4
l 7,5
12
0,232
 0,75 ⋅ 600 ⋅ 1,5

=
⋅

270
0,4764 − 0,46 

= 5,92.
δ zQ =
r
=
δ zG =
Qr l 3
2 − 3 (1 − ξ ) (ξ 2 − 2ξ 3 ) =
48E I y
[
[
)]
3
110 ⋅ 7503
⋅ 2 − 3(1 − 0,4 ) 0,4 2 − 2 ⋅ 0,4 = 0,72 cm,
4
48 ⋅ 2,1 ⋅ 10 ⋅ 124820
(
5 q l4
5 ⋅ 2,4 ⋅ 750 4 ⋅ 10 −2
=
= 0,04 cm ,
384 E I y 384 ⋅ 2,1 ⋅ 104 ⋅ 124820
δ z = 0,72 + 0,04 = 0,76 <
•
]
l
750
=
= 1,25 cm ,
600 600
ugięcie poziome
według wzoru (2.31), siła pozioma od koła w środku rozpiętości belki H s = 25,6 kN
eT = 4,0 +
50
- 6,96 = 22,04 cm
2
k = 0,62
IT
679,5
= 0,62
⋅ 100 = 0,805 m −1 ,
Iw
10480700
G I T = 0,81 ⋅ 679,5 = 550,4 kNm , M T = 8,62 kNm ,
MT k l 1
 k l 
− tgh  =

k G IT  4 2
 2 
8,62
 0,805 ⋅ 7,5 1

=
− ⋅ 0,995  = 0,013,

0,805 ⋅ 550,4 
4
2

max θ =
max δ y = 0,47 + 22,04 ⋅ 0,013 =
= 0,757 cm ≈ 7,6 mm < δ H =
l
750
=
= 12,5 mm.
600 600