32 log2 4 log4 c) 1log4 5 32 log2 14 log4 = c) 01log

1.6. LOGARYTMOWANIE
Definicja logarytmu
a > 0; a ≠ 1
b>0
log a b = c ⇔ a c = b
a - podstawa logarytmu
b - liczba logarytmowana
c - wynik logarytmowania
Własności logarytmu
log10 x = log x - logarytm dziesiętny
log a 1 = 0
log a a = 1
a log a x = x
Przykład 1.6.1. Oblicz:
a) log 2 32
b) log 4 4
c) log 4 1
d) log
1
10
b) 5 log 5 9
Rozwiązanie
Komentarz
a) log 2 32 = 5 , bo 2 5 = 32
Korzystamy z definicji
log a b = c ⇔ a c = b
b) log 4 4 = 1
c) log 4 1 = 0
log a a = 1
d) log
log a 1 = 0
1
1
1
= log10
= −1 , bo 10 −1 =
10
10
10
b) 5 log 5 9 = 9
a log a x = x
Przykład 1.6.2. Oblicz
a) log 3 9
b) log103 10
Rozwiązanie
Komentarz
a) log 3 9 = x
Obliczając wartości logarytmu ( w bardziej
skomplikowanych przykładach ) moŜemy
skorzystać z definicji
log a b = c ⇔ a c = b i
zamienić równanie logarytmiczne na równanie
wykładnicze.
x
3 =9
1
x
3 2 = 32
1
x = 2 /⋅ 2
2
x=4
log 3 9 = 4 , bo
Rozwiązując równanie wykładnicze
doprowadzamy obie strony równania do potęgi
o tej samej podstawie. Następnie podstawy
opuszczamy.
( 3 )4 = 9
b)
Jak wyŜej.
log 103 10 = x
10 x = 103 10
10
x
1
= 10 ⋅ 10 3
10
x
1
= 10 3
x =1
1
1
3
Prawa działań na logarytmach
log a x + log a y = log a x ⋅ y
log a x − log a y = log a
n log a x = log a x n
log a x =
log b x
log b a
x
y
Przykład 1.6.3. Oblicz
a) 4 log 2 9
b) log 8 + log 125
c) log 1 0,6 − log 1 0,15
2
d)
2
Rozwiązanie
Komentarz
2
a) 4 log 2 9 = 2 2 log 2 9 = 2 log 2 9 =
Korzystamy ze wzoru
oraz
log a x
a
= 2 log 2 81 = 81
b) log 8 + log125 = log(8 ⋅ 125) = log1000 = 3
c) log 1 0,6 − log 1 0,15 = log 1
2
2
2
log 6 125
log 6 5
0,6
= log 1 4
0,15
2
n log a x = log a x n
=x
Korzystamy ze wzoru
log a x + log a y = log a x ⋅ y
Korzystamy ze wzoru
log a x − log a y = log a
x
y
log 1 4 = x
2
x
1
  =4
2
x
1
1
  = 
2
2
x = −2
−2
log 1 0,6 − log 1 0,15 = −2
2
2
log 6 125 log 6 53 3 log 6 5
d)
=
=
=3
log 6 5
log 6 5
log 6 5
Korzystamy ze wzoru
Skracamy
n log a x = log a x n .
log 6 5 .
Przykład 1.6.4. Oblicz wartość wyraŜenia log 3 4 ⋅ log 4 5 ⋅ log 5 7 ⋅ log 7 9 .
Rozwiązanie
log 3 4 ⋅ log 4 5 ⋅ log 5 7 ⋅ log 7 9 =
= log 3 4 ⋅
log 3 5 log 3 7 log 3 9
⋅
⋅
=
log 3 4 log 3 5 log 3 7
= log 3 9 = 2
Komentarz
log b x
Korzystając ze wzoru log a x =
log b a
zamieniamy log 4 5, log 5 7, log 7 9 na
logarytmy o podstawie 3.
Skracamy wyraŜenia
log 3 4, log 3 5, log 3 7
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 1.6.1. Oblicz:
a) (1pkt.) log 3 81
b) (1pkt.) log 0,001
1
c) (1pkt.) log 4
2
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
Odpowiedź
Liczba
punktów
1
Odpowiedź
Liczba
punktów
1
Podanie wyniku.
Ćwiczenie 1.6.2. Oblicz:
a) (1pkt.) 2log 5 5 + log8
b) (1pkt.)
2
log 2 9
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
Podanie wyniku.
Ćwiczenie 1.6.3. (1pkt.) Oblicz: Wiedząc, Ŝe
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
Oblicz:
Odpowiedź
Podanie wyniku.
Liczba
punktów
1
Ćwiczenie 1.6.4. (2pkt.)Oblicz bez uŜycia tablic: log 6 3 ⋅ log 3 36 .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
log 6 3 .na logarytm o podstawie 3.
1
Zamiana
2
Podanie ostatecznej odpowiedzi.
Liczba
punktów
1
1